Доказать теорему Коши для одно- и многосвязных областей.

Теорема Коши. Если f(z) C (g), в односвязной области g, то для "замкнутого контура g g f(z)dz =0. Доказательство. f(z)dz= udx-vdy+i vdx+udy= (по формуле Грина) = (-vx-uy)dxdy+i(ux-vy)dxdy= (из условия Коши-Римана : ux=vy; uy=-vx = (uy-uy)dxdy+i(vy-vy)dxdy=0. n

Теорема Пусть f(z)  C∞ (g), g-многосвязная, ограниченная извне контуром C0, а изнутри- контурами C1, C2,...,Cn и пусть f(z) C∞ (). Тогда f(z)dz =0,  где С-полная граница g, С= C0 U C1 U C2 U...U Cn, проходящая в положительном направлении.

Доказательство. Проведем гладкие кривые g 1,g2,...,gn, соединяющие контур C0 с контурами C1, C2,...,Cn и не пересекающиеся между собой . Тогда область, ограниченная кривыми C0,C1,C2,...,Cn и кривыми g1,g2,...,gn, проходимыми дважды в противоположных направлениях оказывается односвязной. По II теореме Коши интеграл по границе этой области равен 0. Но интегралы по вспомогательным кривым g1,g2,...,gn проходятся дважды в противоположных направлениях и при суммировании интегралов выпадают. Поэтому

Первообразная аналитической функции. Вывести формулу Ньютона-Лейбница для аналитической функции.

Понятие первообразной. Пусть f(z)  C(g). Тогда первообразной F(z) функции f(z) в g называется  F(z)  C∞ (g) такая, что F '(z)=f(z). Замечания. 1) Неопределенный интеграл F(z) в односвязной области g- первообразная f(z). 2) Если  первообразная F(z), то их  бесконечно много, но все они различаются на аддитивную постоянную F'₁(z)- F'₂(z)=0 => F₁(z)=F₂(z)+C. 3) Формула Ньютона-Лейбница. Если g-односвязная и и f(z) C(g) и для   замкнутого контура  g  интеграл  f(z)dz =0, то=F(z₂)-F(z₁); где F-  первообразная. 4) Формула конечных приращений, вообще гооворя не верна. f(b)-f(a)=(b-a)f'(x^*); x^*  (a,b). 5) Формула Коши-Адамара. Пусть g- односвязная и f(z) C (g) и для  замкнутого контура  g  интеграл  f'( )d =0; f(z)- первообразная f '(z) => =f(z+ z)-f(z). В качестве пути интегрирования возьмем прямолинейный отрезок, соединяющий z и z+ z:  =z+ z ; 0≤≤ 1; d = zd . Получим:f(z+ z)-f(z)= z - формула Коши-Адамара.

Доказать основную теорему о вычетах. Доказать теорему о сумме вычетов аналитической функции во всех ее особых точках, включая бесконечно удаленную точку.

Основная теорема теории вычетов. Пусть f(z)C(\z₁,z₂,...,z_N) за исключением конечного числа N изолированных особых точек. Тогда  f(z)dz =2 i Выч [f(z),z_n]. Доказательство.   Если f(z)C(), то все точки  - правильные точки f(z) . Выделим каждую из изолированных особых точек z _n функции f(z) замкнутым контуром _n, не содержащих внутри других особых точек, кроме z _n. В замкнутой многосвязной области, ограниченной и всеми контурами _n   f(z) является всюду аналитической. По теореме Коши для многосвязной области f(z)dz+f(z)dz =0. Перенеся второе слагаемое направо, поменяв направление обхода контуров, использовав определение вычета получим искомое

  f(z)dz =2 i Выч [f(z),z_n].

Доказать бесконечную дифференцируемость аналитической функции и вывести формулу n-ой производной.

Теорема 8.3. При z C F(z) имеет непрерывные n-е производные для  n, причем F(n)(z)=. Доказывается методом математической индукции. Теорема 8.4. (Основная!). Если f(z)C(g), то для  n и  z g  f(n)(z)C (g).

Доказательство. Пусть z0g. Построим замкнутый контур C, содержащий z0, который можно стянуть к z0, оставаясь все время в g. Тогда в силу интегральной формулы Коши f(z0)=, но это интеграл типа Коши =>  f(n)(z0)= => f(n)(z0)C(g) для  z0g . Итак, если функция f(z) является аналитической в g, то у нее в g  непрерывные производные всех порядков

Доказать теорему о разложимости аналитической в круге функции в ряд Тей­лора

Доказать теорему о представлении функции, аналитической в кольце, суммой своего ряда Лорана.

Доказать теорему об эквивалентности различных определений нуля аналитиче­ской функции.

