ными, поэтому вся передача будет с кратным зацеплением. Окончательно для u17 получим:
i17 = (z3 z4 z6 z7) / (z1 z3′ z4′ z6′ ) |
(8.9) |
Если требуется найти передаточное отношение от седьмого колеса к первому, в выражении (8.5) следует поменять местами числитель и знаменатель:
i71 = (z1 z3′ z4′ z6′ ) / (z3 z4 z6 z7). |
(8.10) |
8.3. Кинематика планетарных передач
Рассмотрим передачу, изображённую на рис. 8.3.
Звено 1 называется центральным колесом, звено 2 – сателлитом, звено Н – водилом. Передача содержит три звена и одну пару четвёртого класса. По формуле (8.7) получим
W = n – p = 3 – 1 = 2.
Такая передача называется дифференциальной, так как в ней можно вычитать или складывать движения двух звеньев. Термин «планетарная» передача используется потому, что движение сателлита напоминает движение планет солнечной системы.
Рис. 8.3. Дифференциальная передача
С центральным колесом и сателлитом жёстко свяжем отрезки, при помощи которых зададим углы φ1, φ2. Углы φ1, φН будут обобщёнными координатами, угол φ2 – функция положения сателлита. Для этого угла можно записать:
φ2 = φ2 (φ1, φН). |
(8.11) |
Дифференцируем эту функцию по времени: |
|
ϕ 2 = ( ∂ φ2/ ∂ φ1) ϕ 1 + ( ∂ φ2/ ∂ φН)φН. |
(8.12) |
Величины ϕ 1 , ϕ H – это обобщённые скорости, они должны быть за-
данными, ϕ 1 = ω1; ϕ H = ωН.
Величинаφ2 – угловаяскоростьсателлита, φ2 = ω2, онаявляетсяискомой. Найдем частную производную ∂ φ2/ ∂ φ1. При этом обобщенная координата φН должна быть постоянной, т.е. водило окажется остановленным
(рис. 8.4, а).
Рис. 8.4. Обращенные механизмы: – при остановке вала; – при остановке колеса 1
Передаточное отношение |
|
|
|
|
|
|
i( H ) = ω |
( H ) ω |
( H=) |
− |
r |
r . |
(8.13) |
21 |
2 |
1 |
|
1 |
2 |
|
Какими будут угловые скорости колес после остановки водила, выясним позже, а сейчас найдем вторую частную производную ∂ ϕ 2/ ∂ ϕ Н. Обобщенная координата ϕ 1 будет постоянной, и колесо 1 окажется остановленным (рис. 8.4, б). Линейная скорость центра сателлита будет равной:
V (1) |
= ω (1) |
(r+ |
r )= ω |
(1) r . |
(8.14) |
O |
H |
1 |
2 |
2 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
Передаточное отношение
i |
(1) |
= ω |
(1) |
ω |
(1) |
(+r |
r ) |
r= |
i |
( H ) |
(8.15) |
|
2 |
= |
+ |
1 . |
2 H |
|
|
H |
1 |
2 |
2 |
21 |
|
|
С учетом полученного выражения найдем из (8.12) угловую скорость сателлита:
|
ω |
= |
i( Hω) + |
|
(1− i( Hω) ) |
H |
|
|
(8.16) |
|
|
2 |
21 |
1 |
|
21 |
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
− ω |
= |
i( Hω) (− ω |
H |
). |
|
(8.17) |
|
|
2 |
H |
|
21 |
1 |
|
|
|
|
Далее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i( H ) = (ω − ω |
H |
)ω (− ω |
|
H |
) . |
|
(8.18) |
|
21 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
Сравнивая выражения (8.13) и (8.18), получим |
|
|
|
|
ω |
( H )= ω − ω |
( H ) |
; |
ω ( H )= ω − ω |
|
H |
. |
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
После остановки водила получаем механизм, который называется обращенным. В обращенном механизме из угловых скоростей колес нужно вычитать угловую скорость водила. Выражение (8.18) называется формулой Виллиса, имеющей большое значение в кинематике планетарных передач.
