Находим производную y′ = xe−x (2 − x) и приравниваем ее к нулю xe−x (2 − x) = 0 .
Решая это уравнение, находим критические точки х1=0 и x2 = 2. Поскольку производная меняет знак согласно схеме (рис. 2.59), то в точке x = 0 функция имеет максимум, равный
нулю, а в точке х = 2 минимум, равный y(2) = e42 ,
|
|
Рис. 2.59 |
|
|
Находим |
вторую |
производную |
y′′ = e−x (2 − 4x + x2 ) и |
приравниваем |
ее к |
нулю e−x (2 −4x + x2 ) =0, |
откуда |
x1,2 = 2 ± 2 . |
|
|
|
|
Поскольку |
вторая |
производная |
меняет знак |
согласно |
схеме (рис. 2.60), то в точках x1,2 = 2 ± 
2 функция имеет пе-
региб |
и при |
x < 2 − 2 кривая выпукла |
вниз, |
при |
x ]2 − |
2,2 + |
2[ кривая выпукла вверх, при |
x ]2 + |
2, ∞[ |
кривая выпукла вниз. |
|
|
Рис. 2.60
Находим пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
lim x2 e−x = ∞, |
lim x2 e−x = lim |
x2 |
= lim |
2x |
= lim |
2 |
= 0 , |
|
|
|
x→−∞ |
x→∞ |
x→∞ ex |
x→∞ ex |
x→∞ ex |
|
т. е. прямая у = 0 есть горизонтальная асимптота. График функции показан на рис. 2.61.
Рис. 2.61
д) Функция существует для всех значений х, кроме х = 1. При x = 1 функция терпит разрыв. При х = 0 функция равна нулю. При x ≠ 0 имеем y > 0, т. е. функция не отрица-
тельна. Находим производную y |
′ |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
= − (x −1) |
3 |
|
|
|
и приравниваем |
|
|
|
|
ее к нулю: x = 0. Находим вторую производную y′′ = |
2(2x +1) |
|
(x −1)4 |
|
и определяем ее знак при х = 0. Поскольку |
y |
′′ |
то при |
|
(0) > 0 , |
х = 0 функция имеет минимум, равный y(0) = 0. |
|
|
Вторая производная y |
′′ |
= 0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
при x = − 2 |
и меняет свой |
|
|
знак с минуса на плюс при переходе через эту точку, следова-
|
тельно, при |
x = − |
|
1 |
кривая имеет перегиб, ордината которого |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равна |
y |
− |
|
|
= |
|
|
. |
|
|
2 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим предел lim |
x2 |
= ∞ , т. е. прямая х = 1 есть |
|
(x −1)2 |
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
вертикальная асимптота. При x → ±∞ |
предел lim |
x2 |
|
=1 , |
|
|
2 |
|
|
|
|
x→±∞ (x −1) |
|
т. е. прямая у = 1 есть горизонтальная асимптота. График функции показан на рис. 2.62.
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.62 |
|
14.2. Исследовать функции и построить их графики: |
|
а) |
x = a cos3 t, |
y = a sin 3 t, t [0,2π[; ; |
|
б) |
x = a(t −sin t), |
y = a(1 − cos t), t [0,2π] ; |
|
в) |
x = |
3at |
|
, |
y = |
3at 2 |
. |
|
1 + t |
3 |
1 + t 3 |
|
|
|
|
|
|
Решение. a) Функции определены для любого значения t. Поскольку функция x четная, а у нечетная, то график функции симметричен относительно оси ординат и начала координат, т.е. относительно координатных осей.
|
Полагая x = 0, находим, что cos t = 0 и t = |
π |
, |
3π |
. |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
При этих значениях t из выражения y = a sin 3 t находим, что y = ±a .
Полагая у = 0, находим, что sin t = 0 и t = 0,π . При этих значениях t из выражения y = a cos3 t находим, что х = ±а. Та-
ким образом, график функции пересекает координатные оси в
точках (a,0); (0,а); (-а,0); (0, -a). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем |
производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′y |
xt′ = −3a cos2 t sin t, |
|
yt′ = 3a sin 2 t cos t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yt′ = |
|
= −tgt, |
y′′xx = |
( y′ |
)′ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
t |
= |
|
|
|
|
. |
Из выражения для |
|
xt′ |
|
|
|
|
3a cos4 |
t sin t |
|
|
|
|
y′ |
|
x′t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
производной |
определяем |
критические |
|
|
точки. |
|
|
При |
t = 0, |
|
t = π производная равна нулю, а при t = |
π |
, |
t = |
3π |
- не |
|
2 |
|
|
существует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, область изменения параметра t разбива- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
π |
|
|
|
3π |
и |
3π |
|
|
|
ется на четыре интервала 0, |
|
; |
|
,π ; |
|
π, |
|
|
|
|
|
|
,2π . |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> 0 , т. е. функ- |
|
|
При t |
2 |
, производная y′x < 0 , а y′x′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ция убывает и график функции направлен выпуклостью вниз.
