Лабораторная работа №2 Нелинейные модели парной регрессии
Полином 2-го
порядка:
.
Параметры a, b и c находят, решая методом определителей систему уравнений:
Гипербола:
.
Параметры a и b находят, решая систему уравнений
Регрессия
Система нормальных уравнений имеет вид:
.
Степенная функция:
.
Пусть
,
,
.
Тогда уравнение примет вид
.
Параметры модели определяются по следующим формулам:
,
.
Показательная
функция:
.
Пусть
,
,
.
Тогда уравнение регрессии примет вид
.
Параметры модели определяются по
следующим формулам:
,
.
Полулогарифмическая
функция:
.
Оценка параметров может быть найдена по формулам:
.
Логистическая
функция:
.
Обратная модель
вида:
.
Оценка параметров может быть найдена по формулам:
.
Оценка тесноты связи в нелинейной регрессии:
а) индекс корреляции R,
,
где
– общая дисперсия результативного
признака,
–
остаточная дисперсия.
Кроме того,
;
Величина данного
показателя находится в границах
,
чем ближе к единице, тем теснее связь
рассматриваемых признаков, тем более
надежно найденное уравнение регрессии.
б) индекс
детерминации
имеет тот же смысл, что и коэффициент
детерминации в линейных регрессионных
моделях;
в) коэффициент
средней эластичности
,
где
–
производная функции
Функция |
Коэффициент средней эластичности |
Парабола |
|
Гипербола |
|
Показательная |
|
Степенная |
|
Экспоненциальная
|
|
Полулогарифмическая |
|
Логистическая |
|
Обратная |
|
Проверка статистической значимости в целом уравнения нелинейной регрессии по F-критерию Фишера
,
где n – число наблюдений, m – число параметров при переменной x.
Средняя ошибка аппроксимации
.
Обоснования возможности замены нелинейной регрессии линейной функцией
1) если величина
не превышает 0,1, то предположение о
линейной форме связи считается
оправданным;
2) если
,
то вычисляют ошибку разности между
и
и t-критерий Стъюдента
.
Если
,
то различие между
и
существенно, и замена нелинейной
регрессии уравнением линейной функции
невозможна. Практически, если величина
,
то различие между
и
не существенно, и имеет смысл перейти
к линейной регрессии.
Практические рекомендации по выполнению расчетов
с помощью табличного редактора MS Excel
Имеются данные о годовой цене программы «Мастер делового администрирования» и числе слушателей в образовательном учреждении.
Цена программы, тыс. долл., y |
8 |
5 |
4,9 |
4 |
3,8 |
3,5 |
3,8 |
3,7 |
3,6 |
3,5 |
3,4 |
3 |
3 |
Число слушателей, чел., x |
5 |
10 |
12 |
15 |
20 |
22 |
25 |
30 |
35 |
36 |
40 |
50 |
60 |
Необходимо:
1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
2. Рассчитать параметры параболической, степенной, показательной, полулогарифмической, обратной и гиперболической регрессий.
3. Постройте на одной диаграмме с полем корреляции линию регрессии.
4. В каждом случае оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
5. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество модели.
6. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.
7. Выберите лучшее уравнение регрессии.
8. Дайте по выбранному уравнению оценку силы связи фактора с результатом с помощью среднего коэффициента эластичности.
9. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его максимального в исходных данных значения. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости .
Полином 2-го порядка (парабола): .
Параметры a, b и c находят, решая методом определителей систему уравнений:
Необходима вспомогательная таблица расчетов:
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
8 |
5 |
25 |
125 |
625 |
40 |
200 |
|
5 |
10 |
100 |
1000 |
10000 |
50 |
500 |
|
4,9 |
12 |
144 |
1728 |
20736 |
58,8 |
705,6 |
|
4 |
15 |
225 |
3375 |
50625 |
60 |
900 |
|
3,8 |
20 |
400 |
8000 |
160000 |
76 |
1520 |
|
3,5 |
22 |
484 |
10648 |
234256 |
77 |
1694 |
|
3,8 |
25 |
625 |
15625 |
390625 |
95 |
2375 |
|
3,7 |
30 |
900 |
27000 |
810000 |
111 |
3330 |
|
3,6 |
35 |
1225 |
42875 |
1500625 |
126 |
4410 |
|
3,5 |
36 |
1296 |
46656 |
1679616 |
126 |
4536 |
|
3,4 |
40 |
1600 |
64000 |
2560000 |
136 |
5440 |
|
3 |
50 |
2500 |
125000 |
6250000 |
150 |
7500 |
|
3 |
60 |
3600 |
216000 |
12960000 |
180 |
10800 |
Сумма |
53,2 |
360 |
13124 |
562032 |
26627108 |
1285,8 |
43910,6 |
Получаем систему уравнений
Составим главный определитель системы, состоящий из коэффициентов при переменных a, b и c,
.
Вычислить этот определитель можно в Excel, воспользовавшись математической функцией МОПРЕД.
Далее составляем и вычисляем три вспомогательных определителя системы,
;
,
,
.