Рассмотрим ряд примеров:
Пример 1
На рис. 8.5 приведена схема простого планетарного редуктора Джеймса в двух вариантах. В первом варианте (рис. 8.5, а) центральное колесо 1 неподвижно, во втором варианте (рис. 8.5, в) неподвижным является центральное колесо 3. Подвижность механизмов, изображенных на рис. 8.5, равна единице:
W = n – p4 = 3 – 2 = 1.
Рис. 8.5. Редуктор Джеймса:
а, в – исходные механизмы; б, г – обращенные механизмы
В исходных механизмах (рис. 8.5, а, в) входным звеном может быть либо центральное колесо, либо водило. Обращенные механизмы представляют собой обыкновенные рядовые передачи с паразитным колесом 2. Найдем сначала передаточное отношение обращенного механизма:
i13( H ) = (z2 / z3 )(−z1 / z2 ) = −z1 / z3 ;
i13( H ) = (−z2 / z1 )(z3 / z2 ) = −z3 / z1 .
Используем формулу Виллиса для схемы на рис. 8.5, а:
i( H ) = (ω |
− ω |
H |
) ω/ (− ω |
= |
H |
) +i |
1, |
(8.19) |
31 |
3 |
1 |
|
3H |
|
|
304
отсюда
i |
= 1 − i( H ) = 1− (−z |
/ z |
) = 1+ (z |
/ z |
) . |
(8.20) |
3H |
31 |
1 |
3 |
1 |
3 |
|
|
Аналогично для схемы на рис. 8.5, в:
i( H ) = (ω |
− ω |
H |
) ω/ (− ω |
= |
H |
) +i |
|
1 |
(8.21) |
|
13 |
1 |
|
|
3 |
|
1H |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
= 1 − i( H ) = 1 − (−z |
3 |
/ z ) = 1+ (z |
3 |
/ z ) . |
(8.22) |
4 H |
13 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
Исследуем допустимые пределы изменения передаточных отношений для обеих схем. Положим, что z1= z2. Тогда z3= z1+ 2z2, так как все колеса одного модуля. По формуле (8.20) получим:
i3Н = 1 + z1 / z3 = 1 + z1 / 3z1 = 4/3; iН3 = 3/4.
При ведущем водиле угловая скорость ω3 = (4/3) ωН. При ведущем колесе 3 угловая скорость ωН = (3/4) ω3. В первом случае получается повышающая передача (мультипликатор). Во втором случае получается понижающая передача (редуктор). В обоих случаях передаточное отношение мало отличается от единицы. По формуле (8.22) найдем:
u1Н = 1 + z3 / z1 = 1 + 3z1 / z1 = 4; uН–1 = 1/4.
При ведущем водиле угловая скорость ω1 – повышающая передача, ω1 = 4ωН. При ведущем колесе 1 угловая скорость водила ωН – понижающая передача, ωН = 0,25ω1. Здесь достигается значительно больший кинематический эффект по сравнению с передачей на рис. 8.5, а.
Возьмем как можно большее соотношение чисел зубьев колес. Для одной ступени рядовой зубчатой передачи не рекомендуется назначать передаточное отношение больше пяти.
Выберем z5= 5z1, тогда z3 = z1 + 10z1 = 11z1. По формуле (8.20):
i3Н = 1 |
+ z1 / z3 = 1 + z1 / 11z1 = 12/11; |
uН3 = 11/12. |
По формуле (8.22): |
|
|
i1Н = 1 + z3 / z1 = 1 + 11z1 / z1 = 12; |
uН1 = 1/12. |
Для схемы на рис. 8.5, а передаточное отношение опять мало отличается от единицы. Для схемы на рис. 8.5, в при ведущем водиле ω1 = 12 ωН повышающая передача. При ведущем колесе 1 угловая скорость водила ωН – понижающая передача; ωН = 1/12 ω1.
