Лабораторная работа №9 Моделирование временных рядов с распределенным лагом

Рассмотрим модель с распределенным лагом в ее общем виде в предположении, что максимальная величина лага конечна:

.

Данная модель говорит о том, что если в некоторый момент времени t происходит изменение независимой переменной x, то это изменение будет влиять на значения переменной y в течение l следующих моментов времени.

Коэффициент регрессии при перемеренной характеризует среднее абсолютное изменение при изменении на 1 единицу своего измерения в некоторый фиксированный момент времени , без учета воздействия лаговых значений фактора . Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором.

В момент совокупное воздействие факторной переменной на результат составит условных единиц, в момент это воздействие можно охарактеризовать суммой и т. д. Полученные таким образом суммы называют промежуточным мультипликаторами.

С учетом конечной величины лага можно сказать, что изменение переменной в момент на 1 у.е. приведет к общему изменению результата через моментов времени на абсолютных единиц.

Введем следующее обозначение:

Величину называют долгосрочным мультипликатором, который показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде результата под влиянием изменения на 1 ед. фактора .

Предположим,

.

Назовем полученные величины относительными коэффициентами модели с распределенным лагом. Если все коэффициенты имеют одинаковые знаки, то выполняются условия и . Каждый из коэффициентов измеряет долю от общего изменения результативного признака в момент времени .

Зная величины , можно определить еще две важные характеристики: величину среднего и медианного лагов.

Средний лаг вычисляется по формуле

и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t. Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора, тогда как высокое его значение говорит о том, что воздействие фактора на результат будет сказываться в течение длительного периода времени.

Медианный лаг – это величина лага, для которого . Это период времени, в течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат.

Лаги, структуру которых можно описать с помощью полиномов, называют лагами Алмон.

Формально модель зависимости коэффициентов от величины лага j в форме полинома можно записать так:

.

Тогда каждый из коэффициентов модели можно выразить следующим образом:

(*)

Подставив данные соотношения в модель, и перегруппировав слагаемые, получим

Введем новые обозначения

……………………………………………..

.

Тогда модель с распределенным лагом будет выглядеть следующим образом:

.

Процедура применения метода Алмон для расчета параметров модели с распределенным лагом выполняется следующим образом:

1. Определяется максимальная величина лага l.

2. Определяется степень полинома k, описывающего структуру лага.

3. Рассчитываются значения переменных .

4. Определяются параметры уравнения линейной регрессии по данным значениям и .

5. С помощью соотношений (*) рассчитываются параметры исходной модели с распределенным лагом .

Пример.

В таблице представлены данные по региону о месячном доходе на душу населения (x) и денежных расходах населения (y) по месяцам за 2 года.

y	90	95	103	115	134	132	145	156	167	178	202	214
x	120	117	132	136	155	163	174	178	188	203	231	255
y	225	237	241	244	256	271	288	289	297	312	335	347
x	246	264	278	289	295	300	305	316	332	347	376	389

Задание.

I. Построить модель с распределенным лагом используя лаги от одного до трех месяцев

При этом необходимо:

1. Применить обычный МНК.

2. Применить метод Алмон, исходя из предположения, что лаг имеет линейную структуру .

3. Рассчитать средний и медианный лаги.

II. Построить модель с распределенным лагом используя лаги от одного до четырех месяцев

.

При этом необходимо:

1. Применить обычный МНК.

2. Применить метод Алмон, исходя из предположения, что структура лага описывается полиномом второй степени , где

3. Рассчитать средний и медианный лаги.