Находим параметры a, b и c соответственно по формулам
,
,
.
Таким образом,
уравнение параболической регрессии
признаков x
и y
имеет вид:
.
Показателем тесноты связи выступает индекс корреляции , коэффициент детерминации . Для расчета этих характеристик, а также для расчета средней ошибки аппроксимации необходимо составить в Excel расчетную таблицу следующего вида:
|
y |
x |
|
|
|
|
|
8 |
5 |
6,455490941 |
2,38550823 |
15,27006 |
19,30636324 |
|
5 |
10 |
5,610316807 |
0,3724866 |
0,823905 |
12,20633613 |
|
4,9 |
12 |
5,304252704 |
0,16342025 |
0,652367 |
8,250055184 |
|
4 |
15 |
4,879448212 |
0,77342916 |
0,008521 |
21,98620529 |
|
3,8 |
20 |
4,262885156 |
0,21426267 |
0,085444 |
12,18118831 |
|
3,5 |
22 |
4,048265484 |
0,30059504 |
0,350828 |
15,66472813 |
|
3,8 |
25 |
3,760627639 |
0,00155018 |
0,085444 |
1,036114765 |
|
3,7 |
30 |
3,372675661 |
0,10714122 |
0,153905 |
8,846603755 |
|
3,6 |
35 |
3,099029222 |
0,25097172 |
0,242367 |
13,91585494 |
|
3,5 |
36 |
3,058016599 |
0,19534933 |
0,350828 |
12,62809717 |
|
3,4 |
40 |
2,939688322 |
0,21188684 |
0,47929 |
13,53857875 |
|
3 |
50 |
2,96392314 |
0,00130154 |
1,193136 |
1,202562007 |
|
3 |
60 |
3,445380113 |
0,19836345 |
1,193136 |
14,84600377 |
Среднее |
4,092308 |
|
|
|
|
11,96989934 |
Сумма |
|
|
|
5,17626623 |
20,88923 |
|
Тогда
,
,
.
Расчетное значение
критерия Фишера равно
,
где n
– число наблюдений, m
– число
параметров при переменной x.
Для параболы
,
в данном примере
.
Выводы:
,
что говорит о тесной прямой связи между
признаками x
и y., т.е. 75,22% вариации признака y объясняется за счет признака x данным уравнением регрессии, что является весьма удовлетворительным.
Средняя ошибка аппроксимации не превышает установленного предела в 15%, что свидетельствует о хорошем качестве модели.
Расчетное значение критерия Фишера равно 15,18, оно превышает соответствующее табличное (критическое) значение (4,1). Найденное уравнение параболической регрессии статистически надежно.
Графическая иллюстрация приведена ниже
Степенная функция: .
Пусть , , . Тогда уравнение примет вид
.
Параметры модели определяются по следующим формулам:
, .
Составим вспомогательную таблицу.
|
y |
x |
|
|
|
|
|
8 |
5 |
2,079441542 |
1,60943791 |
2,59029 |
3,3467321 |
|
5 |
10 |
1,609437912 |
2,30258509 |
5,301898 |
3,7058677 |
|
4,9 |
12 |
1,589235205 |
2,48490665 |
6,174761 |
3,9491011 |
|
4 |
15 |
1,386294361 |
2,7080502 |
7,333536 |
3,7541547 |
|
3,8 |
20 |
1,335001067 |
2,99573227 |
8,974412 |
3,9993058 |
|
3,5 |
22 |
1,252762968 |
3,09104245 |
9,554543 |
3,8723435 |
|
3,8 |
25 |
1,335001067 |
3,21887582 |
10,36116 |
4,2972027 |
|
3,7 |
30 |
1,30833282 |
3,40119738 |
11,56814 |
4,4498982 |
|
3,6 |
35 |
1,280933845 |
3,55534806 |
12,6405 |
4,5541657 |
|
3,5 |
36 |
1,252762968 |
3,58351894 |
12,84161 |
4,4892998 |
|
3,4 |
40 |
1,223775432 |
3,68887945 |
13,60783 |
4,51436 |
|
3 |
50 |
1,098612289 |
3,91202301 |
15,30392 |
4,2977965 |
|
3 |
60 |
1,098612289 |
4,09434456 |
16,76366 |
4,4980973 |
Среднее |
4,092308 |
27,69230769 |
1,373092597 |
3,12661091 |
10,23202 |
4,1329481 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
b |
-0,35101802 |
||||
|
A |
2,470589356 |
||||
|
|
|
||||
|
a |
11,82941654 |
||||
|
|
|
||||
Степенная регрессия
имеет вид:
.