Наконец, рассмотримсоотношениечиселзубьевz1 = 5z2, тогдаz3 = 7/5z1. По формуле (8.20):
i3Н = 1 + z1 / z3 = 1 + 5z1 / 7z1 = 12/7; iН3 = 7/12.
По формуле (8.22):
i1Н = 1 + z3 / z1 = 1 + 7z1 / 5z1 = 12/5; iН1 = 5/12.
Таким образом, получены следующие кинематические свойства передач. Для схемы на рис. 8.5, а при ведущем водиле угловая скорость центрального колеса изменяется в пределах ω3 = (12/11…12/7) ωН; при ведущем колесе 3 угловая скорость водила ωН = (11/12…7/12) ω3.
Для схемы на рис. 8.5, в при ведущем водиле угловая скорость колеса 1: ω1 = (12/5…12/1) ωН; при ведущем колесе 1 угловая скорость водила
ωН = (1/12…5/12)ω1.
Из-за низкой кинематической эффективности передача с неподвижным колесом 1 не находит применения в машиностроении. Передача с неподвижным колесом 3 получила широкое распространение и может работать как повышающая, так и как понижающая.
Пусть задана схема редуктора (рис. 8.6), в котором водило Н редуктора Джеймса приводится от рядовой ступени (колеса 1, 2).
Рис. 8.6. Двухступенчатый редуктор с простой и планетарной ступенями
Рассчитать передаточное отношение u15, если z1 = z4 = 30; z2 = z5= 20; z3 = 80, а также найти число оборотов колеса 5 и сателлита 4 при n1 = = 50 об/мин.
Решение
1. Подсчитываем передаточные отношения отдельных ступеней. Для первой ступени
i12= n1/ n2= – z2/ z1 = –20/30 = –2/3,
откуда
n2 = – 3/2 n1 = – (3/2) 50 = –75 об/мин.
Так как n2 = nН, то nН = –75 об/мин. Для второй ступени
iН5 = nН / n5 = 1 / i5Н = 1 / (1 – i53H ) = 1 / (1 – (– z4 / z5) (z3 / z4)) = =1 / (1+ z3 / z5) = 1/ (1 + 80 / 20) = 1/5.
2. Общее передаточное отношение редуктора (об/мин)
i15= i12 iН5 = (–2/3) (1/5) = – 2/15 = n1/ n5
или
n5 = – 7,5 n1 = – 7,5 · 50 = – 375.
3. Найдем число оборотов сателлита. Для этого воспользуемся фор-
мулой Виллиса:
i54H = (n5 – nН) / (n4 – nН) = – z4/ z5 = – 30/20 = –3/2
или
n5 – nН = (– 3/2 n4) + (3/2 nН),
откуда
n4 = (– 2/3 n5) + (5/3 nН) = (– 2/3 (– 375)) + (5/3 (– 75)) = 125.
Сателлит вращается в ту же сторону, что и колесо 1.
Пример 2
На рис. 8.7 изображена схема редуктора с двумя внешними зацеплениями. Подвижность механизма:
W = n – p4 = 3 – 2 = 1.
Пусть задана угловая скорость водила ωН. Требуется определить угловую скорость ω1 ведомого звена. Сначала выразим эти соотношения через радиусы колес. Мгновенная ось вращения обозначена ММ. Найдем скорость точки А:
VA = (r3 + r2') ωН = ω2 r2'
или
ω2 = (r3 / r2' + 1)ωН. |
(8.23) |
Блок сателлитов z2, z2' вращается как одно целое, поэтому скорость точки С
Рис. 8.7. Редуктор Давида с внешнем зацеплением
Скорость точки С является окружной для колеса 1, тогда для угловой скорости этого колеса получим
Расстояние точки С до мгновенной оси равно |
|
СМ = r2 + r2'. |
(8.26) |
С учетом написанных выражений получим |
|
ω1 = (((r3 / r2' + 1) (r2 – r2')) ωН) / r1. |
(8.27) |
Из этой формулы видно, что чем ближе точка С к мгновенной оси, тем меньше передаточное отношение и1Н и тем больше отношение uН1. Особенно наглядно это проявляется в профильной проекции на рис. 8.7. В рассматриваемом случае колесо 1 вращается противоположно водилу. Если точка С окажется выше точки В, то направления угловых скоростей водила и колеса 1 будут совпадать. Если же точка С совпадет с точкой В, то r2 – r2' = 0, колесо 1 окажется неподвижным.
