Лабораторная работа №7 Моделирование временных рядов с сезонными колебаниями
Модель временного ряда с сезонными колебаниями можно рассматривать в следующих возможных формах:
– аддитивная
модель;
– мультипликативная
модель,
где T – регулярная (основная) компонента, характеризующая общую тенденцию ряда (тренд),
S – сезонная компонента (внутригодичные колебания), в общем случае – циклическая составляющая,
E – случайная компонента (случайные отклонения).
Расчет сезонной составляющей.
Проверку на наличие
или отсутствие сезонных колебаний можно
провести визуально при построении
графика или при анализе коррелограммы.
Если наиболее высоким по сравнению с
другими (кроме
)
оказался коэффициент автокорреляции
порядка k,
ряд содержит циклические колебания с
периодичностью в k
моментов времени.
Пример 1.
Провести анализ коррелограммы по следующим данным спроса на прохладительные напитки за последовательные 16 кварталов
№ квартала |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
Спрос y |
60 |
100 |
120 |
39 |
75 |
119 |
139 |
44 |
89 |
160 |
199 |
60 |
90 |
200 |
260 |
80 |
Очевидно наличие циклических колебаний. С помощью функции Корелл находим коэффициенты автокорреляции. Максимальный лаг должен быть не больше n/4, в нашем случае – не больше 4. Результаты расчета приведены в таблице
|
|
|
|
0,138485
|
-0,49654
|
0,054228
|
0,985546
|
Наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции четвертого порядка, т.е. период колебаний равен 4.
Значения сезонной компоненты рассчитывают методом скользящей средней при построении аддитивной или мультипликативной модели.
Аддитивную модель применяют в том случае, если амплитуда сезонных колебаний со временем не меняется.
Если происходят существенные изменения амплитуды сезонных колебаний, то для моделирования временного ряда применяют мультипликативную модель .
Процесс построения модели проводят в следующей последовательности:
Расчет значений сезонной компоненты;
Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных
в аддитивной модели и
в мультипликативной.Подбор линии тренда. Расчет значений T по уравнению тренда.
Расчет полученных по модели значений
или
.Расчет случайной компоненты (т.е. ошибок)
или
.
Если полученные значения не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок Е для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.
Пример построения мультипликативной модели.
Имеются поквартальные данные по розничному товарообороту в России за 5 лет. Построить мультипликативную модель временного ряда.
По графику предполагаем наличие циклических колебаний. Рассчитаем период колебаний:
r1 |
r2 |
r3 |
r4 |
r5 |
0,544397543 |
0,02207 |
0,029835 |
0,256621 |
-0,30614 |
Вывод: из всех
коэффициентов автокорреляции (кроме
)
самое высокое значение (по модулю) – у
.
Моделируем сезонные колебания с периодом
5.
t |
y |
Скользящая средняяя за 5 кварталов (СС) |
центрированная скользящая средняя (ЦСС) |
Сезонная компо нента
|
1 |
100 |
|
|
|
2 |
93,9 |
|
|
|
3 |
96,5 |
100 |
|
|
4 |
101,8 |
99,26 |
99,63 |
1,021780588 |
5 |
107,8 |
99,62 |
99,44 |
1,084070796 |
6 |
96,3 |
99,96 |
99,79 |
0,965026556 |
7 |
95,7 |
100,4 |
100,18 |
0,955280495 |
8 |
98,2 |
98,64 |
99,52 |
0,986736334 |
9 |
104 |
99,14 |
98,89 |
1,051673577 |
10 |
99 |
101,8 |
100,47 |
0,985368767 |
11 |
98,8 |
104,78 |
103,29 |
0,956530158 |
12 |
109 |
103,66 |
104,22 |
1,045864517 |
13 |
113,1 |
103,32 |
103,49 |
1,092859213 |
14 |
98,4 |
103,98 |
103,65 |
0,94934877 |
15 |
97,3 |
101,7 |
102,84 |
0,946129911 |
16 |
102,1 |
95,82 |
98,76 |
1,03381936 |
17 |
97,6 |
93 |
94,41 |
1,033788794 |
18 |
83,7 |
91,22 |
92,11 |
0,908696124 |
19 |
84,3 |
|
|
|
20 |
88,4 |
|
|
|
Сумма |
|
|
|
15,01697396 |
Откорректируем сезонную компоненту, в мультипликативной модели суммарная сезонная компонента должна быть равна величине периода, т.е. 5. Разделим весь объем данных на группы кварталов с одинаковым номером в своем периоде.
