Курсовая / Отчет по курсовику

Для линейных моделей разработано большое количество методов, алгоритмов и программ анализа и синтеза систем управления. Будем пользоваться программой MATLAB/Control System Toolbox.

2.3. Передаточная функция объекта

Передаточная функция (ПФ) линейной модели представляет собой отношение изображений выхода и входа при нулевых начальных условиях. Получим характеристический полином (ХП) матрицы состояний в символьном виде:

который является знаменателем ПФ.

Далее получим полиномы числителей ПФ: от входа — силы , приложенной к каретке, до переменной выхода — положения каретки :

2.4. Анализ устойчивости положения равновесия

Условием асимптотической устойчивости положения равновесия (0 0 0 0)' является: i: < 0, где ; i = 1, 2, 3, 4 — собственные значения матрицы A (корни его ХП). Геометрическим условием устойчивости положения равновесия является принадлежность корней ХП линеаризованной системы левой полуплоскости.

В символьном виде корни ХП маятника на каретке (2.6) равны:

11

Имеется действительный положительный корень (в правой полуплоскости); кроме того, полином имеет двукратный нулевой корень. Это свидетельствует о неустойчивости положения равновесия нелинейной системы.

2.5. Линеаризация модели и анализ в среде MATLAB/Simulink

Программа MATLAB/Simulink позволяет получить линеаризованную модель для малых отклонений от положения равновесия по команде

>>l = 1; m = 0.1; M = 0.5;

>>[A,B,C,D] = linmod2('pendulum')

если в правой части команды вписать имя simulink-модели. Для выбранных для иллюстрации параметров модели получим следующие матрицы:

A =

B=

0

0

-2 2

12

C =

1 0 0 0

D=

0

Получена четвёрка матриц системы линейных дифференциальных уравнений в форме пространства состояний (2.4), где:

— абстрактный вектор состояний.

Сопоставляя матрицы, полученные вручную (2.2), (2.3) и по команде linmod2, можно заметить отличие в расположении элементов. Это объясняется различной нумерацией переменных. Соответствие между абстрактным и физическим векторами состояний легко устанавливается по структуре матриц: .

Вычислим собственные значения матрицы A с помощью команды:

>> eig(A) ans =

0

0

3.4310 -3.4310

Имеется двукратное нулевое собственное значение и одно «правое», что говорит о неустойчивости положения равновесия. Это отвечает нашим представлениям о поведении объекта и результатам компьютерного моделирования.

Программа MATLAB/Control System Toolbox позволяет получить передаточную функцию объекта численно. Для получения числителя и знаменателя ПФ воспользуемся командами:

13

>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D)

>> plant=tf(num,den) plant =

2 s^2 - 1.776e-15 s - 19.62

---------------------------

s^4 - 11.77 s^2

Вычислительные ошибки приводят к наличию весьма малых коэффициентов, к сожалению, иногда повышающих степени полиномов. Следует вручную отредактировать коэффициенты:

>>num=[0 0 2 0 -19.62]

>>den=[1 0 -11.772 0 0]

В результате получим ПФ объекта для малых отклонений

2 s^2 - 19.62

---------------

s^4 - 11.77 s^2

Вычислим нули и полюсы ПФ: ans =

2 (s-3.132) (s+3.132)

-----------------------

s^2 (s-3.431) (s+3.431)

Получена так называемая факторизованная форма ПФ.

14

Полюсы ПФ являются корнями характеристического полинома, т. е. собственными значениями матрицы A.

3. СИНТЕЗ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ МЕТОДОМ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ

3.5. Синтез регулятора состояния

Целью системы автоматического управления является стабилизация верхнего неустойчивого положения равновесия маятника. Каретка должна находиться в заданном положении покоя.

Задачу будем решать на основе линеаризованной модели объекта, т. е. система автоматической стабилизации должна будет обеспечивать устойчивость при достаточно малых отклонениях состояния от положения равновесия.

Пусть имеется информация о всех переменных состояния объекта

Алгоритм регулятора состояния запишется так:

Уравнение замкнутой системы в стандартной форме пространства состояний (2.4) получим, если из уравнений объекта (3.1) и регулятора состояния (3.2) исключим переменную f:

15

, где ( − ) — матрица замкнутой системы. Отметим, что замкнутая система получилась автономной — она не имеет входов.

