2619
.pdfФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
И.Н. Пантелеев
ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Воронеж 2012
УДК 681.3.06(075) |
|
|
|
Пантелеев И.Н. Практикум |
по |
высшей |
математике: |
Дифференциальное |
исчисление / |
И.Н. Пантелеев. |
Воронеж: ФГБОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2012. – 251 с.
Учебное пособие включает материал, необходимый для подготовки к практическим занятиям по курсу высшей математики в первом семестре. Содержит краткий теоретический материал необходимый для освоения методов решения базовых разделов дифференциального исчисления с приложениями к задачам геометрии, механики и физики, а также большое количество примеров, иллюстрирующих основные апгоритмы решения типовых задач.
Издание соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 280700.62 «Техносферная безопасность» («Защитавчрезвычайныхситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды») очной формы обучения.
Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе Microsoft Word 2003 и содержатся в файле
Vmfmm_DifIsch3.pdf.
Ил. 91. Библиогр.: 12 назв.
Рецензенты: кафедра физики Воронежского государственного университета инженерных технологий (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. Н.Н. Безрядин); профессор Г.Е. Шунин
©Пантелеев И.Н., 2012
©Оформление. ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2012
И.Н. Пантелеев
ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Учебное пособие
Воронеж 2012
Учебное издание
Пантелеев Игорь Николаевич
ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В авторской редакции
Компьютерный набор И.Н. Пантелеева
Подписано к изданию 17.12.2012. Объем данных 2157 Кб
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14
ВВЕДЕНИЕ
Изучение математики развивает логическое мышление, приучает человека к точности, к умению выделять главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложнейших задач, возникающих в различных областях деятельности. Цель пособия - помочь студентам научиться самостоятельно решать задачи по курсу высшей математики, при условии, что изучение теории должно выполняться по рекомендованному в программе учебнику и конспекту лекций.
Каждый параграф начинается с краткого теоретического введения, приводятся основные определения, теоремы без доказательств, главнейшие формулы, методы и способы решения задач. Решение типовых примеров и задач в параграфе, как правило, расположено по возрастающей трудности.
Характерной особенностью является включение решений задач вычислительного характера, что позволяет развивать необходимые навыки и умение для студентов инженерных специальностей. Кроме того, значительное внимание уделено методам решения прикладных задач с физическим смыслом.
Часть задач была заимствована из сборников: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа, 1975; Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике, 1972; Задачи и упражнения по математическому анализу, под редакцией Б.П. Демидовича, 1968; Бугров Я.С., Никольский Я.С. Высшая математика. Задачник, 1982.
Пособие включает теоретическую базу и решение основных задач для типового расчета по всем разделам дифференциального исчисления, изучаемым в курсе высшей математики в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 280700.62 «Техносферная безопасность».
3
I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТАНАЛИЗА
1.1.Логическая и математическая символика
Вматематике употребляются специальные символы, позволяющие сократить запись и точнее выразить утверждение.
Математические символы: +, −, ×, <, , , , ∩, , …
Например, применяя символ «>» к числам a, b, получим запись «a > b», которая является сокращением для предложения: «число a больше числа b». Если l1 , l2 – обозначения
прямых, то запись l1 || l2 есть утверждение, что l1 параллельна l2 . Запись «x M» означает, что x является элементом множе-
ства M.
Наряду с математической символикой в математике широко используется логическая символика, применяемая к вы-
сказываниям и предикатам.
Под высказыванием понимается предложение, которое либо только истинно, либо только ложно. Например, высказывание «–3 > 0» ложно, а высказывание «2 × 2 = 4» истинное. Будем высказывания обозначать большими латинскими буквами, возможно с индексами. Например, A = «–3 > 0», B = «2 × 2 = 4».
Предикат – это предложение с одной переменной или несколькими переменными. Например, предложение: «число x больше числа 0» (в символах x > 0) является предикатом от одной переменной x, апредложение: «a + b = c» – предикатоттрех переменных a, b, c.
Предикат при конкретных значениях переменных становится высказыванием, принимая истинное и ложное значение.
Будем обозначать предикаты как функции: Q(x) =«x > 0», F(x,b,c) = «x + b = c».
Логические символы: , &, , →, ↔, , .
4
1.Отрицание применяется к одному высказыванию
или предикату, соответствует частице «не» и обозначается
A (или ¬A) .
Например, формула −3 > 0 есть сокращение для предложения: «–3 не больше 0» («неверно, что –3 больше 0»).
2.Конъюнкция применяется к двум высказываниям
или предикатам, соответствует союзу «и», обозначается:
А & B (или A B).