Для оценки тесноты связи и надежности
моделирования составим расчетную
таблицу
|
y |
x |
|
|
|
|
|
8 |
5 |
6,72376088 |
1,62878629 |
15,27006 |
15,952989 |
|
5 |
10 |
5,271634701 |
0,07378541 |
0,823905 |
5,432694022 |
|
4,9 |
12 |
4,944828847 |
0,00200963 |
0,652367 |
0,914874437 |
|
4 |
15 |
4,572293534 |
0,32751989 |
0,008521 |
14,30733836 |
|
3,8 |
20 |
4,13312325 |
0,1109711 |
0,085444 |
8,766401326 |
|
3,5 |
22 |
3,997134646 |
0,24714286 |
0,350828 |
14,20384702 |
|
3,8 |
25 |
3,821740509 |
0,00047265 |
0,085444 |
0,572118651 |
|
3,7 |
30 |
3,584818332 |
0,01326682 |
0,153905 |
3,11301806 |
|
3,6 |
35 |
3,395999538 |
0,04161619 |
0,242367 |
5,666679501 |
|
3,5 |
36 |
3,362583734 |
0,01888323 |
0,350828 |
3,926179017 |
|
3,4 |
40 |
3,240495363 |
0,02544173 |
0,47929 |
4,691312861 |
|
3 |
50 |
2,996361745 |
1,3237E-05 |
1,193136 |
0,121275157 |
|
3 |
60 |
2,810607494 |
0,03586952 |
1,193136 |
6,31308354 |
Среднее |
4,092308 |
|
|
|
|
6,460139305 |
Сумма |
|
|
|
2,52577855 |
20,88923 |
|
Пользуясь формулами для расчета, получим
Примечание. При вычислении статистики Фишера для степенной функции параметр m=1.
Выводы:
,
что говорит о тесной прямой связи между
признаками x
и y.
,
т.е. 87,91% вариации признака y
объясняется за счет признака x
данным уравнением регрессии, что
является весьма удовлетворительным.Средняя ошибка аппроксимации не превышает установленного предела в 15%, что свидетельствует о хорошем качестве модели.
Расчетное значение критерия Фишера равно 79,97, оно превышает соответствующее табличное (критическое) значение (4,8). Найденное уравнение степенной регрессии статистически надежно.
Графическая иллюстрация приведена ниже
Показательная функция: .
Пусть , , . Тогда уравнение регрессии примет вид . Параметры модели определяются по следующим формулам:
, .
Составим вспомогательную таблицу.
|
y |
x |
|
|
|
|
8 |
5 |
2,079441542 |
25 |
10,39721 |
|
5 |
10 |
1,609437912 |
100 |
16,09438 |
|
4,9 |
12 |
1,589235205 |
144 |
19,07082 |
|
4 |
15 |
1,386294361 |
225 |
20,79442 |
|
3,8 |
20 |
1,335001067 |
400 |
26,70002 |
|
3,5 |
22 |
1,252762968 |
484 |
27,56079 |
|
3,8 |
25 |
1,335001067 |
625 |
33,37503 |
|
3,7 |
30 |
1,30833282 |
900 |
39,24998 |
|
3,6 |
35 |
1,280933845 |
1225 |
44,83268 |
|
3,5 |
36 |
1,252762968 |
1296 |
45,09947 |
|
3,4 |
40 |
1,223775432 |
1600 |
48,95102 |
|
3 |
50 |
1,098612289 |
2500 |
54,93061 |
|
3 |
60 |
1,098612289 |
3600 |
65,91674 |
Среднее |
4,092308 |
27,69230769 |
1,373092597 |
1009,53846 |
34,84409 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
B |
-0,01310402 |
|||
|
A |
1,735973264 |
|||
|
|
|
|||
|
b |
0,98698146 |
|
|
|
|
a |
5,674447852 |
|||
Показательная
регрессия имеет вид:
.
Для оценки тесноты связи и надежности моделирования составим расчетную таблицу
|
y |
x |
|
|
|
|
|
8 |
5 |
5,314575517 |
7,21150465 |
15,27006 |
33,56780603 |
|
5 |
10 |
5,271634701 |
0,07378541 |
0,823905 |
5,432694022 |
|
4,9 |
12 |
4,944828847 |
0,00200963 |
0,652367 |
0,914874437 |
|
4 |
15 |
4,572293534 |
0,32751989 |
0,008521 |
14,30733836 |
|
3,8 |
20 |
4,13312325 |
0,1109711 |
0,085444 |
8,766401326 |
|
3,5 |
22 |
3,997134646 |
0,24714286 |
0,350828 |
14,20384702 |
|
3,8 |
25 |
3,821740509 |
0,00047265 |
0,085444 |
0,572118651 |
|
3,7 |
30 |
3,584818332 |
0,01326682 |
0,153905 |
3,11301806 |
|
3,6 |
35 |
3,395999538 |
0,04161619 |
0,242367 |
5,666679501 |
|
3,5 |
36 |
3,362583734 |
0,01888323 |
0,350828 |
3,926179017 |
|
3,4 |
40 |
3,240495363 |
0,02544173 |
0,47929 |
4,691312861 |
|
3 |
50 |
2,996361745 |
1,3237E-05 |
1,193136 |
0,121275157 |
|
3 |
60 |
2,810607494 |
0,03586952 |
1,193136 |
6,31308354 |
Среднее |
4,092308 |
|
|
|
|
7,81512523 |
Сумма |
|
|
|
8,10849691 |
20,88923 |
|
Пользуясь формулами для расчета, получим
Выводы:
,
что говорит о тесной прямой связи между
признаками x
и y.
