2619

′′

′

−3sin2 ϕcosϕ

d

3

y

a sin

6

ϕ

3cosϕ

=

( yxx )ϕ

=

= −

.

dx3

xϕ′

− a sinϕ

a2 sin5 ϕ

e) Находим первую производную

1

dx

=

1 −t2

=

t .

dy

1

1 −t2

t

Вторая производная равна

− 2t

1 −t2 −t

1

d 2 x

(x′y )′t

2

1 −t2

t

=

=

1 −t2

=

.

dy2

yt′

1

(1 −t2 )32

t

Третью производную находим по формуле

(1 −t

2

)

3

2

+ t

3

(1 −t

2

)

1

2 2t

2

d

3

x

′′

′

(1 +

2t

2

)t

(1 −t

2

)

3

=

(xxx )t

=

=

.

dy3

yt′

1

(1 −t2 )

7

2

t

3.4. Найти производные указанных порядков:

а) y=xcosx , y(50)

?

б) y = (x3 − x2 +1)ex , y(30) ?

в)

y =

1

, y(20) ?

г)

y = e3x sin 4x , y(10) ?

x2 − 2x −3

2x + 3

д)

y = ln(2x +1),

y(40) ?

е) y =

, y(n) (0)?

x2 − x +

6

Решение.

а)

Положим

u = x2 , v = cosx.

Тогда

′

′′

′′′

(4)

(n)

π

u

= 2x,

u

= 2,

u

= u

=... = 0,

v

= cos(x + n 2 ).

y(50)

=

1

50 49cos(x + 48

π ) + 50 2x cos(x + 49

π ) +

2

2

2

+ x2 cos(x + 50

π ) = (1225 − x2 )cos x −100x sin x.

2

б) Положим u = ex ,

v = x3 − x2 +1.Тогда

v′ = 3x2 −2x,

v′′ = 6x −2,

v′′′ = 6, v(4)

= v(5)

=... = 0,

u(n) = ex .

По формуле Лейбница все слагаемые, кроме четырех

первых, равны нулю. Таким образом,

30 29

y(30)

= ex (x3 − x2 +1) + 30ex (3x2 − 2x) +

ex (6x − 2) +

30 29 28

2

+

ex 6 = ex (x3

+89x2 + 2550x + 23481).

3!

в) Преобразуем выражение к виду

y =

1

=

1

1

−

1

.

(x

−3)(x +1)

x

+1

4 x −3

1

(n)

(−1)(n) n!

1 (n)

(−1)(n) n!

Так как

=

и

=

, то

−3

(x −3)n +1

(x

+1)n+1

x

x +1

20

20

y

(20)

=

1

(−1)

20!

−

(−1)

20!

=

20!

1

−

1

.

4

(x −3)

21

(x

+

1)

21

4

21

(x

+1)

21

(x −3)

г) Полагая в формуле (8)

a = 3, b = 4 , будем иметь

10

4

y(10)

= (32 + 42 ) 2 e3x sin(4x +10ϕ) , где sinϕ =

или

4

32 + 42

(10)

10

3x

y

= 5

e

sin(4x +10arcsin

) .

5

2

(n −1)

=

(−1)n −1(n −1)!2n

.

1 + 2x

(1 + 2x)n

Таким образом,

y

(40)

(−1)39 39!239

2

39

=

= −39!

.

(1 + 2x)39

1 + 2x

При

п ≥ 2 будем иметь

y(n) (x2 − x + 6) + ny(n −1) (2x −1) +

n(n −1)

y(n −2)

2 = 0 ,

откуда при х = 0 получим

2

6 y(n) (0) − ny(n −1) (0) + n(n −1) y(n −2) (0) = 0

или y(n) (0) =

n

y

(n −1) (0) −

n(n −1)

y(n −2)

(0).

6

6

1

′

− 2x2 − 6x +15

15

y(0) =

,

y (0) =

(x2 − x + 6)2

=

.

2

36

x =0

Полагая

последовательно

п = 2,3,4,..., с помощью

′′

=

2

y

′

−

2

1

y(0)

=

1

15

−

1

= −

1

,

y (0)

6

(0)

6

3

36

36

2

′′′

3

′′

3 2

′

1

1

2 15

31

=

−

=

−

−

= −

.

y (0)

6

y (0)

6

y (0)

2

36

36

72

10. Из определения производной lim

y

= y′

и предела

x→0

x

70. Для дифференцируемой функции

y = f(x) из

приближенного равенства

y ≈ dy следует

f(x+ x) ≈ f(x)+ f

′

(7)

(x) x .

обозначается

=

a0 − a

.

Абсолютная

величина

отношения

абсолютной

погрешности

к

истинному

значению

называется

относительной погрешностью и обозначается δ =

.

a

0

Относительная погрешность обычно выражается в

процентах

δ =

100 %.

a

0

Если приращение функции заменить ее дифференциалом,

то получим приближенное значение приращения

y ≈ dy . В

этом случае абсолютная погрешность равна

=

y − dy

, а

относительная погрешность будет δ =

y − dy

.

y

4.1. Найти дифференциалы функций:

3

ln tgx

; в) y =

x3 −1

а) y = x

− x +

x ; б) y = 3

;

x3 +1

г)

x = a sin3 t .

Решение. а) Находим производную данной функции

y

′

= 3x

2

−1 + 2

1

x .

Отсюда дифференциал равен

′

2

−1 +

1