Так формула (–3 > 0) & (2 × 2 = 4) означает предложение «–3 > 0 и 2 × 2 = 4», которое, очевидно, ложно.
3. Дизъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «или» (неразделительному) и обозначается A B .
Предложение: «число x принадлежит множеству M1 или множеству M 2 » изображается формулой: x M1 x > M 2 .
4. Импликация соответствует союзу «если ..., то ...» и обозначается: A →B.
Так, запись «a > –1 → a > 0» есть сокращение для предложения«еслиa > –1, тоa > 0».
5. Эквиваленция A ↔B соответствует предложению: «A тогда и только тогда, когда B».
Символы , называются кванторами общности и
существования, соответственно применяются к предикатам (а не к высказываниям). Квантор читается, как «любой», «каждый», «все», или с предлогом «для»: «для любого», «для всех» и т.д. Квантор читается: «существует», «найдется» и др.
6. Квантор общности применяется к предикату F(x, ...), содержащему одну переменную (например, x) или несколько переменных, при этом получается формула xF(x,...), которая соответствует предложению: «для любого x выполняется F(x, ...)» или «все x обладают свойством F(x, ...)».
Например: x(x > 0) есть сокращение для фразы: «любое x больше 0», которая является ложным высказыванием.
5
Предложение: a(a > 0 → a > –1) является истинным высказыванием.
7. Квантор существования, примененный к предикату F(x,...) соответствует предложению «существует x, такой, что F(x,...)» («найдется x, для которого F(x,...)») и обозначается:
xF(x,...).
Например, истинное высказывание «существует действительное число, квадрат которого равен 2» записывается фор-
мулой x(x R & x2 = 2). Здесь квантор существования приме-
нен к предикату: F(x)=(x R & x2 = 2) (напомним, что множество всех действительных чисел обозначается через R).
Если квантор применяется к предикату с одной переменной, то получается высказывание, истинное или ложное. Если квантор применяется к предикату с двумя или большим числом переменных, то получается предикат, в котором переменных на одну меньше. Так, если предикат F(x, y) содержит две переменные, то в предикате xF(x, y) одна переменная y (переменная x является «связанной», вместо нее нельзя подставлять значения x). К предикату xF(x, y) можно применить квантор общности или существования по переменной y, тогда полученная формула y xF(x, y) или y xF(x, y) является
высказыванием.
Так, предикат «|sinx| < a» содержит две переменные x, a. Предикат x (|sinx| < a) зависит от одной переменной a, при a =1/ 2 этот предикат обращается в ложное высказывание(|sinx| < 1 / 2 ), при а = 2 получаем истинное высказывание x
(|sinx| < 2).
Если к предикату x (|sinx| < a) применить квантор существования, то получим формулу: a x(| sin x |< a) , выра-
жающую истинное высказывание: «функция sinx является ограниченной».
Для некоторых формул введем сокращенную запись.
Так, вместо формулы x(x R & x2 = 2) будем писать:
x R(x2 = 2),
6
вместо x(x > 0 & x2 + 3 = 4) пишем:
x > 0 (x2 + 3 = 4).
Формулу x (x R → x2 ≥ 0) сократим так:
x R(x2 ≥ 0) и т.д.
Будем называть x R, x > 0 и т.д. ограниченными кванто-
рами.
Несколько кванторов общности (существования) заменяем на один: вместо x y(P(x, y)) пишем x,y(P(x,y)), вместо
x1 M x2 M (Q(x1 , x2 )) будем писать
x1, x2 M (Q(x1, x2 )) .
1.2. Множества
Понятие множества является первоначальным понятием математики, точное определение ему не дается, но его можно пояснить, описать через другие понятия. Можно сказать, что множество – это совокупность, собрание каких-то объектов, предметов, при этом объект, входящий в это множество, называют его элементом. Множества могут содержать как конечное число элементов, так и бесконечно много элементов. Рассматривают и множество, не содержащее элементов, его называютпустым иобозначают символом .
В математическом анализе чаще всего рассматриваются числовые множества, за некоторыми из них закреплены специ-
альные обозначения. Так, множество всех натуральных чи-
сел обозначаются через N и записывают так: N = {1,2,3,...}.
Далее, через Z обозначают множество всех целых чисел, со-
держащее как натуральные числа, так и 0, и целые отрицатель-
ные числа; Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Рациональным называется число, которое можно пред-
ставить в виде отношения двух целых чисел: qp (p Z, q N).