I. Выполняем расчет для регрессии через Анализ данных/Регрессия. Для этого строим вспомогательную таблицу

90	120
95	117
103	132
115	136	132	117	120
134	155	136	132	117
132	163	155	136	132
145	174	163	155	136
156	178	174	163	155
167	188	178	174	163
178	203	188	178	174
202	231	203	188	178
214	255	231	203	188
225	246	255	231	203
237	264	246	255	231
241	278	264	246	255
244	289	278	264	246
256	295	289	278	264
271	300	295	289	278
288	305	300	295	289
289	316	305	300	295
297	332	316	305	300
312	347	332	316	305
335	376	347	332	316
347	389	376	347	332
90	120	132	117	120

Протокол расчета :

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,997244635
R-квадрат	0,994496863
Нормированный R-квадрат	0,993121078
Стандартная ошибка	5,802269075
Наблюдения	21
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	4	97343,91021	24335,97755	722,85812	7,53348E-18
Остаток	16	538,6612227	33,66632642
Итого	20	97882,57143
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-8,212350419	4,986282848	-1,646988482	0,1190561
Переменная X 1	0,618169232	0,149223144	4,142582811	0,0007651
Переменная X 2	-0,056537753	0,206740199	-0,273472472	0,787987
Переменная X 3	0,323694928	0,20619296	1,569864111	0,136009
Переменная X 4	0,066599661	0,154758466	0,430345831	0,672684

То есть модель имеет вид

.

Удовлетворительным результат назвать нельзя, поскольку

• вычисленные коэффициенты не являются статистически значимыми (вероятность ошибки их расчета значительно превышают допустимый уровень в 0,05);

• коэффициенты имеют разные знаки, что противоречит здравому смыслу: влияние признака x в разные периоды не может быть разнонаправленным.

2) Применяем метод Алмон для расчета параметров модели

.

а) Структура лага линейная, т.е.

Необходимо преобразовать исходные данные в новые переменные . Это преобразование выглядит следующим образом:

.

y	x
90	120
95	117
103	132	z0	z1
115	136	505	726
134	155	540	751
132	163	586	823
145	174	628	881
156	178	670	965
167	188	703	1015
178	203	743	1066
202	231	800	1113
214	255	877	1201
225	246	935	1326
237	264	996	1449
241	278	1043	1521
244	289	1077	1544
256	295	1126	1637
271	300	1162	1707
288	305	1189	1757
289	316	1216	1790
297	332	1253	1826
312	347	1300	1879
335	376	1371	1959
347	389	1444	2066

Строим регрессию

Протокол расчета

Регрессионная статистика
Множественный R	0,99673
R-квадрат	0,993471
Нормированный R-квадрат	0,992745
Стандартная ошибка	5,958766
Наблюдения	21
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	97243,44739	48621,72369	1369,360199	2,15734E-20
Остаток	18	639,1240428	35,50689127
Итого	20	97882,57143
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
а	-7,81343	5,112546309	-1,528284687	0,143824277
с0	0,413363	0,083158004	4,970810164	9,88999E-05
с1	-0,11675	0,056121391	-2,080299087	0,052057898

По найденным коэффициентам находим параметры , а именно

Получили модель с распределенным лагом

.

Эта регрессия лишена недостатков предыдущей:

• вычисленные коэффициенты являются статистически значимыми (вероятность ошибки их расчета почти не превышают допустимый уровень в 0,05);

• коэффициенты имеют одинаковые знаки.

Сравним исходные данные и результаты регрессии:

	90	120
	95	117
	103	132
	115	136	116,1747	1,380007	12736,73469
	134	155	127,7237	39,39197	8809,163265
	132	163	138,3324	40,09969	9188,591837
	145	174	148,9222	15,38369	6865,306122
	156	178	156,4765	0,22705	5163,44898
	167	188	164,28	7,398396	3703,591837
	178	203	174,8603	9,857755	2485,734694
	202	231	192,9347	82,17878	668,5918367
	214	255	214,4897	0,239842	192,0204082
	225	246	223,8711	1,274391	8,163265306
	237	264	234,7261	5,170752	83,59183673
	241	278	245,7482	22,5451	172,7346939
	244	289	257,1173	172,0626	260,5918367
	256	295	266,5144	110,5516	792,0204082
	271	300	273,223	4,941541	1861,306122
	288	305	278,5463	89,37272	3617,163265
	289	316	285,8544	9,895109	3738,44898
	297	332	296,9458	0,002938	4780,734694
	312	347	310,1861	3,290132	7080,020408
	335	376	330,1949	23,08866	11479,59184
	347	389	347,8782	0,771296	14195,02041
Среднее	227,8571
Сумма				639,124	97882,57143

Для оценки качества построения модели сравниваем остаточную и общую дисперсии. Отношение суммы квадратов остатков регрессии к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего значения равно

.