Выражение передаточного отношения через радиусы колес не всегда удобно, так как колеса z2, z2' могут быть разного модуля. Используя формулу Виллиса, выразим передаточное отношение через числа зубьев колес:
iH |
= (ω1 |
– ω ) / (ω3 |
– ω |
Н |
) = – i1 |
+ 1 = (– z2 / z1) (– z3 / z2') |
(8.28) |
13 |
|
Н |
|
|
Н |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i1Н = 1 – (– z2 / z1) (– z3 / z2'). |
(8.29) |
Для уменьшения i1Н необходимо, чтобы передаточное отношение об- |
ращенного механизма i( H ) |
было положительным и как можно ближе |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
к единице.
Пусть задано: z1 = 101; z2 = 100; z2' = 99; z3 = 100. По формуле (8.29)
i1Н = 1 – (z2 / z1) (– z3 / z2') = – (100·100) / (101·99) = = – 1/9999 ≈ – 1/10000.
Этот случай соответствует рис. 8.7, где гочка С лежит ниже мгновенной оси. Заданы другие значения чисел зубьев:
z1 = 100; z2=101; z2' = 100; z3 = 99.
Тогда
i1Н = 1 – (– z2 / z1) (– z3 / z2') = 1 – (101·99) / (100·100) = 1/1000.
В этом случае точка С лежит выше мгновенной оси, водило и колесо 1 вращаются в одну сторону.
Недостатком этого механизма являются большие потери на трение, следовательно, низкий коэффициент полезного действия. При uН1 = 1000 КПД равен 0,0015.
|
Пример 3 |
|
|
На рис. 8.8 изображен редуктор |
|
Давида с двумя внутренними зацеп- |
|
лениями. Здесь получается более |
|
компактная |
конструкция, чем на |
|
рис. 8.7. |
|
|
|
Зададим числа зубьев: z1 = 100; |
|
z2 = 99; z2' = 100; z3 = 101. |
|
|
Передаточное отношение счи- |
|
тается по той же формуле (8.29): |
|
i1Н = 1 – (z2 / z1) (– z3 / z2') = – (99·101) / |
|
(100·100) = 1/1000. |
|
|
Коэффициент полезного |
дейст- |
Рис. 8.8. Редуктор Давида с двумя |
вия этого |
редуктора тоже |
низкий. |
внутренними зацеплениями |
При uН1 = 1000 он равен 0,04. |
|
|
|
8.4. Замкнутые дифференциальные передачи
Пример 4
На рис. 8.9 изображена схема замкнутого дифференциала. Рассчитаем степень подвижности передачи:
W = n – p4 = 5 – 4 = 1.
Первым признаком такой передачи является то, что при W = l в ней нет неподвижного центрального колеса. Пусть задана угловая скорость первого колеса. Требуется найти угловую скорость водила.
Записываем формулу Виллиса для центральных колес:
|
i( H ) = (ω − ω |
H |
)ω (− ω |
= |
H |
) |
|
|
13 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
= (i1H −1) |
(i3H −1) = |
|
(8.30) |
|
|
= (−z2 z1 )(+z3 z2′ ). |
|
|
|
|
Вторым |
признаком |
диф- |
Рис. 8.9. Замкнутый дифференциал |
ференциальной передачи являет- |