- •Доказать необходимый признак сходимости числового ряда. Доказать критерий Коши сходимости числового ряда. Доказать расходимость гармонического ряда.
- •Доказать признак Даламбера сходимости и расходимости знакоположительных числовых рядов.
- •Доказать признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Оценка суммы и остатка ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница.
- •Абсолютная и условная сходимости знакопеременных рядов. Доказать теорему о сходимости знакопеременного ряда, ряд из модулей членов которого сходится.
- •Равномерная сходимость функционального ряда. Доказать признак Вейер-штраеса
- •Степенные ряды с комплексными членами. Доказать теорему Абеля. Круг сходимости и правило его нахождения. Поведение ряда на окружности круга сходимости.
- •Сформулировать свойства степенного ряда в с.
- •Определение аналитической функции в точке (в области).
- •Действительная и мнимая части аналитической функции z как сопряженные гармонические функции. Нахождение аналитической функции по ее действительной (мнимой) части.
- •Дать определение интеграла от непрерывной функции комплексного переменного и сформулировать его основные свойства.
- •Доказать теорему Коши для одно- и многосвязных областей.
- •Первообразная аналитической функции. Вывести формулу Ньютона-Лейбница для аналитической функции.
- •Доказать основную теорему о вычетах. Доказать теорему о сумме вычетов аналитической функции во всех ее особых точках, включая бесконечно удаленную точку.
- •Определения устранимой особой точки аналитической функции и их эквивалентность.
- •Определения полюса аналитической функции и их эквивалентность. Порядок полюса.
- •Определение существенно особой точки аналитической функции. Вид ряда Лорана аналитической функции в окрестности се существенно особой точки.
Определения устранимой особой точки аналитической функции и их эквивалентность.
Для n>0 c-n=0; Q(z)=0; f(z)c0 при z z0- устранимая особая точка. z0 - правильная точка f(z). Если функция не определена в точке z 0 , то ее можно доопределить по непрерывности, положив f(z 0)=c0 . В окрестности устранимой особой точки 0<|z-z 0|< (z0) : | f(z)|<M и f(z)=(z-z 0)m (z), m 0- целое, (z0) 0; и если f(z)=0, то z 0 - нуль m- того порядка. Теорема Если f(z) C(0<|z-z0|< (z0 )) и |f(z)|<M при 0<|z-с|< (z0 ), то z 0 - устранимая особая точка. Доказательство. Разложим f(z) в ряд Лорана и рассмотрим выражение для коэффициентов главной части. cn= , n>0. В качестве контура интегрирования выберем круг с центром в точке z 0 и радиуса : | -z0|= . Тогда , сделав замену -z0= ei , d =i ei d и учтя, что |e in |=1, получим оценку: |c -n|< M n-1 0 при 0. Т.к. значения c -n не зависят от , то c -n=0.
Определения полюса аналитической функции и их эквивалентность. Порядок полюса.
Ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки содержит конечное число членов с отрицательными степенями; Q(z)= ; c-m0. f(z) при z z0- п олюс порядка m, f(z)= ; (z0)0 Теорема Если f(z)C(0<|z-z0|< (z0)), z0 - изолированная особая точка f(z) и |f(z)|=>при z z0 (независимо от способа стремления z к z 0 ), то z 0 - полюс f(z). Доказательство. |f(z)|=> при z z0 => для A>0 : 0<|z-z0|< , |f(z)|>A; Рассмотрим g(z)=1/f(z); g(z) C(0<|z-z0|< ); |g(z)|<1/A=M => z0 - устранимая особая точка g(z) (по Теореме 16.1) ; => g(z)=(z-z0)m (z), m0 , (z0) 0 => f(z)= ; (z0)0
Определение существенно особой точки аналитической функции. Вид ряда Лорана аналитической функции в окрестности се существенно особой точки.
Точка z 0 называется существенно особой точкой функции f(z), если ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки z 0 содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями разности (z-z 0 ). (Бесконечное число коэффициентов c-n 0). Поведение аналитической функции в окрестности существенно особой точки описывается следующей теоремой. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса Для комплексного числа B и >0, в - окрестности существенно особой точки z 0 0<|z-z0|< z1: |f(z1)-B|< . Доказательство . (От противного) Пусть такие 0 и 0: для z 0<|z-z0|< 0; |f(z)-B|> 0. Рассмотрим g(z)=1/[f(z)-B]=> |g(z)|=1/|f(z)-B|<1/ 0=M. => z0 - устранимая особая точка g(z) (по Теореме 16.1); => g(z)=(z-z0)m (z), m0 , (z0) 0 => f(z)=B+ ; (z0)0 => z0- полюс f(z) m0, или правильная точка при m=0. Получили противоречие. Замечание 1. { n}0 =>{z(n)1}z0. {f(z(n)1)}B=> в окрестности существенно особой точки можно выбрать {z(n)1}z0 такую, что {f(z(n)1)} сходится к наперед заданному числу.
Поведение аналитической функции в окрестности бесконечно удаленной точки.
Вычет аналитической функции в ее изолированной особой точке, в том числе в бесконечно удаленной точке. Формула для нахождения вычета в полюсе.
Пусть z0 - изолированная особая точка аналитической f(z). f(z)=cn(z-z0)n; 0<|z-z0|< r, cn=. Определение . Комплексное число Выч[f(z),z0]=, где С + - замкнутый контур, который можно стянуть к z 0 , оставаясь в кольце аналитичности функции f(z)- называется вычетом f(z) в точке z 0. Очевидно Выч [f(z),z0]=c-1.
Формулы вычисления Выч [f(z),z0] в полюсе. a) z0- устранимая особая точка . Выч [f(z),z0]=0. b) z0 - полюс порядка m>0 . f(z)=c-m/(z-z0)m+...+ c-1/z-z0+c0+... => => (z-z0)mf(z)= c-m+...+ c-1(z-z0)m-1+...=> Выч [f(z),z0]=c-1= . Частный случай m=1. Выч [f(z),z0]=c-1= . Если f(z)= (z)/ (z), (z0)0, (z)=(z-z0) '(z0)+...; '(z0)0. Тогда Выч [f(z),z0]=c-1= (z0)/ '(z0). c) z0- существенно особая: Выч [f(z),z0]= c-1= Вычет f(z) в z Вычет f(z) в z. Выч [f(z),z]=-=-c-1. Если z- устранимая особая точка, то вычет в ней может быть отличен от 0.