Курсовая / Отчет по курсовику

( ) = [ ]; ≤ < ( + 1)

Сигнал на выходе фиксатора имеет вид ступенчатой функции непрерывного времени.

Гибридная модель системы цифрового управления непрерывным объектом на языке графического редактора программы MATLAB/Simulink выглядит так, как это показано на рис. 6.3.

Рис. 6.4. Гибридная модель цифровой системы управления в среде

Simulink/MATLAB

Обратим внимание на то, что выход блока Discrete Transfer Fcn, реализующего дискретную ПФ, непосредственно подается на вход блока Transfer Fcn, реализующего непрерывную ПФ.

Это возможно потому, что блок Discrete Transfer Fcn реализован в окружении интерфейса (рис. 6.4). В диалоговом окне блока необходимо указать период дискретизации времени Ts.

Рис. 6.5. Схема реализации блока Discrete Transfer Fcn

51

6.2. Однородные модели систем цифрового управления непрерывными объектами

Возникает необходимость в поиске путей применения расчетных, аналитических методов исследования. Они разработаны для линейных однородных моделей непрерывных или дискретных, т. е. не могут непосредственно применяться к гибридным моделям. Актуальна задача построения эквивалентных однородных моделей гибридных систем.

Построение однородных моделей означает исключение всех других типов переменных кроме одного.

6.2.1. Дискретные модели цифровых систем управления

Для построения однородной модели с дискретным временем необходимо исключить переменные непрерывного времени , в

последовательности преобразований, представленной на рис. 6.2. В результате последовательность из трех элементов — фиксатора, ПФ непрерывного объекта и ключа — описывается дискретной моделью объекта в виде разностных уравнений и дискретной ПФ (рис. 6.5). Дискретная по времени модель системы, ориентированная на ЭВМ, окажется однородной. К однородной дискретной модели могут быть применены расчетные методы анализа и синтеза.

Рассмотрим кратко один из методов дискретизации линейной системы, дифференциальные уравнения которой представлены в форме пространства состояний:

Ее решение имеет вид:

52

Поскольку на входе непрерывной системы стоит фиксатор, входная переменная остается постоянной от момента kT до момента (k+1)T, т. е. на интервале времени между моментами замыкания ключа. Примем за начало и конец отсчета моменты kT и (k+1)T ; тогда решение (6.1) запишется так:

После замены переменной интегрирования:

ξ = ( + 1) − τ

получим разностное уравнение в ФПС:

матрицу того же размера. Ее собственные значения связаны с

На рис. 6.6 изображены две комплексные плоскости собственных значений непрерывной и дискретной систем.

53

Рис. 6.6. Комплексные плоскости собственных значений непрерывной

идискретной систем

Впрограмме MATLAB/Control System Toolbox процедура дискретизации линейных моделей выполняется по команде c2dm. Можно указать метод (фиксатор нулевого порядка (‘zoh’), метод Тастина и др.).

6.2.2.Непрерывные модели систем цифрового управления

Если учесть, что современные контроллеры являются быстродействующими и обладают большой точностью представления уровней сигналов, для большинства технологических процессов можно пренебречь как дискретизацией времени, так и квантованием уровня. В такой ситуации цифровое управляющее устройство изначально моделируется как непрерывная система, а однородная модель в форме дифференциальных уравнений вполне адекватно описывает поведение всей системы управления. Необходимо подчеркнуть, что гибридные и однородные модели эквивалентны только при конкретизации свойств сигналов. В общем случае переход к однородным моделям путем игнорирования явлений дискретизации времени и квантования уровня сопровождается сокращением области адекватности моделей. В каждом конкретном случае следует количественно или качественно оценивать влияние этого эффекта на возможность объяснения поведения системы.

54

Рассмотрим ситуацию, когда необходимо учитывать специфику поведения цифровой системы или заранее нет уверенности в том, что эффект дискретизации времени не оказывает существенного влияния на процессы управления. В этом случае построение эквивалентной непрерывной модели связано с расчетами, сопровождающими исключение некоторых переменных.