,
т.е. 61,18% вариации признака y
объясняется за счет признака x
данным уравнением регрессии, что
является весьма удовлетворительным.Средняя ошибка аппроксимации не превышает установленного предела в 15%, что свидетельствует о хорошем качестве модели.
Расчетное значение критерия Фишера равно 17,34, оно превышает соответствующее табличное (критическое) значение (4,8). Найденное уравнение показательной регрессии статистически надежно.
Графическая иллюстрация приведена ниже.
Полулогарифмическая функция: .
Оценка параметров может быть по решению системы уравнений:
.
|
y |
x |
|
|
|
|
8 |
5 |
1,609437912 |
2,59029039 |
12,8755 |
|
5 |
10 |
2,302585093 |
5,30189811 |
11,51293 |
|
4,9 |
12 |
2,48490665 |
6,17476106 |
12,17604 |
|
4 |
15 |
2,708050201 |
7,33353589 |
10,8322 |
|
3,8 |
20 |
2,995732274 |
8,97441185 |
11,38378 |
|
3,5 |
22 |
3,091042453 |
9,55454345 |
10,81865 |
|
3,8 |
25 |
3,218875825 |
10,3611616 |
12,23173 |
|
3,7 |
30 |
3,401197382 |
11,5681436 |
12,58443 |
|
3,6 |
35 |
3,555348061 |
12,6404998 |
12,79925 |
|
3,5 |
36 |
3,583518938 |
12,841608 |
12,54232 |
|
3,4 |
40 |
3,688879454 |
13,6078316 |
12,54219 |
|
3 |
50 |
3,912023005 |
15,303924 |
11,73607 |
|
3 |
60 |
4,094344562 |
16,7636574 |
12,28303 |
Сумма |
53,2 |
360 |
40,64594181 |
133,016267 |
156,3181 |
Получаем систему уравнений
.
Решить эту систему можно любым доступным способом, например, методом подстановки. При использовании Excel это лучше сделать методом определителей.
Для |
13 |
40,64594181 |
|
Для |
53,2 |
40,64594181 |
дельта |
40,64594 |
133,0162668 |
|
дельта a |
156,318124 |
133,0162668 |
|
|
|
|
|
|
|
Δ |
77,11888 |
|
|
Δa |
722,768022 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
13 |
53,2 |
|
|
|
|
дельта b |
40,64594 |
156,318124 |
|
a |
9,37212778 |
|
|
|
|
|
b |
-1,6886719 |
|
|
Δb |
-130,228493 |
|
|
|
|
Уравнение
полулогарифмической регрессии имеет
вид:
.
Для оценки тесноты связи и надежности моделирования составим расчетную таблицу
|
y |
x |
|
|
|
|
|
8 |
5 |
6,654315149 |
1,81086772 |
15,2700592 |
16,82106064 |
|
5 |
10 |
5,483816959 |
0,23407885 |
0,82390533 |
9,676339186 |
|
4,9 |
12 |
5,175935664 |
0,07614049 |
0,65236686 |
5,631340072 |
|
4 |
15 |
4,799119411 |
0,63859183 |
0,00852071 |
19,97798528 |
|
3,8 |
20 |
4,31331877 |
0,26349616 |
0,08544379 |
13,50838868 |
|
3,5 |
22 |
4,152371144 |
0,42558811 |
0,3508284 |
18,63917555 |
|
3,8 |
25 |
3,936502518 |
0,01863294 |
0,08544379 |
3,59217152 |
|
3,7 |
30 |
3,628621222 |
0,00509493 |
0,15390533 |
1,929156163 |
|
3,6 |
35 |
3,368311295 |
0,05367966 |
0,24236686 |
6,435797348 |
|
3,5 |
36 |
3,320739926 |
0,03213417 |
0,3508284 |
5,121716394 |
|
3,4 |
40 |
3,142820581 |
0,06614125 |
0,47928994 |
7,564100572 |
|
3 |
50 |
2,766004328 |
0,05475397 |
1,19313609 |
7,799855721 |
|
3 |
60 |
2,458123033 |
0,29363065 |
1,19313609 |
18,06256558 |
Среднее |
4,092308 |
|
|
|
|
10,36612713 |
Сумма |
|
|
|
3,97283074 |
20,8892308 |
|
Пользуясь формулами для расчета, получим
n |
13 |
|
R |
0,899896887 |
|
R2 |
0,809814407 |
|
A |
10,36612713 |
|
F |
46,83824022 |
|
Fтабл |
4,844335669 |
,
что говорит о тесной прямой связи
между признаками x
и y.
,
т.е. 80,98% вариации признака y
объясняется за счет признака x
данным уравнением регрессии, что
является весьма удовлетворительным.
Обратная модель вида: .