Множество всех рациональных чисел обозначается через Q. Символически определение множества рациональных чисел
7
def p
можно записать так: Q = { q | p Z & q Z & q≠0}. Здесь
def
знак = заменяет слово «называется». Заметим, что множество можно задать перечислением элементов, а можно описанием свойств элементов (предикатом), как в последнем случае.
Известно, что любое рациональное число можно представить десятичной дробью, конечной и бесконечной периодической. Например, рациональное число 5/6 представимо бесконечной периодической дробью 5/6 = 0,83333..., а число 3/8 = 0,375. В последнем случае можно считать десятичную дробь тоже бесконечной с числом 0 в периоде: 3/8 = 0,3750000... .
Известно, что всякую периодическую бесконечную дробь можно обратить в обыкновенную дробь p/q.
Иррациональным числом называется всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь. Множество всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных чисел и обозначается через R. Иными сло-
вами, множество действительных чисел R – это множество всех бесконечных десятичных дробей.
Пусть M1, M2 – некоторые множества. Если каждый элемент множества M1 является элементом множества M2, то говорят, что M1 есть подмножество множества M2 и обозначается M1 M2. Итак, M1 M2 тогда и только тогда, когда
x(x M1 → x M2).
Из определения числовых множеств можно заключить, что N Z, Z Q, Q R. Множество действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных (о которых мы сейчас говорить не будем), т.е. R C.
Часто рассматриваются подмножества действительных чисел (a, b), [a, b], [a, b), (a, b] называемые, соответственно,
интервалом, отрезком, полуинтервалом. Дадим символиче-
ские определения этих множеств, а слово «называется» заме-
def
ним на знак = :
8
def |
def |
(a, b) = {x R| a < x < b}; [a, b] |
= {x R| a ≤ x ≤ b}; |
def |
def |
(a, b] = {x R| a < x ≤ b}; [a, b) |
= {x R| a ≤ x < b }. |
Заметим, что на числовой оси каждое действительное число изображается определенной точкой и любая точка числовой оси задает некоторое число, поэтому [a, b] изображает-
ся |
множеством всех точек отрезка, вместе с концами a, b, |
в |
то время как (a, b) – множеством точек отрезка без концов |
a, b.
Объединение A B, пересечение A∩B.
Рассмотрим операции множеств A, B давая им символические определения:
def |
def |
A B = {x| x A x B}, A∩B = {x| x A & x B}. |
|
Иногда рассматривается операция разности множеств A и B, |
|
это множество элементов A, |
не входящие в B. Обозначение: |
def
A \ B. Таким образом, A \ B = {x| x A & x B }. В частном случае R \ Q есть множество иррациональных чисел.
1.3. Функции
Пусть x, y – переменные величины. Если каждому значению переменных x из множества A соответствует по определенному закону единственное значение переменной y, то говорят, что y является функцией (однозначной) от x и пишут y = f (x) или y = y (x). При этом переменную x называют аргументом или независимой переменной, множество A – областью определения функции y = f (x). Обозначим множество
всех значений функции, т.е. {f (x) | x A}, через B.
Пример 1. Для функции y = x2 −1 область определения A = (–∞, –1] [1, +∞), множество значений B = [0, +∞).
9
|
|
|
2 |
x, если x ≥ 0 |
|
sin |
|
, A = R, B = (–∞, +1]. |
|||
Пример 2. y = |
1 |
, |
|
если x < 0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
Замечание. Иногда рассматривают многозначные функции, допуская, что каждому значению x A, соответствует одно или более одного значений y. Мы в дальнейшем под функцией будем понимать однозначную функцию.
Способы задания функции.
Аналитический способ: связь между аргументом x и функцией y задается формулой, при этом на разных участках области определения она может задаваться различными формулами (см. пример 2) . В примерах 1, 2 функции заданы аналитически.
Табличный способ: функция задается таблицей отдельных значений аргумента и соответствующих значений функции. Такими являются таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.д.
Графический способ: в этом случае соответствие между значениями x и y задается с помощью графика.
Среди числовых функций особое место занимают функции с областью определения A = N. Пусть аргумент функции f (x) принимает только значения 1, 2, 3,....n,...
Обозначим f (1) = a1, f (2) = a2, ..., f (n) = an, ... Такую функцию называют последовательностью, a1 – первый член,
..., an – n-й член этой последовательности.
Рассмотрим свойства, которыми могут обладать (или не обладать) некоторые функции.
Функция f (x) называется возрастающей на множестве M (строго), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Символически это может быть записано так:
x1, x2 M (x1 < x2 → f(x1) < f(x2)).
10