Построенная модель достоверна на больше, чем на 99%.

Рассчитаем средний и медианный лаг по построенной модели временного ряда. Для удобства данные сводим в таблицу

Лаг, j	Коэффициенты модели	Относительные коэффициенты ,	Средний лаг	Медианный лаг –величина лага, для которого .
0	0,41	0,43
1	0,3	0,31
2	0,18	0,19
3	0,06	0,07
Выводы: Такая величина среднего и медианного лагов свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора, в основном в текущем и следующем за текущим периоде.

II. Строим модель с распределенным лагом в четыре временных периода, исходя из гипотезы о квадратичной структуре лага .

Тогда

.

Преобразование для вспомогательных переменных выглядит следующим образом:

;

.

Строим регрессию .

y	x
90	120
95	117
103	132
115	136	z0	z1	z2
134	155	660	1231	3637
132	163	703	1291	3759
145	174	760	1409	4119
156	178	806	1509	4397
167	188	858	1635	4821
178	203	906	1718	5074
202	231	974	1809	5341
214	255	1055	1913	5583
225	246	1123	2078	6014
237	264	1199	2261	6593
241	278	1274	2445	7239
244	289	1332	2564	7628
256	295	1372	2621	7713
271	300	1426	2763	8177
288	305	1467	2869	8529
289	316	1505	2946	8784
297	332	1548	3006	8956
312	347	1600	3079	9141
335	376	1676	3179	9399
347	389	1760	3330	9808

Протокол расчета

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,996328351
R-квадрат	0,992670183
Нормированный R-квадрат	0,991295843
Стандартная ошибка	6,222115169
Наблюдения	20
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	83889,56453	27963,18818	722,28832	2,77251E-17
Остаток	16	619,4354747	38,71471717
Итого	19	84509
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
a	-6,683191872	6,247481362	-1,069741786	0,3006088
с0	0,457847985	0,116502829	3,929930209	0,0011959
с1	-0,239601907	0,191844893	-1,248935549	0,2296532
с2	0,035280787	0,047693437	0,739740933	0,4701727

По найденным коэффициентам находим параметры , а именно

Получили модель с распределенным лагом в четыре периода:

.

Сравним исходные данные и результаты регрессии:

	90	120
	95	117
	103	132
	115	136
	134	155	128,6768	28,33637171	8809,163265
	132	163	138,3068	39,77582876	9188,591837
	145	174	148,7868	14,3399158	6865,306122
	156	178	155,7168	0,080197636	5163,44898
	167	188	164,2568	7,525101647	3703,591837
	178	203	175,2768	7,415773972	2485,734694
	202	231	194,0068	63,8911163	668,5918367
	214	255	214,6868	0,471705405	192,0204082
	225	246	221,4068	12,91102783	8,163265306
	237	264	232,8968	16,83618354	83,59183673
	241	278	245,8768	23,78325752	172,7346939
	244	289	257,4968	182,1638296	260,5918367
	256	295	265,2268	85,13398823	792,0204082
	271	300	272,2668	1,604802833	1861,306122
	288	305	278,0368	99,26519228	3617,163265
	289	316	285,9668	9,200252932	3738,44898
	297	332	297,3368	0,113439715	4780,734694
	312	347	310,1568	3,397356277	7080,020408
	335	376	330,1268	23,74799902	11479,59184
	347	389	346,7768	0,049814612	14195,02041
Среднее	227,8571
Сумма				620,0431557	85145,83673

Для оценки качества построения модели сравниваем остаточную и общую дисперсии. Отношение суммы квадратов остатков регрессии к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего значения равно

.