При |
π |
,π |
|
|
′ |
|
и |
′′ |
t |
|
yx > 0 |
yxx > 0 , т. е. функция возрастает и |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
график направлен выпуклостью вниз. |
|
|
3π |
|
′ |
|
|
′′ |
При |
t π, |
|
|
|
y |
< 0 |
и |
2 |
|
|
yxx < 0 , т. е. функция убывает и гра- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
фик направлен выпуклостью вверх. При |
t |
|
,2π y′x > 0 , а |
|
2 |
|
|
|
|
y′xx′ < 0 , т. е. функция возрастает и график направлен выпукло-
стью вверх. Кстати, пользуясь симметрией графика функции, этот анализ можно было ограничить изменением параметра
|
π |
только одним интервалом, например, t 0, |
2 |
. |
|
|
При t ={0,π} производная y′x = 0, y = 0 и касательные совпадают с осью x, т. е. точки (a,0) и (-a,0) будут точками
возврата. При t = π2 ; 32π производная y′x не существует, а при
x = 0, касательные совпадают с осью у и точки(0,a), (0,-a) будут также точками возврата. Учитывая все это, представим график функции (рис. 2.63). Полученная кривая представляет траекторию движения точки подвижного круга, катящегося изнутри по неподвижному кругу радиуса а, и называется астроидой.
Рис. 7.63
б) Функция определена при любом значении параметра t из интервала t [0,2π]. Найдем точки пересечения графика с
осями координат. При x = 0, sin t = t, t = 0 . При y = 0, cost =1, t = 0, t = 2π . Отсюда следует, что кривая при t=0 проходит через начало координат, а при t = 2π пересекает
|
ось Ох в точке x = 2πa . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем производные |
|
|
|
|
sin t |
|
|
|
xt′ = a(1 − cos t), |
yt′ = a sin t, y′x |
= |
|
|
, |
|
|
1 |
− cos t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′xx = |
cos t(1 − cos t) −sin 2 t |
= − |
|
|
|
1 |
|
. |
|
a(1 − cos t)3 |
a(1 − cos t)2 |
|
|
|
|
|
Приравнивая y′x |
к нулю, из уравнения sint = 0 находим |
значения параметра в критических точках t ={0;π;2π} . Первая производная не существует при 1 − cos t = 0 , т. е. при значени-
235
ях параметра t ={0;2π} . При переходе параметра через крити-
ческие |
значения |
t ={0;2π} , |
|
|
|
т.е. |
в |
окрестности |
(0 −ε, |
0 +ε), (2π −ε, |
2π +ε) , где |
|
ε |
|
> 0 , производная y′x ме- |
|
|
няет знак с минуса на плюс. Отсюда следует, что касательная к графику функции в точках x ={0;2πa} параллельна оси Оу,
При t = π вторая производная y′xx′ < 0 , т.e. точка x = π a точка максимума функции у = 2а. Более того, поскольку y′xx′ < 0 нa всем интервале t [0,2π], то кривая на этом интервале выпукла вверх.
При изменении t от 0 до π производная y′x > 0 , следовательно, кривая возрастает. При изменении t от π до2π производная y′x < 0 , следовательно, кривая убывает. Все сказанное
позволяет представить график в виде (рис. 2.64). Полученная кривая представляет траекторию точки круга радиуса а катящегося без скольжения по прямой Ох за время одного оборота круга и называется циклоидой.
Рис. 2.64
в) Функция определена при всех значениях t, кроме t = -1. При t = 0 координаты х = 0, y = 0 и при t → ±∞ координаты x, y → 0 , т. е. начало координат служит особой точкой и
в нем кривая сама себя пересекает.
Найдем наклонную асимптоту. Угловой коэффициент ра-
|
y(t) |
|
3at |
2 |
1 + t |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вен k = lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
= −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) |
1 + t |
3 |
|
3at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−1 |
x→−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Параметр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3at |
2 |
|
|
3at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = lim ( y(t) − kx(t)) = lim |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= |
|
1 + t |
3 |
1 + t |
3 |
|
|
x→−1 |
|
|
|
|
|
|
x→−1 |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
3at |
= −a |
|
1 |
−t + t 2 |
|
x→−1 |
|
Отсюда уравнение асимптоты x + y + a = 0.
При изменении t от − ∞до -1 , точка (х,у) из начала координат удаляется в бесконечность, причем значения х - положительны, а у - отрицательны, т. е. ограничены асимптотой, расположенной в четвертом квадранте.
При изменении t от -1 до 0 точка (х,у) из бесконечности возвращается к началу координат, причем значения x - отрицательны, а у - положительны, т. е. ограничены асимптотой, расположенной во втором квадранте. При изменении t от 0 до− ∞ точка описывает против часовой стрелки петлю, расположенную, судя по значениям х,у, в первом квадранте.
