Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет

ФИЗИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ

Учебно-методическое пособие для самостоятельной работы

Красноярск

СФУ

2012

Содержание

3

Предисловие

Данное учебное пособие содержит задачи по физике элементарных частиц и квантовой теории поля, собранные из разных источников, таких как [1, 4, 6, 8, 15]. Задачи предназначены для студентов, изучающих дисциплину «Физика фундаментальных взаимодействий», и могут быть использованы для проведения практических занятий и для самостоятельного решения. Каждый раздел начинается с краткого теоретического введения, содержащего главным образом разъяснение обозначений, используемых в задачах, а также некоторые справочные сведения по теме раздела. Это введение отнюдь не является полным или последовательным изложением материала, затрагиваемого в разделе, и для усвоения теории студенты не должны довольствоваться приведенными краткими сведениями, но параллельно с решением задач изучать литературу, указанную в конце пособия.

Одной из главных целей всего курса является приобретение слушателями навыков расчета сечений рассеяния и времен жизни частиц. Именно эти величины измеряются экспериментально и позволяют проверить наши знания о природе взаимодействий между элементарными частицами. Непосредственно этой задаче посвящены три последних раздела пособия. Первые пять разделов в этом смысле являются вспомогательными, однако они также важны для понимания физики фундаментальных взаимодействий. Кроме того, результаты некоторых задач используются при решении последующих.

Для успешного решения предлагаемых задач, а также для изучения дисциплины «Физика фундаментальных взаимодействий» в целом, студентам необходимо усвоить цикл математических дисциплин: математический анализ, теорию дифференциальных уравнений и высшую алгебру. Кроме того необходимы знания по общей физике, аналитической механике, специальной теории относительности, электродинамике и квантовой механике.

4

Задачи

Релятивистская кинематика

Согласно специальной теории относительности законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, связанных между собой преобразованиями Лоренца. Пусть aν – компоненты некоторого вектора в одной системе отсчета, а aµ′ – его же компоненты в другой системе, тогда aµ′ = Λµν ′ aν , где Λ – матрица преобразования Лоренца. Здесь применено эйнштейновское правило суммирования по повторяющимся индексам, которое будет и далее использоваться везде, где это специально не оговорено.

Особый интерес среди всех преобразований Лоренца представляют бусты – преобразования, изменяющие только скорости, но не содержащие пространственных поворотов. Для штрихованной системы отсчета, движущейся со скоростью v в направлении оси x исходной системы отсчета, имеем

γ −βγ 0 0

Скалярное произведение двух четырехмерных векторов aµ и bµ является инвариантом относительно преобразований Лоренца и представляет собой свертку

– метрический тензор пространства Минковского. Вводя ковариантный (с нижним индексом) вектор aµ = ηµν aν , можно записать скалярное произведение в виде

Исходные векторы с верхними индексами будем называть контравариантными. Частица с 4-импульсом pµ обладает полной энергией E = p0c и 3-импульсом p = pi.

Квадрат 4-импульса, одинаковый во всех системах отсчета, имеет вид

Векторная сумма 4-импульсов всех частиц сохраняется.

Задача 1. Покоящийся пион распадается на мюон и нейтрино, π− → µ− + ν¯µ. Найдите скорость образовавшегося мюона. Ответ:

m2π − m2µ vµ = m2π + m2µ c.

5

Задача 2. Пион, летящий со скоростью v, распадается на мюон и мюонное антинейтрино, π− → µ− + ν¯µ. Если нейтрино вылетает перпендикулярно направлению первоначально-

са, Калифорния, проектировался в первую очередь для экспериментального наблюдения антипротонов в реакции p + p → p + p + p + p¯, в которой протон с высокой энергией налетает на покоящийся протон мишени, рождая дополнительную пару протон-антипротон. Какова минимальная энергия налетающего протона при которой данная реакция возможна? Ответ: E = 7mpc2.

Задача 4. Частица A с энергией E налетает на покоящуюся частицу B, порождая частицы C1, C2, . . ., A + B → C1 + C2 + . . . + Cn. Выразить минимально возможную для такой реакции энергию E через массы частиц. Ответ:

M2 − m2 − m2

E = A B c2,

2mB

где M = m1 + m2 + . . . mn.

Задача 5. Используя результат предыдущей задачи, вычислить для следующих реакций минимальную энергию налетающей на неподвижный протон частицы:

(а) p + p → p + p + π0,

(б) p + p → p + p + π+ + π−,

(в) π− + p → p + p¯ + n, (г) π− + p → K0 + Σ0, (д) p + p → p + Σ+ + K0.

Задача 6. Покоящаяся частица A распадается на частицы B и C (A → B + C). Выразить энергию и абсолютные величины импульсов исходящих частиц через массы. Объяснить тот факт что модули импульсов рождаемых в реакции частиц становятся мнимыми при mA < mB + mC . Ответ:

где λ(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 2xy − 2xz − 2yz.

Задача 7. Используя результат предыдущей задачи, вычислить в системе центра масс энергию продуктов распада в следующих реакциях:

(а) π− → µ− + ν¯µ (б) π0 → γ + γ,

(в) K+ → π+ + π0,

(г) Λ → p + π−, (д) Ω− → Λ + K−.

Задача 8. Покоящиеся пионы распадаются на мюоны и нейтрино π− → µ− + ν¯µ. Как далеко в среднем будут улетать образующиеся мюоны (в вакууме)? Ответ:

m2 − m2

d = π µ cτ = 186 м.

2mπmµ

6