Задача синтеза регулятора имеет решение, если объект управляем. Для анализа управляемости воспользуемся критерием Калмана, который сводится к проверке ранга матрицы управляемости :

= [ 2 3]:

>> rank(ctrb(A,B)) ans =

4

Матрица управляемости имеет полный ранг, что свидетельствует о полной управляемости объекта. Действуя с силой на каретку, можно менять все переменные состояния — стабилизировать верхнее положение маятника и привести каретку в исходное положение.

Задача синтеза заключается в определении матрицы регулятора состояния K из условия желаемого расположения собственных значений матрицы состояний системы (корней характеристического полинома).

В русскоязычной технической литературе метод синтеза из условия желаемого размещения собственных значений иногда называют «модальным управлением», т. е. управлением модами — составляющими движения системы ( ), отвечающими собственным значениям

матрицы состояний.

Существует произвол в выборе желаемых собственных значений системы. Ясно, что все они должны иметь отрицательные действительные части, причем, чем дальше от мнимой оси находится собственное значение, тем быстрее затухает составляющая процесса. Вместе с тем, большее быстродействие системы управления достигается при больших

16

ускорениях, что означает необходимость в приложении чрезмерных усилий на каретку.

Выбор, как всегда, компромисс между противоречивыми требованиями. Если нет особых требований к быстродействию системы управления, следует ориентироваться на естественную динамику объекта, т. е. на собственные значения объекта.

Назначим «желаемые» собственные значения: p=[-1 -2 -3 -4]';

Матрицу регулятора, обеспечивающего желаемое расположение собственных значений, найдем по команде:

>> K=place(A,B,p) K =

-1.2232 -24.6092 -7.5484 -2.5484

Проведем анализ устойчивости системы:

>> eig(A-B*K) ans =

-4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000

Замкнутая линейная система имеет желаемое расположение собственных значений.

17

3.2. Синтез наблюдателя состояний

Регулятор состояния формирует управляющие воздействия на основе текущей информации о всех переменных состояния.

Пусть реально измеряется только положение каретки х. Для вычисления остальных переменных состояния используют так называемый наблюдатель состояния. Задача синтеза наблюдателя сводится к поиску матрицы наблюдателя L.

Задача имеет решение, если объект наблюдаем полностью по выходу х. Наблюдаемость состояния можно проверить по критерию Калмана, который сводится к проверке ранга матрицы наблюдаемости:

>> rank(obsv(A,C)) ans =

4

Матрица наблюдаемости имеет полный ранг, следовательно, состояние объекта наблюдаемо полностью.

Задачи синтеза регулятора и наблюдателя состояний дуальны. Наблюдатель также синтезируется методом размещения собственных значений.

Для обеспечения большего быстродействия назначим собственные значения наблюдателя несколько дальше от мнимой оси в левой полуплоскости:

>> po=5*p po =

-5

18

-10 -15 -20

Матрица наблюдателя L вычисляется по команде:

>> L=place(A',C',po)'

L = 1.0e+04 *

0.0050 -0.3486 -1.2966 0.0887

Если наблюдатель устойчив, то состояние модели асимптотически приближается к состоянию объекта v.

3.3. Динамический регулятор

Динамический регулятор получим, если объединить регулятор и наблюдатель состояния.

Уравнения динамического регулятора имеют вид:

= + ;

−= + ,

,где матрицы вычисляются по команде:

>>[Ar,Br,Cr,Dr]=reg(A,B,C,D,K,L);

>>regulator=ss(Ar,Br,Cr,Dr);

19

Проверим устойчивость регулятора:

>> eig(Ar) ans =

-54.1033 +62.2228i -54.1033 -62.2228i 51.3386 -3.1320

Регулятор неустойчив — имеется положительное собственное значение.

ПФ регулятора:

>>[numr,denr]=ss2tf(Ar,Br,Cr,Dr); >> regulator=tf(numr,denr) regulator =

1.813e05 s^3 + 6.103e05 s^2 - 4.587e04 s - 1.835e04

---------------------------------------------------

s^4 + 60 s^3 + 1422 s^2 - 3.451e05 s - 1.093e06

Отрицательный коэффициент знаменателя ПФ — ХП динамического регулятора означает неустойчивость регулятора.

Для анализа устойчивости линейной системы получим матрицы системы уравнений замкнутой системы:

>>plant=ss(A, B,C,D);

>>sysc=feedback(plant,regulator);

и вычислим собственные значения системы:

>> eig(sysc) ans = -20.0000

20