- •Доказать необходимый признак сходимости числового ряда. Доказать критерий Коши сходимости числового ряда. Доказать расходимость гармонического ряда.
- •Доказать признак Даламбера сходимости и расходимости знакоположительных числовых рядов.
- •Доказать признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Оценка суммы и остатка ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница.
- •Абсолютная и условная сходимости знакопеременных рядов. Доказать теорему о сходимости знакопеременного ряда, ряд из модулей членов которого сходится.
- •Равномерная сходимость функционального ряда. Доказать признак Вейер-штраеса
- •Степенные ряды с комплексными членами. Доказать теорему Абеля. Круг сходимости и правило его нахождения. Поведение ряда на окружности круга сходимости.
- •Сформулировать свойства степенного ряда в с.
- •Определение аналитической функции в точке (в области).
- •Действительная и мнимая части аналитической функции z как сопряженные гармонические функции. Нахождение аналитической функции по ее действительной (мнимой) части.
- •Дать определение интеграла от непрерывной функции комплексного переменного и сформулировать его основные свойства.
- •Доказать теорему Коши для одно- и многосвязных областей.
- •Первообразная аналитической функции. Вывести формулу Ньютона-Лейбница для аналитической функции.
- •Доказать основную теорему о вычетах. Доказать теорему о сумме вычетов аналитической функции во всех ее особых точках, включая бесконечно удаленную точку.
- •Определения устранимой особой точки аналитической функции и их эквивалентность.
- •Определения полюса аналитической функции и их эквивалентность. Порядок полюса.
- •Определение существенно особой точки аналитической функции. Вид ряда Лорана аналитической функции в окрестности се существенно особой точки.
Доказать признак Даламбера сходимости и расходимости знакоположительных числовых рядов.
Теорема Признак Даламбера
Пусть дан знакоположительный числовой ряд
(7) и пусть существует предел При p<1 ряд (7) сходится, при p>1 ряд (7) расходится.
Доказательство. По условию существует предел . Это означает, что для любого положительного числа Е существует такой номер N, что для всех номеров n³N выполняется условиеили
p-E< (10)
Пусть сначала p<1. Выберем Е так, что p+E=q<1. Для всех n³N имеем … или
или (11)
Рассмотрим ряды
(12)
. (13)
Ряд (13) сходится, так как он является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Тогда ряд (12) сходится, учитывая (11), по признаку сравнения. Ряд (7) сходится по теореме 1.
Пусть теперь p>1. Выберем Е так, что p-E>1. Тогда из левой части неравенства (10) следует, что при n³N выполняется или un+1>un, то есть члены ряда возрастают с возрастанием номера n. Поэтому un¹0, следовательно, ряд расходится по следствию из необходимого признака сходимости. Теорема доказана.
Доказать признак Коши (с радикалом) сходимости и расходимости знакополо-жительных числовых рядов. .
Признак Коши. Если начиная с некоторого N ≤L<1 для n ≥ N, то ряд |ak| сходится. Если начиная с некоторого N ≥ 1 для n≥N, то ряд ak расходится. Признак Коши в предельной форме. Если =L, то при L<1 ряд |ak| сходится,при L>1 рядak расходится,при L=1 ничего сказать нельзя. Доказательство. Если L<1, то L<1-2 =>L+ <1-. Т.к. =L, то N: L- <<L+ <1- =q<1, n ≥ N, q<1=>|an|<qn, т.е. ряд мажорируется геометрической прогрессией со знаменателем q<1. Аналогично доказывается расходимость ряда при L>1.
Доказать интегральный признак Коши сходимости и расходимости числовых знакоположительных рядов. Ряды Дирихле.
Теорема . (Интегральный признак Коши)
Пусть члены знакоположительного числового ряда u1+u2+…+un… (7) не возрастают: u1³u2≥…≥un≥… и пусть f(x) такая положительная, непрерывная, невозрастающая на промежутке [1;∞) функция, что f(1)=u1, f(2)= u2 ,…, f(n)= =un,… . Тогда ряд (7) сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом
Доказательство. Построим график функции y=f(x) на отрезке [1;n] и построим прямоугольник с основаниями [1;2], [2;3], …, [n-1;n] и высотами u1,u2,…,un-1, а также с высотами u2,u3,…,un.
Sn=u1+u2+…+un-1+un, Sвпис=u2.1+u3.1+…+un.1=u2+u3+…+un=Sn-u1,
Sопис=u1+u2+…+ +un-1=Sn-un.
Площадь криволинейной трапеции S=. Получаем Sn-u1<< Sn-un. Отсюда Sn<u1+(17)
и Sn>un+(18)
Пусть сходится. Это означает, что существует конечный предел =Y. Соотношение (17) принимает вид: Sn<u1+Y при любом n. Это означает, что последовательность частичных сумм Sn ряда (7) ограничена и, следовательно, ряд (7) сходится. Пусть расходится. Это означает, что =∞ и тогда из (18) следует, что последовательность частичных сумм Sn ряда (7) неограничена и, следовательно, ряд (7) расходится. Теорема доказана.
Дирихле ряды, функциональные ряды вида
(здесь an — коэффициенты Д. р., a s = s + it — комплексное переменное).Например, ряд
представляет для s > 1 дзета-функцию. Теория Д. р. возникла первоначально под большим влиянием аналитической теории чисел. Впоследствии она развилась в обширную главу теории аналитических функций.
Где ζ(s) — дзета-функция Римана.