Группа |
Кварталы |
Сезонная компонента S |
Средняя S по группе |
Корректи рующий коэффициент k |
Скорректи рованая сезонная компонента S*k |
I |
1 |
|
|
1,001131597 |
|
6 |
0,96502656 |
|
|
||
11 |
0,95653016 |
0,985125 |
0,98624012 |
||
16 |
1,03381936 |
|
|
||
II |
2 |
|
|
|
|
7 |
0,9552805 |
|
|
||
12 |
1,04586452 |
1,011645 |
1,01278938 |
||
17 |
1,03378879 |
|
|
||
III |
3 |
|
|
|
|
8 |
0,98673633 |
|
|
||
13 |
1,09285921 |
0,996097 |
0,99722441 |
||
18 |
0,90869612 |
|
|
||
IV |
4 |
1,02178059 |
|
|
|
9 |
1,05167358 |
|
|
||
14 |
0,94934877 |
1,007601 |
1,00874118 |
||
19 |
|
|
|
||
V |
5 |
1,0840708 |
|
|
|
10 |
0,98536877 |
|
|
||
15 |
0,94612991 |
1,00519 |
1,00632729 |
||
20 |
|
|
|
||
Сумма |
|
|
|
|
5,01132238 |
Примечание. Корректирующий коэффициент равен средней арифметической всех средних сезонных компонент, вычисленных по группам.
Продолжим расчеты в таблице
t |
y |
Скорректи рованая сезонная компонента S*k |
Удаление из временного ряда сезонной составляющей y/(S*k) |
Тренд, вычисленный по данным с удаленной сезонной компонентой, Т |
T*(S*k) |
E=y/(T*(S*k)) |
E2 |
(y-yср)2 |
1 |
100 |
0,986240 |
101,3951 |
94,5768 |
93,2754 |
1,0720936 |
1,14938 |
2,9070 |
2 |
93,9 |
1,012789 |
92,71424 |
96,5888 |
97,8241 |
0,9598860 |
0,92138 |
19,316 |
3 |
96,5 |
0,997224 |
96,76859 |
98,327 |
98,0540 |
0,9841507 |
0,96855 |
3,2220 |
4 |
101,8 |
1,008741 |
100,9178 |
99,7914 |
100,663 |
1,0112881 |
1,02270 |
12,285 |
5 |
107,8 |
1,006327 |
107,1222 |
100,982 |
101,620 |
1,0608049 |
1,12530 |
90,345 |
6 |
96,3 |
0,986240 |
97,64356 |
101,8988 |
100,496 |
0,9582405 |
0,91822 |
3,9800 |
7 |
95,7 |
1,012789 |
94,49151 |
102,5418 |
103,853 |
0,9214926 |
0,84914 |
6,7340 |
8 |
98,2 |
0,997224 |
98,47332 |
102,911 |
102,625 |
0,9568784 |
0,91561 |
0,0090 |
9 |
104 |
1,008741 |
103,0987 |
103,0064 |
103,906 |
1,0008969 |
1,00179 |
32,547 |
10 |
99 |
1,006327 |
98,37753 |
102,828 |
103,478 |
0,9567193 |
0,91531 |
0,4970 |
11 |
98,8 |
0,986240 |
100,1784 |
102,3758 |
100,967 |
0,9785363 |
0,95753 |
0,2550 |
12 |
109 |
1,012789 |
107,6235 |
101,6498 |
102,949 |
1,0587680 |
1,12099 |
114,59 |
13 |
113,1 |
0,997224 |
113,4147 |
100,65 |
100,370 |
1,1268235 |
1,26973 |
219,18 |
14 |
98,4 |
1,008741 |
97,54732 |
99,3764 |
100,245 |
0,9815944 |
0,96352 |
0,0110 |
15 |
97,3 |
1,006327 |
96,68822 |
97,829 |
98,4479 |
0,98833909 |
0,97681 |
0,9900 |
16 |
102,1 |
0,986240 |
103,5244 |
96,0078 |
94,6867 |
1,0782924 |
1,16271 |
14,478 |
17 |
97,6 |
1,012789 |
96,36751 |
93,9128 |
95,1138 |
1,0261382 |
1,05296 |
0,4830 |
18 |
83,7 |
0,997224 |
83,93296 |
91,544 |
91,2899 |
0,9168592 |
0,84063 |
213,014 |
19 |
84,3 |
1,008741 |
83,56950 |
88,9014 |
89,6785 |
0,9400246 |
0,88364 |
195,86 |
20 |
88,4 |
1,006327 |
87,84418 |
85,985 |
86,5290 |
1,0216221 |
1,04371 |
97,911 |
Сумма |
|
|
|
|
|
|
20,0596 |
1028,6 |
Среднее |
98,2 |
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение
параболического тренда подобрано при
построении графика по данным с удаленной
сезонной компонентой в меню Диаграмма:
.