Оценка параметров может быть найдена по решению системы:
.
|
y |
x |
|
|
|
|
8 |
5 |
0,125 |
0,625 |
25 |
|
5 |
10 |
0,2 |
2 |
100 |
|
4,9 |
12 |
0,20408163 |
2,44897959 |
144 |
|
4 |
15 |
0,25 |
3,75 |
225 |
|
3,8 |
20 |
0,26315789 |
5,26315789 |
400 |
|
3,5 |
22 |
0,28571429 |
6,28571429 |
484 |
|
3,8 |
25 |
0,26315789 |
6,57894737 |
625 |
|
3,7 |
30 |
0,27027027 |
8,10810811 |
900 |
|
3,6 |
35 |
0,27777778 |
9,72222222 |
1225 |
|
3,5 |
36 |
0,28571429 |
10,2857143 |
1296 |
|
3,4 |
40 |
0,29411765 |
11,7647059 |
1600 |
|
3 |
50 |
0,33333333 |
16,6666667 |
2500 |
|
3 |
60 |
0,33333333 |
20 |
3600 |
Сумма |
53,2 |
360 |
3,38565836 |
103,499216 |
13124 |
Получаем систему уравнений:
.
Решение этой системы и остальные выводы по данной регрессии представлены далее.
Для |
13 |
360 |
|
Для |
3,38565836 |
360 |
дельта |
360 |
13124 |
|
дельта a |
103,499216 |
13124 |
|
|
|
|
|
|
|
Δ |
41012 |
|
|
Δa |
7173,66239 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
13 |
3,385658355 |
|
|
|
|
дельта b |
360 |
103,4992163 |
|
a |
0,17491618 |
|
|
|
|
|
b |
0,00308819 |
|
|
Δb |
126,6528041 |
|
|
|
|
Уравнение обратной
регрессии имеет вид:
.
|
y |
x |
|
|
|
|
|
8 |
5 |
5,253283798 |
7,54444989 |
15,2700592 |
34,33395252 |
|
5 |
10 |
4,859132073 |
0,01984377 |
0,82390533 |
2,817358541 |
|
4,9 |
12 |
4,717549745 |
0,0332881 |
0,65236686 |
3,723474587 |
|
4 |
15 |
4,519998446 |
0,27039838 |
0,00852071 |
12,99996116 |
|
3,8 |
20 |
4,225114815 |
0,18072261 |
0,08544379 |
11,18723198 |
|
3,5 |
22 |
4,11766073 |
0,38150478 |
0,3508284 |
17,64744942 |
|
3,8 |
25 |
3,966351012 |
0,02767266 |
0,08544379 |
4,37765821 |
|
3,7 |
30 |
3,737453631 |
0,00140277 |
0,15390533 |
1,012260294 |
|
3,6 |
35 |
3,533534037 |
0,00441772 |
0,24236686 |
1,846276747 |
|
3,5 |
36 |
3,495391553 |
2,1238E-05 |
0,3508284 |
0,13166991 |
|
3,4 |
40 |
3,350715313 |
0,00242898 |
0,47928994 |
1,449549627 |
|
3 |
50 |
3,036508307 |
0,00133286 |
1,19313609 |
1,216943553 |
|
3 |
60 |
2,7761775 |
0,05009651 |
1,19313609 |
7,460750006 |
Среднее |
4,092308 |
|
|
|
|
7,708041274 |
Сумма |
|
|
|
8,51758027 |
20,8892308 |
|
n |
13 |
|
R |
0,769577917 |
|
R2 |
0,592250171 |
|
A |
7,708041274 |
|
F |
15,97732585 |
|
Fтабл |
4,844335669 |
,
что говорит о тесной прямой связи
между признаками x
и y.
,
т.е.59,23% вариации признака y
объясняется за счет признака x
данным уравнением регрессии, что
является весьма удовлетворительным.
Гипербола: .
Параметры a и b находят, решая систему уравнений
.
|
y |
x |
1/ x |
|
y/ x |
|
8 |
5 |
0,2 |
0,04 |
1,6 |
|
5 |
10 |
0,1 |
0,01 |
0,5 |
|
4,9 |
12 |
0,083333333 |
0,00694444 |
0,40833333 |
|
4 |
15 |
0,066666667 |
0,00444444 |
0,26666667 |
|
3,8 |
20 |
0,05 |
0,0025 |
0,19 |
|
3,5 |
22 |
0,045454545 |
0,00206612 |
0,15909091 |
|
3,8 |
25 |
0,04 |
0,0016 |
0,152 |
|
3,7 |
30 |
0,033333333 |
0,00111111 |
0,12333333 |
|
3,6 |
35 |
0,028571429 |
0,00081633 |
0,10285714 |
|
3,5 |
36 |
0,027777778 |
0,0007716 |
0,09722222 |
|
3,4 |
40 |
0,025 |
0,000625 |
0,085 |
|
3 |
50 |
0,02 |
0,0004 |
0,06 |
|
3 |
60 |
0,016666667 |
0,00027778 |
0,05 |
Сумма |
53,2 |
360 |
0,736803752 |
0,07155682 |
3,79450361 |
Система имеет вид:
.
