Курсовая / Отчет по курсовику

Желаемый полином запишется так

*( ) = 7 + 55 6 + 1135 5 + 11125 4 + 55024 3 + 138580 2 + 165600 + + 72000

ХП замкнутой системы

Из тождества 3( ) ≡ *( ) следует система уравнений:

Матрица системы составлена из коэффициентов полиномов объекта; такая матрица называется матрицей Сильвестра. Ее определитель — результант полиномов 0, 0— отличен от нуля, если полиномы взаимно

просты. Следовательно, задача размещения корней операторным методом разрешима, если характеристика вход-выход объекта является полной,

31

т. е. объект полностью управляем и наблюдаем. В рассматриваемом примере решение существует и единственно.

Для численного решения системы воспользуемся программой MATLAB; введем матрицу:

и коэффициенты желаемого полинома

>> a = [90000 202500 164000 62425 12056 1186 56]';

Для решения воспользуемся командой

>> R=C\a R =

1.0e+05 *

-1.3331 -0.4237 0.0006 -0.0367 -0.0845 0.7254 0.2175

Получен вектор коэффициентов регулятора R.

32

По коэффициентам вектора R составим числитель и знаменатель передаточной функции (операторы дифференциального уравнения регулятора):

>>den=[1 R(3) R(2) R(1)];

>>num=[R(7) R(6) R(5) R(4)];

>>regulator=tf(num,den)

Передаточная функция регулятора запишется так: regulator =

2.175e04 s^3 + 7.254e04 s^2 - 8449 s - 3673

-------------------------------------------

s^3 + 55 s^2 - 4.237e04 s - 1.333e05

Дифференциальное уравнение регулятора имеет вид:

( 3 + 55 2 − 42370 − 133300) ( ) =

= (21750 3 + 72540 2 − 8449 − 3673) ( )

Заметим, что регулятор неустойчив — полином ( ) имеет

отрицательные коэффициенты.

Введем ПФ регулятора в рабочее пространство MATLAB:

>> regulator = tf([21750 72540 -8449 -3673],[1 55 -42370 -133300]) regulator =

21750 s^3 + 72540 s^2 - 8449 s - 3673

-------------------------------------

s^3 + 55 s^2 - 42370 s - 133300

Заметим, что в отличие от динамического регулятора четвертого порядка, синтезированного методом пространства состояний, операторный метод дает регулятор третьего порядка. Это объясняется

33

избыточностью наблюдателя четвертого порядка (одно состояние измеряется).

4.4. Анализ линейной системы

Передаточная функция объекта

>> plant = tf([2 0 -19.6],[1 0 -11.76 0 0]) plant =

2 s^2 - 19.6

---------------

s^4 - 11.76 s^2

ПФ замкнутой системы

>> sysc = feedback(plant, regulator) sysc =

2 s^5 + 110 s^4 - 8.476e04 s^3 - 267678 s^2 + 8.305e05 s + 2.613e06

------------------------------------------------------------------------------------------

s^7 + 55 s^6 + 1118 s^5 + 1.113e04 s^4 + 5.507e04 s^3 + 138478 s^2 + 1.656e05 s + 7.199e04

Заметим, что знаменатель ПФ замкнутой системы не совсем совпадает с желаемым ХП, корни которого:

>> eig(sysc) ans = -24.6033

-10.6346 + 5.7201i -10.6346 - 5.7201i -3.0515 + 0.8044i

34

-3.0515 - 0.8044i -2.0336 -0.9909

эта неточность показала недостаток использования матриц в операторном методе.

4.5. Компьютерное моделирование нелинейной системы

Подключим к нелинейной модели объекта регулятор, как показано на рис. 4.1.

Рис. 4.1. Компьютерная модель системы стабилизации

Переходные процессы в системе при максимальном отклонении маятника на 0.34 радиана приведены на рис. 4.2, а при максимальном отклонении каретки на 0.0066 м - на рис. 4.3.

35

Рис. 4.2. Поведение системы при начальном отклонении маятника на 0.34 радиана.

Рис. 4.3. Поведение системы при начальном отклонении каретки на

0.0066 м

36

5. СИНТЕЗ СИСТЕМЫ СТАБИЛИЗАЦИИ ЧАСТОТНЫМ МЕТОДОМ

5.1. Частотный метод синтеза

Воспользуемся частотным методом синтеза системы стабилизации маятника на каретке. Метод позволяет учитывать естественным образом собственную динамику управляемого объекта.