Рассмотрим гибридную систему, изображенную на рис. 6.1. Для построения эквивалентной однородной непрерывной модели необходимо исключить переменные дискретного времени , . Процедура сводится

к построению непрерывной модели для последовательности преобразований, отдельно представленной на рис. 6.8. Иногда такая процедура называется континуализацией, либо построением модели, ориентированной на объект. В результате получают эквивалентную непрерывную модель контроллера в форме дифференциального уравнения, описывающего причинно следственную связь непрерывных переменных → . Система окажется однородной непрерывной и будет

описываться дифференциальными уравнениями.

Рис. 6.8. Однородная непрерывная модель системы управления

Пусть имеем разностные уравнения цифрового управляющего устройства в форме пространства состояний:

[ + 1] = [ ] + [ ]

55

Процедура континуализации является обратной по отношению к процедуре дискретизации. Матрицы дифференциального уравнения в форме пространства состояний:

= +

могут быть получены из соотношений:

= 1 ;

= ( − )

Разработаны различные методы и соответствующие алгоритмы континуализации. В программе MATLAB/Control System Toolbox

процедура континуализации линейных моделей (класса LTI – Linear Time-Invariant) выполняется по команде d2cm. Можно выбрать методы, предполагающие наличие фиксатора нулевого порядка, метод Тастина и др.

Если собственные значения дискретной системы являются действительными отрицательными, то не существует соответствующей непрерывной системы того же порядка. Формально это следует из того, что не существует логарифма отрицательных действительных чисел. Действительно, составляющая движений дискретной системы (мода), определяемая действительным отрицательным собственным значением, является знакопеременной. В непрерывных системах моды, определяемые действительными собственными значениями, сохраняют знак.

Отметим, что команда d2cm программы MATLAB/Control System Toolbox в случае действительного отрицательного собственного значения дискретной системы предлагает непрерывную систему более высокого порядка с комплексными собственными значениями.

56

В результате континуализации контроллера получим однородную непрерывную модель замкнутой системы управления, структурная схема которой изображена на рис. 6.8.

Основным вопросом при дискретизации непрерывных регуляторов является назначение периода дискретизации времени.

На выбор периода дискретизации влияют динамика объекта и требования к процессам в синтезируемой системе, область адекватности моделей по частоте, а также условия технической реализации. Слишком большой период будет означать потерю информации о состоянии объекта и запоздалое оказание на объект управляющих воздействий. Чрезмерно малый период 44 затрудняет реализацию алгоритмов, а также вызывает вычислительные проблемы.

В соответствии с теоремой Котельникова–Шеннона частота дискретизации сигнала ω должна быть больше удвоенной максимальной

частоты ω в спектре непрерывного периодического сигнала

( ω > 2 ω ).

Отсюда получим ориентировочное значение периода дискретизации времени

< π/ω

Сигналы в контуре управления не являются периодическими, поэтому данную частоту необходимо увеличить, т. е. уменьшить период дискретизации. Полученное значение необходимо уточнять при анализе замкнутой системы.

Применим дискретизации динамического регулятора, полученного частотным методом.

57

Для этого для начала определим время дискретизации для каждого из них. Оно должно быть примерно в 10..50 раз больше частоты среза. Воспользуемся данными из прошлого пункта:

непрерывные передаточные функции корректирующих звеньев:

>> tf_m = tf([0.125 1], [0.00125 1])

0.125 s + 1

-------------

0.00125 s + 1

>> tf_k = tf([11.24 1], [1.12 1])

11.24 s + 1

-----------

1.12s + 1

Азатем получим соответствующие им дискретные передаточные функции при помощи команды c2d(tf, T_s):

>>dtf_m = c2d(tf_m, 0.001) 100 z - 99.45

------------

z - 0.4493

>>dtf_k = c2d(tf_k, 0.9)

10.04z - 9.483

---------------

z - 0.4477

58

Таким образом мы получили коэффициенты ДПФ для звеньев, которыми заменим передаточные функции корректирующих звеньев. Схема модели в MatLab SIMULINK представлена ниже:

Рис. 6.9. Система с цифровыми управляющими устройствами

График процессов при максимальном отклонении маятника от верхнего положения равновесия на 1 рад приведен на рис. 6.10. График процессов при максимальном отклонении каретки на 51 м приведен на рис. 6.11.

59

Рис. 6.10. Поведение системы при максимальном отклонении маятника на 1 радиан.

Рис. 6.11. Поведение системы при максимальном отклонении каретки на

51 м.

60