2619

Функция f (x) называется убывающей (строго) на множестве M, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Символически:

x1, x2 M (x1< x2 → f(x1) > f(x2)).

Функция, убывающая или возрастающая на множестве M, называется монотонной на множестве M.

В качестве примера рассмотрим функцию y = x2. На интервале (–∞, 0) это убывающая функция, а на интервале (0, + ∞ ) – возрастающая.

Функция f (x) называется ограниченной сверху на множестве M, если существует такое число k, что для любого значения x M f (x) < k.

Символически это может быть записано так:

k x M (f (x) < k).

Аналогично дается определение функции, ограниченной снизу.

Если функция ограничена и сверху, и снизу, то она назы-

вается ограниченной. Так, функция y = x2 −1 ограничена снизу на множестве A (пример 1), а функция из примера 2 ограничена сверху на множестве R.

Функция f (x) называется четной, если

x A (f (–x) = f (x)),

и называется нечетной, если

x A (f (–x) = –f (x)).

Например, функция y = x2 является четной, а y = sinx – нечетной.

Функция f (x) называется периодической с периодом T

(T ≠ 0 ), если x A(f (x + T) = f (x)).

Известно, что все тригонометрические функции являются периодическими.

Введем важные понятия сложной и обратной функции. Если переменная y является функцией от x, y = f (x); а x –

функция от переменной t : x = ϕ (t), то y = f (ϕ (t)) является

11

функцией от t и называется сложной функцией или функцией от функции.

Например, пусть y = x2, x = sint, тогда функция y = (sint)2 является сложной.

Пусть y = f (x) с областью определения A и множеством значений B такова, что для любого значения y B существует единственное значение x B, такое, что f (x) = y, тогда переменная x является функцией от y, обозначим x = ϕ (y). Эту функцию называют обратной для y = f (x). Для обратной функции x = ϕ (y) область определения B, а множество значений A. Иногда функцию, обратную к функции y = f (x), обозначают: x = f −1 ( y) .

Например, для функции y = x2 с областью определения [0, +∞) и таким же множеством значений обратной является

сильно x0 – ε < x< x0 + ε.Множество точек с таким свойством (рис. 1.1) является интервалом (x0 – ε, x0 + ε) и называется

ε – окрестностью точки x0 (рис. 1.1).

12

1.4. Пределы функции на бесконечности

Рассмотрим одно из центральных понятий математического анализа – понятие предела функции. Ввиду сложности для понимания этого понятия сначала дадим его описательное определение, подкрепленное примерами, а затем строгое определение.

Предел функции при x → +∞.

Пусть функция y = f (x) определена на множестве всех действительных чисел R или на бесконечном интервале

(a, +∞).

Число b называют пределом функции f (x) при стремлении x к +∞ (x→ +∞), если значения f (x) приближаются к числу b как угодно близко при достаточно больших x.

Обозначение: lim f (x) =b .

x→+∞

2x +1

Пример 1. Функция y = x определена на интервале

(0, +∞). Составим таблицу ее некоторых значений и построим ее график (рис. 1.2):

13

2. Так, если x равно 10, то f (x) отлича-

ется от 2 на 1/10, а если x = 100, то f(x) – 2 = 1/100. Раз-

ность f (x) – 2 может стать меньше любого заданного положительного числа ε, если x взять достаточно большим. Например, ε = 1/1000. Чтобы определить, для каких значений x выполняется неравенство f (x) – 2 < 1/1000, надо решить это неравен-

ство: 1x < 10001 , отсюда x > 1000.

Пусть ε – произвольное (малое) положительное число, тогда найдется такое x0, что f (x) – 2 < ε для всех x > x0. Дей-

ствительно, f (x) – 2 = 1x , 1x < ε, x > ε1 . Обозначив x0 = ε1 , полу-

чаем, что для всех x, если x > x0, тоf (x) – 2 < ε. Итакмыпоказали,

что lim 2x +1 = 2.

x→+∞ x

Пример 2. Функция y = 2x+−1x определена на (–2, +∞).

Выпишем таблицу ее некоторых значений и построим график

(рис. 1.3).

14

Из таблицы значений и графика (рис. 1.3) видим, что с ростом x значения f (x) приближаются к 1, оставаясь меньше 1.