Отношение суммы квадратов абсолютных ошибок к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего значения:
.
Построенная модель достоверна на 99,05%.
Вычислим прогнозное
значение величины розничного товарооборота
в России в третьем квартале года,
следующего после окончания статистических
наблюдений. Имеем
,
,
.
Тогда
.
Пример построения аддитивной модели.
Имеются следующие данные об экспорте РФ нефтепродуктов за 2002-2005 гг. по данным Федеральной таможенной службы России:
Квартал |
Экспорт – всего (в страны дальнего зарубежья и СНГ), млн т. |
|||
2002 |
2003 |
2004 |
2005 |
|
I |
17,8 |
19,7 |
21,7 |
24 |
II |
20,2 |
20,8 |
24,1 |
27 |
III |
21,1 |
21,6 |
26,1 |
26,7 |
IV |
18,5 |
20,3 |
25,3 |
25,8 |
1) Применим методику скользящего выравнивания для дальнейшего создания аддитивной модели
Годы |
Квартал |
Объем экспорта y |
Итого за 4 квартала |
Скользящая средняя за 4 квартала |
Центрированная скользящая средняя |
Сезонная компонента S |
2002 |
I |
17,8 |
– |
– |
– |
– |
II |
20,2 |
77,6 |
19,4 |
– |
– |
|
III |
21,1 |
79,5 |
19,9 |
19,65 |
21,1-19,65=1,45 |
|
IV |
18,5 |
80,1 |
20 |
19,95 |
18,5-19,95=-1,45 |
|
2003 |
I |
19,7 |
80,6 |
20,2 |
20,1 |
19,7-20,1=-0,4 |
II |
20,8 |
82,4 |
20,6 |
20,4 |
20,8-20,4=0,4 |
|
III |
21,6 |
84,4 |
21,1 |
20,85 |
21,6-20,85=0,75 |
|
IV |
20,3 |
87,7 |
21,9 |
21,5 |
20,3-21,5=-1,2 |
|
2004 |
I |
21,7 |
92,2 |
23,1 |
22,5 |
21,7-22,5=-0,8 |
II |
24,1 |
97,2 |
24,3 |
23,7 |
24,1-23,7=0,4 |
|
III |
26,1 |
99,5 |
24,9 |
24,6 |
26,1-24,6=1,5 |
|
IV |
25,3 |
102,4 |
25,6 |
25,25 |
25,3-25,25=0,05 |
|
2005 |
I |
24 |
103 |
25,8 |
25,7 |
24-25,7=-1,7 |
II |
27 |
103,5 |
25,9 |
25,85 |
27-25,85=1,15 |
|
III |
26,7 |
– |
– |
– |
– |
|
IV |
25,8 |
– |
– |
– |
– |
Полученная модель динамики экспорта может быть использована с некоторыми ограничениями. С I по III квартал наблюдается повышение экспорта, а в конце года – снижение показателя, однако центрированная средняя показывает только тенденцию повышения.
2) Продолжим расчеты
значений сезонной компоненты. В моделях
с сезонной компонентой обычно
предполагается, что сезонные воздействия
за период взаимопогашаются. В аддитивной
модели это выражается в том, что сумма
значений сезонной компоненты по всем
кварталам должна быть равна нулю. Тем
не менее, по данной модели имеем
.
Рассчитаем корректирующий коэффициент
и найдем скорректированные значения
сезонной компоненты как разность между
ее средней оценкой и корректирующим
коэффициентом.