Для |
13 |
0,736803752 |
|
Для |
53,2 |
0,736803752 |
дельта |
0,736804 |
0,071556825 |
|
дельта a |
3,79450361 |
0,071556825 |
|
|
|
|
|
|
|
Δ |
0,387359 |
|
|
Δa |
1,01101859 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
13 |
53,2 |
|
|
|
|
дельта b |
0,736804 |
3,794503608 |
|
a |
2,61003025 |
|
|
|
|
|
b |
26,1529704 |
|
|
Δb |
10,1305873 |
|
|
|
|
Уравнение гиперболической регрессии имеет вид:
.
|
y |
x |
|
|
|
|
|
8 |
5 |
5,253283798 |
7,54444989 |
15,2700592 |
34,33395252 |
|
5 |
10 |
4,859132073 |
0,01984377 |
0,82390533 |
2,817358541 |
|
4,9 |
12 |
4,717549745 |
0,0332881 |
0,65236686 |
3,723474587 |
|
4 |
15 |
4,519998446 |
0,27039838 |
0,00852071 |
12,99996116 |
|
3,8 |
20 |
4,225114815 |
0,18072261 |
0,08544379 |
11,18723198 |
|
3,5 |
22 |
4,11766073 |
0,38150478 |
0,3508284 |
17,64744942 |
|
3,8 |
25 |
3,966351012 |
0,02767266 |
0,08544379 |
4,37765821 |
|
3,7 |
30 |
3,737453631 |
0,00140277 |
0,15390533 |
1,012260294 |
|
3,6 |
35 |
3,533534037 |
0,00441772 |
0,24236686 |
1,846276747 |
|
3,5 |
36 |
3,495391553 |
2,1238E-05 |
0,3508284 |
0,13166991 |
|
3,4 |
40 |
3,350715313 |
0,00242898 |
0,47928994 |
1,449549627 |
|
3 |
50 |
3,036508307 |
0,00133286 |
1,19313609 |
1,216943553 |
|
3 |
60 |
2,7761775 |
0,05009651 |
1,19313609 |
7,460750006 |
Среднее |
4,092308 |
|
|
|
|
7,708041274 |
Сумма |
|
|
|
8,51758027 |
20,8892308 |
|
n |
13 |
|
R |
0,987745189 |
|
R2 |
0,975640558 |
|
A |
4,638171373 |
|
F |
440,5702713 |
|
Fтабл |
4,844335669 |
,
что говорит об очень тесной прямой
связи между признаками x
и y.
,
т.е.97,56% вариации признака y
объясняется за счет признака x
данным уравнением регрессии, что
является весьма удовлетворительным.
Сравним результата регрессионного анализа по разным видам парных регрессий:
Регрессия |
Коэффициент детерминации |
Средняя ошибка аппроксимации |
Парабола |
|
|
Степенная |
|
|
Показательная |
|
|
Полулогарифмическая |
|
|
Обратная |
|
|
Гипербола |
|
|
Линейная |
|
|
Все уравнения достаточно хорошо описывают исходные данные. Однако предпочтение можно отдать гиперболе , для которой значение коэффициента детерминации наибольшее, а ошибка аппроксимации наименьшая.
Дадим по выбранному
уравнению количественную оценку силы
связи фактора с результатом с помощью
среднего коэффициента эластичности.
Для гиперболы он вычисляется по формуле
,
т.е.
.
Следовательно, при увеличении количества
слушателей программы (фактора x)
на 1% цена программы (фактор y)
уменьшится на 0,23%.
Рассчитаем прогнозное значение результата y, если прогнозное значение фактора x увеличится на 10% от его максимального в исходных данных значения.
(чел).
(тыс. долл.)
Определим доверительный интервал прогноза для уровня значимости . Для этого найдем среднюю ошибку прогноза ,
где – остаточная дисперсия, –дисперсия фактора x.
Составим расчетную таблицу
|
y |
x |
|
|
|
|
8 |
5 |
514,9408284 |
7,84062433 |
0,0254006 |
|
5 |
10 |
313,0177515 |
5,22532729 |
0,05077239 |
|
4,9 |
12 |
246,2485207 |
4,78944445 |
0,01222253 |
|
4 |
15 |
161,0946746 |
4,35356161 |
0,12500581 |
|
3,8 |
20 |
59,17159763 |
3,91767877 |
0,01384829 |
|
3,5 |
22 |
32,40236686 |
3,79880163 |
0,08928242 |
|
3,8 |
25 |
7,24852071 |
3,65614907 |
0,02069309 |
|
3,7 |
30 |
5,325443787 |
3,48179593 |
0,04761301 |
|
3,6 |
35 |
53,40236686 |
3,35725798 |
0,05892369 |
|
3,5 |
36 |
69,01775148 |
3,33650165 |
0,02673171 |
|
3,4 |
40 |
151,4792899 |
3,26385451 |
0,01853559 |
|
3 |
50 |
497,6331361 |
3,13308966 |
0,01771286 |
|
3 |
60 |
1043,786982 |
3,04591309 |
0,00210801 |
Сумма |
53,2 |
360 |
3154,769231 |
53,2 |
0,50885001 |
Тогда
;
;
.