Пусть f(z)C(g); f(z₀)=0, z₀g, тогда  z₀ - нуль аналитической функции . f(z)=c_n(z-z₀)ⁿ => c₀ =0. Если c ₁=…= c_n-1 =0, а c _n 0, то z ₀ - нуль n-того порядка. Заметим, что в нуле n-того порядка f(z₀)=f'(z₀)=… f^(n-1)(z₀)=0, f⁽ⁿ⁾(z₀) 0 и f(z)=(z-z₀)ⁿ f₁(z), f₁(z₀)0. Теорема о нулях аналитической функции. Пусть f(z)C (g) и обращается в 0 в бесконечном множестве различных точек (z _iz_k , все z _n g и f(z _n )=0), имеющем предельную точку (точку сгущения) z ^*g (z_n=z^* g). Тогда f(z)0, для z g. Доказательство. По непрерывности f(z^*)=0 => f(z)=c_n(z-z^*)ⁿ , где |z-z ^*|< (z^*) => c₀ =0, и f(z)=(z-z ^*)f₁(z); f₁(z)= c_n(z-z^*)ⁿ; f₁(z_n )=0=> по непрерывности f ₁(z^*)=0 => c₁ =0 и так далее => c _n =0 для n. Итак f(z)0 в круге |z-z ^*| < (z^* ), где (z^* ) не меньше, чем расстояние от z ^* до . Тождественное равенство f(z)0 во всей области g доказывается аналогично доказательству принципа максимума Достаточно показать, что f(z ^** )=0, где z ^** g - произвольная точка, лежащая вне круга |z-z ^*| < (z^* ). Соединим z ^* и z ^** спрямляемой кривой L, целиком лежащей в g и отстоящей от на расстояние d>0. Поскольку точку круга |z-z ^*|< (z^* ), лежащую внутри g можно рассматривать как предел последовательности нулей функции f(z), то выбрав в качестве нового центра разложения последнюю точку z=z ₁ пересечения кривой L с окружностью |z-z ^*|= (z^* ), получим, что f(z)0 внутри круга |z-z ₁|< (z₁ ), где (z₁) d. Продолжая этот процесс, покроем кривую L конечным числом кругов, радиусов не меньше d, внутри которых f(z)0. При этом точка z=z ^** попадет внутрь последнего круга => f(z ^**) 0. В силу произвольности z ^** => f(z) 0 в g.  Следствия. 1.    Все нули f(z)C (g) и f(z) тождественно 0 в g - изолированные. 2.    Если f(z)C (g) и f(z) тождественно 0 в g, то в ограниченной  ' g может быть лишь конечное число нулей f(z).

Определение изолированной особой точки аналитической функции. Классифика­ции изолированных особых точек аналитической функции.

Изолированная особая точка — точка, в некоторой проколотой окрестности которой функция f(z) однозначна и аналитична, а в самой точке либо не задана, либо не дифференцируема.

Классификация

Если z0 — особая точка для f(z), то, будучи аналитической в некоторой проколотой окрестности этой точки разлагается в ряд Лорана, сходящийся в этой окрестности.

.

Первая часть этого разложения называется правильной частью ряда Лорана, вторая - главной частью ряда Лорана.

Тип особой точки функции определяется по главной части этого разложения.

Устранимая особая точка

Изолированная особая точка z₀ называется устранимой особой точкой функций f(z) если существует конечный предел , где . В таком случае можно доопределить функцию в этой точке значением её предела и получить непрерывную и в этой точке функцию.

Полюс (комплексный анализ)

Изолированная особая точка z0 называется полюсом f(z), если в разложении этой функции в ряд Лорана в проколотой окрестности точки z0 главная часть содержит конечное число отличных от нуля членов, т.е.

, где P(z) — правильная часть ряда Лорана.

Если , то z0 называется полюсом порядка n. Если n = 1, то полюс называется простым.

Существенно особая точка — точка, в которой предел функции не существует.

Интегральная формула Коши. Пусть f(z) C (). Выразим f(z₀)  z₀  g через значения f(z) на . Рассмотрим (z)= C (/z₀). Поэтому, если в области g взять такой замкнутый контур  , чтобы точка z₀ попала внутрь ограниченной им области, то  (z) будет аналитической в двухсвязной области g^*, заключенной между  и  . По теореме Коши для многосвязной области. интеграл от функции (z) по кривой + равен 0: . Т.к. , то . Поскольку интеграл, стоящий слева не зависит от выбора контура, то эти свойством обладает и интеграл, стоящий справа. Удобно в качестве контура интегрирования выбрать окружность _ с центром в точке z₀ и радиуса  . Положив на  _ = z₀+ e^i, d = i e^id , получим f( )d =i[f( )-f(z₀)]d + if(z₀)d =I+2 f(z₀). Оценим I. | I |2|f( )-f(z₀)|. Устремим  0 при этом.  ( ) z₀.Т.к. f(z)- аналитическая, а следовательно непрерывная в g, то для  >0   ( )>0 такое, что |f( )-f(z₀)|<  как только | ( )-z₀|<. А это значит, что при  0   I0. Поскольку левая часть и второе слагаемое правой части не зависят от  , то переходя к пределу в обоих частях, получиминтегральную формулу Коши: f(z₀)=.