Имеются развитые средства MATLAB/SISO Design Tool, позволяющими автоматизировать синтез и коррекцию следящих систем в частотной области. Здесь для наглядности процедуры синтеза ограничимся только основными командами MATLAB/Control System Toolbox.

Пусть дополнительно к датчику положения каретки x(t) имеется и датчик углового положения маятника θ(t).

1. Вначале найдем обратную связь, стабилизирующую положение маятника. Передаточная функция (ПФ) управляемого объекта по паре вход-выход → Θ вырождается до второго порядка

Обратим внимание на знак «минус».

Вырождение ПФ означает неполную наблюдаемость объекта по этому каналу ― с помощью обратной связи от датчика углового положения маятника до привода каретки нельзя стабилизировать каретку. Частичная наблюдаемость по одному из каналов будет использовано для декомпозиции процедуры синтеза.

Известно, что обратная связь перемещает корни характеристического полинома системы в разной степени в зависимости от усиления контура на частотах, которым принадлежат модули корней. Если усиление контура менее –20 дБ, то корни, модули которых принадлежат этому диапазону

37

частот, перемещаются мало. Полюсы ПФ объекта вообще неподвижны, если их компенсируют равные им нули, т. е. на комплексной частоте полюсов фактическое усиление контура равно нулю.

Вводим ПФ объекта (5.1) в рабочее пространство MATLAB и построим логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ, диаграмма Боде) → Θ канала (рис. 5.1, синяя кривая

“pendulum”).

>>pendulum=tf(-2,[1 0 -11.76])

>>bodemag(pendulum)

>>hold on

Рис. 5.1. Логарифмические амплитудно-частотные характеристики разомкнутого контура стабилизации маятника

38

Асимптотическая ЛАЧХ объекта состоит из двух асимптот ― низкочастотной с наклоном 0 дБ/дек и высокочастотной с наклоном –40 дБ/дек.

Усиление объекта по рассматриваемому каналу мало на всех частотах — при замыкании контура полюсы практически останутся на месте. В контур необходимо ввести усилитель, чтобы на частотах перемещаемых полюсов усиление превышало 20 дБ. Для повышения степени подвижности неустойчивого полюса 3.4310 ПФ объекта (5.1) повысим усиление контура в 400 раз.

>>pendulum1=pendulum*400

>>bodemag(pendulum1,{0.1,1000})

Усиление поднимет ЛАЧХ контура на 52 дБ (на рис. 5.1. красная кривая “Контур с усилением”), т. е. расширяет полосу пропускания частот контура и обеспечивает подвижность неустойчивого полюса.

Однако при замыкании контура система окажется неустойчивой (получившие подвижность корни приближаются к границе устойчивости и даже переходят в правую полуплоскость). Необходима коррекция контура.

Известно, что типовая («желаемая») асимптотическая ЛАЧХ в области средних частот имеет наклон –20 дБ/дек. Чем длиннее этот отрезок, тем больше запас устойчивости системы.

Для придания ЛАЧХ типового вида в области средних частот введем в контур корректирующее звено, ПФ которого имеет нуль 1 = − 1/8 и

полюс 1 = –1/800

>> corr=tf([1/8 1],[1/800 1])

39

Построим ЛАЧХ контура с последовательной коррекцией

>> bodemag(pendulum1*corr,{1,1000})

В окрестности частоты среза ωср ≈ 80 рад/с получился отрезок

асимптоты с наклоном –20 дБ/дек (на рис. 5.1. желтая кривая “контур с коррекцией”). При этом крайние частоты отрезка асимптоты отличаются в 11 раз, что обеспечивает достаточный запас устойчивости замкнутой системы.

Анализ замкнутой скорректированной системы

>> Pend_Control=feedback(pendulum1*corr, -1) Pend_Control =

-200 s - 1600

--------------------------------

0.00125 s^3 + s^2 + 200 s + 1586

В круглых скобках добавлен -1, так как команда feedback по умолчанию выбирает отрицательную обратную связь, а объект уже инвертирует сигнал.

Вычислим с.з. системы

>> eig(Pend_Control) ans =

-453.0543 -338.6752 -8.2705

Цель достигнута ― собственные значения подсистемы являются отрицательными действительными числами (следствие большого запаса устойчивости) и находятся далеко от границы устойчивости (как

40