Предельная ошибка прогнозируемой стоимости программы составит
,
где
– соответствующее табличное значение
критерия Стъюдента.
По функции СТЪЮДРАСПОБР .
Доверительный интервал прогнозируемой стоимости программы составит:
(
тыс. долл.),
т.е. при 66 слушателях курса стоимость с вероятностью 95% будет не меньше 2,42 и не больше 3,58 тыс. долл.
Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
Имеются данные о цене однокомнатной квартиры и величине ее общей площади по 10 сделкам одного района города:
№ п/п |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Цена квартиры, тыс.долл. |
29 |
31 |
35 |
35 |
45 |
46 |
45 |
44 |
38 |
37 |
Площадь,
|
35 |
35 |
33 |
34 |
38 |
40 |
40 |
39 |
37 |
36 |
Вариант 2
Имеются данные по 10 хозяйствам:
Номер хозяйства |
Урожайность, ц/га, y |
Внесено удобрений, кг/га, х |
1 |
15 |
2,1 |
2 |
18 |
3,6 |
3 |
17 |
3,5 |
4 |
22 |
5,0 |
5 |
25 |
6,5 |
6 |
20 |
4,2 |
7 |
24 |
6,3 |
8 |
19 |
4,0 |
9 |
23 |
6,0 |
10 |
27 |
7,5 |
Вариант 3
По 17 регионам страны изучается зависимость ежемесячного среднедушевого денежного дохода у от удельного веса населения в трудоспособном возрасте в общей численности населения, х :
Номер региона |
Удельный вес населения в трудоспособном возрасте в общей численности населения, %, х |
Среднедушевой ежемесячный денежный доход, тыс. руб., у |
1 |
60,6 |
3,4 |
2 |
59,6 |
3,1 |
3 |
60,8 |
3,7 |
4 |
59,4 |
3,4 |
5 |
60,4 |
3,6 |
6 |
60,8 |
3,3 |
7 |
60,6 |
3,1 |
8 |
59,3 |
3,3 |
9 |
60,3 |
3,6 |
10 |
62,3 |
4,7 |
11 |
60,2 |
3,2 |
12 |
59,0 |
3,3 |
13 |
61,4 |
4,1 |
14 |
58,9 |
3,4 |
15 |
59,0 |
3,2 |
16 |
59,2 |
3,4 |
17 |
61,0 |
3,9 |
Вариант 4
По 26 регионам страны изучается зависимость ожидаемой продолжительности жизни при рождении (лет) у от уровня заболеваемости детей в возрасте 0-14 лет на тыс. человек, х :
Номер региона |
Уровень заболеваемости детей в возрасте 0-14 лет на тыс. человек, х |
Ожидаемая продолжительность жизни при рождении, лет, у |
1 |
1108,4 |
67,5 |
2 |
1164,4 |
69,3 |
3 |
438,8 |
75,1 |
4 |
618,1 |
68,7 |
5 |
1312,4 |
66,2 |
6 |
982,7 |
68,1 |
7 |
843,0 |
70,0 |
8 |
1233,6 |
67,3 |
9 |
1173,0 |
67,1 |
10 |
1415,5 |
65,4 |
11 |
1608,6 |
66,4 |
12 |
1703,9 |
66,5 |
13 |
1529,0 |
66,4 |
14 |
1516,3 |
64,0 |
15 |
1474,3 |
66,0 |
16 |
1390,5 |
67,8 |
17 |
2208,7 |
62,1 |
18 |
1312,8 |
66,1 |
19 |
1520,5 |
63,7 |
20 |
1809,5 |
64,0 |
21 |
1569,4 |
65,4 |
22 |
1654,2 |
65,7 |
23 |
1749,5 |
62,3 |
24 |
1746,0 |
65,6 |
25 |
1475,1 |
65,6 |
26 |
1753,4 |
65,3 |
Вариант 5
По 18 регионам страны изучается зависимость инвестиций в основной капитал у от валового регионального продукта (ВРП) х:
Номер региона |
ВРП, млрд руб., х |
Инвестиций в основной капитал, млрд руб., у |
1 |
24,6 |
5,0 |
2 |
41,1 |
9,0 |
3 |
29,5 |
4,8 |
4 |
27,6 |
5,4 |
5 |
31,9 |
7,4 |
6 |
38,8 |
6,6 |
7 |
39,2 |
7,8 |
8 |
40,2 |
9,3 |
9 |
41,6 |
9,6 |
10 |
41,3 |
8,0 |
11 |
47,0 |
10,8 |
12 |
54,7 |
9,9 |
13 |
53,3 |
10,0 |
14 |
46,7 |
10,0 |
15 |
71,1 |
13,2 |
16 |
58,8 |
10,0 |
17 |
67,9 |