Обозначая t = xy , нетрудно перейти к уравнению функ-
ции в неявном видe F(x, y) = x3 + y3 −3axy = 0 . Находим производные
f x′ = 3(x2 − ay), Fy′ = 3( y 2 − ax), y′x = − |
Fx′ |
= − |
x2 − ay |
. |
Fy′ |
|
|
|
y 2 − ax |
Приравнивая y′x = 0 и решая это уравнение совместно с уравнением F(x,y) = 0, находим критические точки х = 0, у = 0 и x = a3 2, y = a3 4 . Вычислим y′xx′ при x = a3 2 по формуле
|
y′′xx = − |
Fxx′′ |
= − |
6x |
. |
Так |
как |
в |
|
исследуемой точке |
|
|
3( y 2 − ax) |
|
|
|
Fy′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
yxx < 0 , то это точка максимума ymax = a |
4, x = a |
2 . |
|
|
|
|
В точке (0,0) Fx′ = 0 |
и |
Fy′ = 0 , |
поэтому можно утвер- |
ждать, что касательными в этой точке служат оси координат. Учитывая все это, представим график функции (рис. 2.65). Полученная кривая называется декартовым листом.
Рис. 2.65.
2.15. Формула Тейлора и Маклорена
10. Если функция f (x) определена и дифференцируема n +1 раз в некоторой окрестности точки x0 = a , то она может
быть представлена в виде суммы многочлена n-ой степени и остаточного члена Rn (формула Тейлора)
|
f (x) = f (a) + |
|
f ′(a) |
(x −a) + |
|
|
|
|
1! |
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
f ′′(a) |
|
|
f (n) (a) |
|
+ |
(x −a)2 +... + |
(x −a)n + R |
|
|
|
|
2! |
|
|
|
n! |
n |
|
|
|
|
|
где |
R = |
f (n+1) |
(c)(x −a)n+1 |
; c = a +θ(x −a) ; 0 <θ <1 – |
|
|
|
n |
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
остаточный член в форме Лагранжа.
Формула Тейлора (n-го порядка) позволяет представить функ-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цию |
f (x) в виде многочлена n-ой степени и оценить с помо- |
щью остаточного члена Rn |
возникающую при этом погреш- |
ность, которая может быть сделана сколь угодно малой. |
|
|
20. При а = 0 формула (1) принимает вид: |
|
|
|
f (x) = f (0) + |
f ′(0) |
x + |
|
f ′′(0) |
x2 +... + |
f (n) (0) |
xn + R , |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
2! |
|
n! |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
R = |
f (n+1) (θ x) |
xn+1 ; 0 <θ <1, и называется формулой Мак- |
|
|
n |
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лорена. К этому частному случаю формулу Тейлора можно
свести с помощью перехода к новой независимой переменной
ξ = x −a .
Остаточный член в формуле Тейлора иногда записывают в форме Пеано Rn = O((x −a)n ) , которая в ряде случаев бывает более удобна (вычисление пределов). Остаточный член в форме Пеано для формулы Маклорена имеет вид Rn = O(x)n .
|
15.1. Для функций а) ex ; |
б) sin x; |
в) cos x; г) (1 + х)n; |
д) 1n(1 + х), написать формулу Маклорена n-го порядка и |
оценить погрешность. |
|
f (x) = ex , то f (n) (x) = ex при любом |
|
Решение. а) Если |
|
n=1,2,3, ... |
|
|
|
f (n) (0) =1, то по формуле (2) |
|
Так как f (0) =1 и |
|
|
|
e |
x |
=1+ |
|
x |
+ |
|
x2 |
+…+ |
|
xn |
+ Rn . |
|
|
|
|
1! |
|
2! |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точность разложения определяется остаточным членом |
R = |
eθx |
|
xn+1 . Оценим погрешность. |
|
|
|
|
|
n |
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
|
R |
|
< |
ex |
|
|
|
x |
n+1 |
, |
|
|
то, например, при х = 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 2n+1 |
|
R (1) |
|
< |
|
; при x = 2, |
|
R (2) |
|
< |
и т. д. При любом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значении х при n → ∞ остаточный член стремится к нулю и чем больше n, тем точнее разложение. При x = 1 можно получить формулу для приближенного вычисления числа е
e =1+11! + 21! + 31! +... + n1! . б) Пусть f (x) = sin x , тогда f (0) = 0 ;
|
|
|
|
|
|
f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) = cos x = sin |
x + |
|
2 |
|
, |
|
(0) =1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
π |
|
, |
|
f |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) = −sin x = sin |
x + |
|
2 |
|
|
(0) = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
′′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+3 |
π |
, |
f |
′′′ |
|
|
|
|
|
|
|
−1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) = cos x = sin x |
2 |
|
(0) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…………………….. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(n) |
|
|
|
|
π |
|
f |
(n) |
(0) = sin n |
π |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= sin x + n |
|
2 |
, |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложение примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x = x − |
x3 |
+ |
x5 |
−... + (−1)m−1 |
|
|
|
x2m−1 |
|
|
|
|
+ R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2m −1)! |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Остаточный член |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
= |
|
|
x2m−1 |
|
|
sin(θ x +(2m +1) π ) ≤ |
|
|
x |
|
2m+1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
(2m +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
(2m +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т. к. |
|
sin α |
|
≤1 и при |
n → ∞ стремится к нулю независимо от |
|
|
значения х. |
|
f (x) = cos x , то |
|
f (0) =1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
, |
f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) = −sin x = cos x + |
|
|
|
(0) = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