Квартал |
Год |
Сезонная компонента S |
Итого за квартал по годам |
Средняя сезонная компонента за квартал
|
Корректирующий коэффициент |
Скорректированная сезонная компонента
|
I
|
2002 |
– |
-2,9 |
-0,967 |
(-0,967+0,65+1,233-,867)/4=0,01225 |
-0,97925 |
2003 |
-0,4 |
|||||
2004 |
-0,8 |
|||||
2005 |
-1,7 |
|||||
II
|
2002 |
– |
1,95 |
0,65 |
0,63775 |
|
2003 |
0,4 |
|||||
2004 |
0,4 |
|||||
2005 |
1,15 |
|||||
III |
2002 |
1,45 |
3,7 |
1,233 |
1,22075 |
|
2003 |
0,75 |
|||||
2004 |
1,5 |
|||||
2005 |
– |
|||||
IV |
2002 |
-1,45 |
-2,6 |
-0,867 |
-0,87925 |
|
2003 |
-1,2 |
|||||
2004 |
0,05 |
|||||
2005 |
– |
|||||
Итого |
|
|
|
0,049 |
|
0 |
3) Устраним сезонную компоненту из временного ряда, вычислим тренд и случайную составляющую
t |
y |
S |
y-S |
T |
T+S |
E=y-(T+S) |
E2 |
(y-yср)2 |
1 |
17,8 |
-0,9793 |
18,77925 |
18,2037 |
17,22445 |
0,57555 |
0,331258 |
22,09 |
2 |
20,2 |
0,63775 |
19,56225 |
18,7824 |
19,42015 |
0,77985 |
0,608166 |
5,29 |
3 |
21,1 |
1,22075 |
19,87925 |
19,3611 |
20,58185 |
0,51815 |
0,268479 |
1,96 |
4 |
18,5 |
-0,8793 |
19,37925 |
19,9398 |
19,06055 |
-0,5605 |
0,314216 |
16 |
5 |
19,7 |
-0,9793 |
20,67925 |
20,5185 |
19,53925 |
0,16075 |
0,025841 |
7,84 |
6 |
20,8 |
0,63775 |
20,16225 |
21,0972 |
21,73495 |
-0,9349 |
0,874132 |
2,89 |
7 |
21,6 |
1,22075 |
20,37925 |
21,6759 |
22,89665 |
-1,2966 |
1,681301 |
0,81 |
8 |
20,3 |
-0,8793 |
21,17925 |
22,2546 |
21,37535 |
-1,0753 |
1,156378 |
4,84 |
9 |
21,7 |
-0,9793 |
22,67925 |
22,8333 |
21,85405 |
-0,1540 |
0,023731 |
0,64 |
10 |
24,1 |
0,63775 |
23,46225 |
23,412 |
24,04975 |
0,05025 |
0,002525 |
2,56 |
11 |
26,1 |
1,22075 |
24,87925 |
23,9907 |
25,21145 |
0,88855 |
0,789521 |
12,96 |
12 |
25,3 |
-0,8793 |
26,17925 |
24,5694 |
23,69015 |
1,60985 |
2,591617 |
7,84 |
13 |
24 |
-0,9793 |
24,97925 |
25,1481 |
24,16885 |
-0,1688 |
0,02851 |
2,25 |
14 |
27 |
0,63775 |
26,36225 |
25,7268 |
26,36455 |
0,63545 |
0,403797 |
20,25 |
15 |
26,7 |
1,22075 |
25,47925 |
26,3055 |
27,52625 |
-0,8262 |
0,682689 |
17,64 |
16 |
25,8 |
-0,8793 |
26,67925 |
26,8842 |
26,00495 |
-0,2049 |
0,042005 |
10,89 |
Итого |
360,7 |
0 |
360,7 |
360,7032 |
360,7032 |
-0,0032 |
9,824166 |
136,75 |
Уравнение тренда выясняется в Excel функцией Линейн (для линейного тренда) или, что более удобно:
Вставка/Диаграмма/График/Добавить линию тренда/Отобразить уравнение тренда на экран. Результат может выглядеть следующим образом
Таким образом, имеем линейный тренд
,
где
.
3) По аналогии с
моделью регрессии для оценки качества
построения модели, а также для выбора
наилучшей модели используют сумму
квадратов абсолютных ошибок
.
Для данной модели она равна 9,82. Средний
уровень ряда
равен 360,7/16=22,5 . Отношение суммы квадратов
случайной компоненты к общей сумме
квадратов отклонений уровней ряда от
его среднего значения:
.
Вывод: построенная аддитивная модель объясняет 92,8% общей вариации экспорта нефтепродуктов за 16 кварталов исследуемых четырех лет и ее можно использовать в прогнозах.
Вычислим прогнозное
значение объема экспорта во втором
квартале 2006 года. Имеем
,
,
.
Тогда
.