13,9 |
18 |
65,7 |
12,0 |
Вариант 6
По 21 региону страны изучается зависимость розничной продажи телевизоров, у от среднедушевых денежных доходов в месяц, х:
Номер региона |
Среднедушевой денежный доход в месяц, тыс. руб., х |
Розничная продажа телевизоров, тыс. шт., у |
1 |
2,8 |
28,0 |
2 |
2,4 |
21,3 |
3 |
2,1 |
21,0 |
4 |
2,6 |
23,3 |
5 |
1,7 |
15,8 |
6 |
2,5 |
21,9 |
7 |
2,4 |
20,0 |
8 |
2,6 |
22,0 |
9 |
2,8 |
23,9 |
10 |
2,6 |
26,0 |
11 |
2,6 |
24,6 |
12 |
2,5 |
21,0 |
13 |
2,9 |
27,0 |
14 |
2,6 |
21,0 |
15 |
2,2 |
24,0 |
16 |
2,6 |
24,0 |
17 |
3,3 |
31,9 |
18 |
3,9 |
33,0 |
19 |
4,0 |
35,4 |
20 |
3,7 |
34,0 |
21 |
3,4 |
31,0 |
Вариант 7
По 17 регионам страны изучается зависимость розничной продажи видеомагнитофонов, у от среднедушевых ежемесячных денежных доходов, х:
Номер региона |
Среднедушевой ежемесячный денежный доход, тыс. руб., х |
Розничная продажа магнитофонов, тыс. шт., у |
1 |
2,4 |
4,8 |
2 |
3,0 |
5,7 |
3 |
2,2 |
5,1 |
4 |
2,1 |
5,5 |
5 |
4,0 |
6,2 |
6 |
2,5 |
4,9 |
7 |
5,0 |
7,0 |
8 |
2,3 |
4,7 |
9 |
3,0 |
4,9 |
10 |
3,4 |
5,5 |
11 |
3,9 |
5,6 |
12 |
2,3 |
4,4 |
13 |
3,1 |
5,8 |
14 |
2,6 |
4,5 |
15 |
5,7 |
7,1 |
16 |
5,2 |
6,5 |
17 |
3,0 |
5,1 |
Вариант 8
По 17 регионам страны изучается зависимость среднемесячной заработной платы у от инвестиций в основной капитал на душу населения, х:
Номер региона |
Инвестиции в основной капитал на душу населения, тыс. руб., х |
Среднемесячная заработная плата, тыс. руб., у |
1 |
4,9 |
3,9 |
2 |
8,5 |
5,5 |
3 |
9,1 |
4,8 |
4 |
5,5 |
4,0 |
5 |
6,1 |
3,9 |
6 |
5,1 |
3,8 |
7 |
4,2 |
4,1 |
8 |
3,8 |
3,0 |
9 |
11,0 |
6,3 |
10 |
6,9 |
4,8 |
11 |
7,5 |
5,2 |
12 |
5,5 |
3,7 |
13 |
5,8 |
3,5 |
14 |
4,9 |
4,2 |
15 |
6,0 |
4,5 |
16 |
10,4 |
6,6 |
17 |
8,8 |
6,7 |
Вариант 9
По 27 регионам страны изучается зависимость средней заработной платы, у от валового регионального продукта (ВРП) на душу населения, х
Номер региона |
ВРП на душу населения, тыс. руб., х |
Средняя заработная плата, тыс. руб., у |
1 |
35,8 |
3,5 |
2 |
22,5 |
2,6 |
3 |
28,3 |
3,2 |
4 |
26,0 |
2,6 |
5 |
20,0 |
2,6 |
6 |
31,8 |
3,5 |
7 |
30,5 |
3,1 |
8 |
29,5 |
2,9 |
9 |
41,5 |
3,4 |
10 |
41,3 |
4,8 |
11 |
34,5 |
3,0 |
12 |
34,9 |
3,1 |
13 |
34,7 |
3,3 |
14 |
26,8 |
2,6 |
15 |
32,5 |
3,3 |
16 |
32,4 |
3,3 |
17 |
50,9 |
3,9 |
18 |
44,8 |
4,7 |
19 |
79,1 |
6,5 |
20 |
47,4 |
5,0 |
21 |
53,3 |
4,5 |
22 |
33,1 |
3,7 |
23 |
48,4 |
4,5 |
24 |
61,1 |
7,2 |
25 |
38,9 |
3,4 |
26 |
26,2 |
2,9 |
27 |
59,3 |
5,4 |
Вариант 9
По регионам известны следующие данные за 200x год.
Регион |
Потребительские расходы на душу населения, y, руб |
Денежные доходы на душу населения, x , руб |
Башкортостан |
4610 |
6320 |
Удмуртия |
5240 |
7380 |
Курганская обл. |
2980 |
5150 |
Пермская обл. |
3510 |
6400 |
Свердловская обл. |
5840 |
8880 |
Челябинская обл. |
4250 |
7040 |
Алтай |
2770 |
6030 |
Кемеровская обл. |
5730 |
4390 |
Новосибирская обл. |
5760 |
9850 |
Омская обл. |
5880 |
7600 |
Томская обл. |
4970 |
8300 |
Тюменская обл. |
8630 |
20930 |