Построенная модель также как и предыдущая достоверна больше, чем на 99%.

Задание для самостоятельной работы

Вариант 1		Вариант 2		Вариант 3		Вариант 4		Вариант 5
x	y	y	x	y	x	x	y	x	y
10	6	3,5	1,51	70,8	101,7	100	89	10	6
11	6,5	3,6	1,5	98,7	101,1	101,6	76,8	11	6,5
12	6,8	3,7	1,53	97,9	100,4	107,2	79,9	12	6,8
13	7	3,7	1,53	99,6	100,1	111,1	80,5	13	7
15	7,4	3,8	1,55	96,1	100	115,1	71,3	15	7,4
17	8	3,9	1,58	103,4	100,1	120,9	115,4	17	8
18	8,2	4,1	1,62	95,5	100	127,4	150,8	18	8,2
20	8,7	4,2	1,65	102,9	105,8	134,4	123	20	8,7
20	9	4,3	1,63	77,6	145	138,8	174,6	20	9
25	10	4,4	1,65	102,3	99,8	143,7	264,4	25	10
27	10,5	4,5	1,67	102,9	102,7	100	328,8	27	10,5
24	11	4,5	1,64	123,1	109,4	89	294,33	24	11
30	13	4,6	1,69	74,3	110	90	116,84	30	13
32	12,8	4,7	1,74	92,9	106,4	85	94,22	32	12,8
38	14	4,9	1,8	106	103,2	55	44,18	38	14
34	15	4,8	1,75	99,8	103,2	65	59,82	34	15
45	17	4,8	1,65	105,2	102,9	66	48,67	45	17
37	16	5	1,73	99,7	100,8	65	28,45	37	16
55	22	5,1	1,81	99,7	101,6	62	20,28	55	22
48	23,1	5,3	1,87	107,9	101,5	55	17,9	48	23,1
47	23	5,4	1,88	98,8	101,4	55	18,5
45	26	5,4	1,8	104,6	101,7	46,81	16,89
56	28	5,4	1,84	106,4	101,7	43,25	10,89
60	29			122,7	101,2

Вариант 6		Вариант 7		Вариант 8		Вариант 9		Вариант 10
y	x	x	y	y	x	y	x	x	y
98,7	101,1	136	115	70,8	101,7	3,5	1,51	12	6,8
97,9	100,4	155	134	98,7	101,1	3,6	1,5	13	7
99,6	100,1	163	132	97,9	100,4	3,7	1,53	15	7,4
96,1	100	174	145	99,6	100,1	3,7	1,53	17	8
103,4	100,1	178	156	96,1	100	3,8	1,55	18	8,2
95,5	100	188	167	103,4	100,1	3,9	1,58	20	8,7
102,9	105,8	203	178	95,5	100	4,1	1,62	20	9
77,6	145	231	202	102,9	105,8	4,2	1,65	25	10
102,3	99,8	225	214	77,6	145	4,3	1,63	27	10,5
102,9	102,7	246	225	102,3	99,8	4,4	1,65	24	11
123,1	109,4	264	237	102,9	102,7	4,5	1,67	30	13
74,3	110	278	241	123,1	109,4	4,5	1,64	32	12,8
92,9	106,4	289	244	74,3	110	4,6	1,69	38	14
106	103,2	295	256	92,9	106,4	4,7	1,74	34	15
99,8	103,2	300	271	106	103,2	4,9	1,8	45	17
105,2	102,9	305	288	99,8	103,2	4,8	1,75	37	16
99,7	100,8	316	289	105,2	102,9	4,8	1,65	55	22
99,7	101,6	332	297	99,7	100,8	5	1,73	48	23,1
107,9	101,5	347	312	99,7	101,6	5,1	1,81	47	23
98,8	101,4	376	335	107,9	101,5	5,3	1,87	45	26
		389	347	98,8	101,4	5,4	1,88	56	28
								60	29