Задания для самостоятельной работы
Необходимо:
Рассчитать период сезонных колебаний.
Построить мультипликативную модель временного ряда.
Построить аддитивную модель временного ряда.
По наиболее достоверной модели выполнить прогнозирование на три будущих периода.
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
Вариант 4 |
||||
1 |
16 |
1 |
7 |
1 |
6 |
1 |
10 |
2 |
13 |
2 |
10 |
2 |
11 |
2 |
7 |
3 |
8 |
3 |
9 |
3 |
7 |
3 |
3 |
4 |
10 |
4 |
6 |
4 |
3 |
4 |
3 |
5 |
18 |
5 |
3 |
5 |
2 |
5 |
12 |
6 |
16 |
6 |
4 |
6 |
3 |
6 |
9 |
7 |
11 |
7 |
11 |
7 |
10 |
7 |
5 |
8 |
12 |
8 |
14 |
8 |
13 |
8 |
5 |
9 |
19 |
9 |
12 |
9 |
11 |
9 |
12 |
10 |
19 |
10 |
7 |
10 |
8 |
10 |
11 |
11 |
13 |
11 |
3 |
11 |
4 |
11 |
5 |
12 |
15 |
12 |
6 |
12 |
7 |
12 |
8 |
13 |
23 |
13 |
13 |
13 |
13 |
13 |
16 |
14 |
20 |
14 |
15 |
14 |
15 |
14 |
13 |
15 |
14 |
15 |
13 |
15 |
15 |
15 |
9 |
16 |
18 |
16 |
9 |
16 |
8 |
16 |
11 |
17 |
23 |
17 |
7 |
17 |
6 |
17 |
18 |
18 |
23 |
18 |
9 |
18 |
8 |
18 |
15 |
|
|
|
|
19 |
14 |
19 |
11 |
|
|
|
|
20 |
19 |
20 |
13 |
Вариант 5 |
Вариант 6 |
Вариант 7 |
Вариант 8 |
||||
1 |
8 |
1 |
23 |
1 |
15 |
1 |
13 |
2 |
8 |
2 |
22 |
2 |
11 |
2 |
10 |
3 |
2 |
3 |
14 |
3 |
6 |
3 |
7 |
4 |
5 |
4 |
17 |
4 |
4 |
4 |
7 |
5 |
10 |
5 |
21 |
5 |
8 |
5 |
9 |
6 |
10 |
6 |
20 |
6 |
10 |
6 |
13 |
7 |
5 |
7 |
13 |
7 |
13 |
7 |
12 |
8 |
8 |
8 |
14 |
8 |
12 |
8 |
8 |
9 |
14 |
9 |
21 |
9 |
5 |
9 |
4 |
10 |
13 |
10 |
18 |
10 |
4 |
10 |
6 |
11 |
8 |
11 |
12 |
11 |
5 |
11 |
7 |
12 |
10 |
12 |
12 |
12 |
11 |
12 |
10 |
13 |
16 |
13 |
19 |
13 |
13 |
13 |
10 |
14 |
15 |
14 |
16 |
14 |
9 |
14 |
8 |
15 |
9 |
15 |
9 |
15 |
6 |
15 |
5 |
16 |
13 |
16 |
13 |
16 |
3 |
16 |
3 |
17 |
18 |
17 |
18 |
17 |
3 |
17 |
5 |
18 |
19 |
18 |
16 |
18 |
8 |
18 |
9 |
19 |
12 |
19 |
8 |
19 |
10 |
19 |
8 |
20 |
15 |
20 |
9 |
20 |
8 |
20 |
6 |
Вариант 9 |
Вариант 10 |
||
1 |
13 |
1 |
15 |
2 |
10 |
2 |
10 |
3 |
6 |
3 |
8 |
4 |
9 |
4 |
14 |
5 |
11 |
5 |
16 |
6 |
8 |
6 |
13 |
7 |
5 |
7 |
14 |
8 |
8 |
8 |
16 |
9 |
10 |
9 |
19 |
10 |
6 |
10 |
19 |
11 |
6 |
11 |
17 |
12 |
8 |
12 |
20 |
13 |
9 |
13 |
24 |
14 |
6 |
14 |
22 |
15 |
2 |
15 |
19 |
16 |
4 |
16 |
24 |
17 |
8 |
17 |
26 |
18 |
3 |
18 |
24 |
|
|
19 |
13,43 |
|
|
20 |
14,99 |