Покажем, что lim x −1 =1. Разность f (x) – 1 отрица-

x→∞ 2 + x

тельна, поэтому вычислим ее абсолютную величину:

Покажем, что |f (x) – 1| может стать меньше любого заданного положительного числа ε при достаточно больших x. Для этого-

Рис. 1.3

15

функции при x→ +∞.

Число b называется пределом функции f(x) при стрем-

лении x к +∞, если для любого положительного числа ε найдется такое число x0, что для всех x, больших x0, выполняется неравенство: | f (x) – b | < ε .

Геометрическая интерпретация этого определения приведена на рис. 1.4. В логических символах это определение выглядит

так: lim f(x) = b означает ε > 0 x0 x > x0 ( | f(x) – b | < ε ).

x→+∞

Пример 3. Доказать, что lim 1 = 0 , x (0, +∞).

x→+∞ x

Доказательство: f (x) = 1 . Зафиксируем произвольное ε > 0, x

покажем, что найдется такое x0, что для всех x, больших x0: y

b+ε

ε

b

ε

b−ε

y = f (x)

16

1x < ε x > ε1 .

Обозначим: x0 = ε1 , тогда при x > x0: |f (x) – 0 | < ε, значит,

lim 1 = 0.

x→+∞ x

Пусть для некоторой функции y = f (x) lim f (x )= b, геомет-

x→+∞

рически это означает, что точки графика y = f (x) приближаются к точкам прямой y = b (с той же абсциссой) при неограниченном возрастании x. В этом случае говорят, что прямая y = b является асимптотой графика y = f (x) при x→ +∞.

Неравенство: | f (x) – b | < ε равносильно двойному неравенству:

a1, a2, ..., an , ... есть функция натурального аргумента, an = f (n), n N. Определение предела последовательности почти дословно повторяет определение предела функции при x→+∞.

Число b называется пределом последовательности {an},

если для любого ε > 0 существует такое натуральное число n0, что для всех натуральных n, больших n0, выполняется нера-

венство: | an – b | < ε. Обозначение: lim an = b.

n→+∞

Рассмотренные пределы объединяются общим названием

«пределы на бесконечности». Не надо думать, что любая функция, определенная на R, имеет предел при x → +∞ или

17

x → –∞. Например, lim sinx не существует, так как значения

x→+∞

sinx при неограниченном возрастании x периодически меняются от –1 до +1, не приближаясь ни к какому постоянному

числу. Аналогично, не существует lim sinx. Последователь-

x→−∞

ность: a1 = 1, a2 = 3, a3 = 5, ..., an = 2n – 1, ... также не имеет предела.

1.5. Предел функции в точке

Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 (возможно, определена на R), но в самой точке x0 функция f (x) может быть и не определена.

Дадим сначала описательное определение предела функции в точке и приведем пример.

Число b называется пределом функции f(x) в точке x0

(x → x0), если значения f (x) приближаются к числу b как угодно близко при условии, что значения аргумента x подходят к x0

достаточно близко. Обозначение: lim f (x) = b.

x→x0

18

дим, что значения f (x) тем меньше отличаются от числа 4, чем ближе значения аргумента x подходят к 2.

неравенству:

2 – 201 < x < 2 + 201 , выполняется неравенство

|f (x) – 4| < 101 .

Аналогично можно показать, что

|f (x) – 4| < 1001 , если

19

точке x0 (при стремлении x к x0), если для любого положи-

тельного числа ε найдется положительное число δ, такое, что для любого x ≠ x0 и удовлетворяющему неравенству:

x0 – δ < x < x0 + δ, выполняется неравенство: | f (x) – b| < ε.

Символически lim f (x) = b означает:

x→x0

ε > 0 δ > 0 x ≠ x0 (x0 – δ < x < x0 + δ → | f(x) – b | < ε). (*)

1.6) это иллюстрируется (по определению предела) так: для всех точек x, отстоящих от x0 не далее, чем на δ, значения f (x) отличаются от b не более чем на ε.

Пример 2. Показать, что lim x = x0.

x→x0

В самом деле f (x) = x, поэтому для любого ε > 0:

| f (x) – x0 | < ε при условии | x – x0 | < ε (здесь δ = ε).

20