2768.Несущая способность и расчёт деталей машин на прочность

и о — напряжение на поверхности пластины в продольном сечении, соот­ ветствующем некоторому значению х.

Действительную эпюру напряжений в окрестности точки 0 апроксимируем плоскостью, касательной к эпюре в дан­ ной точке. Обозначим г = а — и.

Тогда уравнение указанной плоско­ сти

в зоне концентрации (в точке 0); а, 6■— отрезки, отсекаемые плоскостью на осях Ох и Оу.

Очевидно, что h

Рис. 5. Диаграмма для подсчета пре­

делов выносливости деталей, изобра­ женных на рис. 4.

мощью которого по функции распре* деления предела выносливости a_j для пластины высотой h и шириной 6 без концентрации напряжений можно было бы найти функцию распределе* ния предела выносливости а_1к для пластины с иетто-сечением h X 6 при наличии концентрации напряжений.

' (6.Ю) Интеграл J вычисляется по той

Для практического использования целесообразно иметь соотношение, с по­

_ и ~ и ’■

где атах> и amaXi — максимальные на­

пряжения для пластин гладкой и с кон­ центрацией напряжений, соответст­ венно.

Соотношение между £2 и получим, приравнивая правые части уравнений (6.12) и (6.4):

Задавшись некоторым значением bGu

например, bGx = 50, можно вычис­ лить £х= } {12,т)’>графики этой функции для ряда значений т даны на рис. 5.

Аналогично могут быть получены выражения типа (6.14) для элементов с другой формой поперечного еечення.

Уравнение подобия при нормальном распределении величины lg (amax— ы)

Уравнение (6.5) определяет семей­ ство функций распределения пределов выносливости в форме, близкой к рас­ пределению Вейбулла—Гнеденко для элементов с различными значениями

G

деления Вейбулла-Гнеденко в каче­ стве исходного в выражении (6.1) удобно с точки зрения вычисления интеграла (6.3) и получения в явном виде зависимости (6.5). Зависимость (6.5) достаточно хорошо соответствует опытным данным, что показано в рабо­ тах [22, 23, 29]. Помимо функции рас­ пределения Вейбулла—Гнеденко для описания законов распределения пре­ делов выносливости используются так­ же другие законы, в частности нормаль­ ное распределение а_1к и omax [23],

вости по сгтах), нормальное распреде-

ст — и

ление величины lg------- --------[49] (где ^тах

ак — максимальная граница пределов выносливости по отах).

Наиболее удобным, с точки зрения расчета на усталость и достаточно хорошо отвечающим опытным данным, является нормальное распределение отах. Однако вследствие того, что с

уменьшением nd/G среднее квадратич­ ное отклонение Samax растет, линии,

изображающие функции распределе­ ния отах на нормальной вероят­

ностной бумаге в координатах Р—атах>

пересекаются в области весьма малых вероятностей разрушения. Это обсто­ ятельство противоречит представле­ ниям о влиянии величины напряжен­ ных объемов и затрудняет непосред­ ственное использование нормального распределения атач.

Учитывая изложенные соображения, следует отдать предпочтение нормаль­ ному распределению величины х = = lg (am;ix— м). как достаточно хорошо

соответствующему опытным данным и

вместе в тем удобному в расчетах. При этом семейство функций распределения С т а х для образцов с различными отноше­

ниями d/G при изгибе с вращением мо­ жет быть описано с помощью следую­ щего уравнения, имеющего структуру, аналогичную структуре уравнения (6.5) [23]:

(^гпах - и)= А~ в ^ J- + UPS ,

(6.15)

где и — нижняя граница пределов выносливости по сгтах которая пола­

гается общей для элементов с различ­

ными отношениями d/G;

А, В — постоянные для данного мате­ риала величины; х = lg (сттах— и)=

= А — Blgd/G — среднее значение ве­ личины * = lg (сгтах— и); S — сред­

нее квадратичное отклонение величины х; ир — квантиль нормального распре­

деления, соответствующий вероятно­ сти разрушения Р %.

Уравнение (6.15) соответствует слу­ чаю изгиба вращающегося образца круглого поперечного сечения. Для рас­ пространения указанного уравнения на другие формы поперечного сечения и другие виды нагружения представим уравнение (6.15) в виде

' б ( а ш а х - ы) = И + 5 1 б л ) -

В уравнении (6.17) введен обобщенный критерий подобия усталостного разру­

шения , где L — периметр или часть

периметра рабочего сечения элемента. При изгибе вращающихся валов или при растяжении-сжатии элементов кру­ глого поперечного сечения L = nd.

При изгибе в одной плоскости эле­ ментов прямоугольного поперечного сечения L = 2Ь (см. рис. 2).

Методика определения величины L при растяжении-сжатии была пояснена

вгл. 3.

Для достаточно надежного опреде­

ления значений постоянных и, Af , В,

S, входящих в уравнение (6.17), необ­ ходимо проведение усталостных испы­ таний элементов различных размеров

ипри различных уровнях концентра­ ции напряжений в статистическом ас­ пекте. Для этого надо испытать 100— 200 или более элементов каждого типа

ина основе этих испытаний построить полную вероятностную диаграмму уста­ лости Р — о — N. Желательно прове­ дение испытаний не менее 6—8 типов элементов с такими размерами и такой

формы, при которых величина \ g ~ G

изменялась бы по возможности в наи­ более широких пределах (например, от 0до 3—5). По результатам испытаний с помощью методов математической статистики определяются указанные постоянные.

Если усталостные испытания элемен­ тов различных типов проводятся не в статистическом аспекте, а по обычной методике путем испытания 6—8 образ­ цов на всю кривую усталости, То в этом случае можно приближенно полагать (с возможной погрешностью до 10—15%), что найденные значения пределов вы­ носливости отвечают вероятности раз­ рушения, равной 50%. По этим резуль­ татам можно получить приближенную оценку постоянных и, AL, В (величина S

в этом случае не может быть оценена). Для этого следует построить график зависимости величины lg(omax— и) от

lg L/G и определить значения постоян­ ных или по методу наименьших квад­ ратов или графически (что дает обычно весьма близкие результаты).

Величина S в уравнении (6.17) и величина 1/т в уравнении (6.5) определяют рассеяние значений пре­ дела выносливости, выраженного через атах; поэтому между указанными вели­

чинами существует зависимость, кото­ рая может быть установлена на основе следующих соображений.

(^ m a x -u) = ^ i - 5 1 g ^ ;

и

■(стшах, 1 — и) = AL — В lg — -j- 5,

О

откуда

5 = l g Д ? ах’ X~ U ,

где атахи^ атах,1-значения <7тах,

соответствующие вероятности разру­ шения 50% (ир = 0) и 84,1% {ир = 1).

Из уравнения (6.5) следует

lg75o = lg C - ! g a max+ (m + l) lg х

= — lg (1 + yamax)’ окончательно най­

клонение omax. Для сталей обычно ^ашах = °.°3 - 0,07 [23,24] и lg (1 +

цов при изгибе в одной плоскости /см. зависимость (6.21)]

+ %тах)= °-014 °>030Следова­ тельно, в среднем можно принять

На основании анализа опытных дан­ ных можно установить следующие значения величин 5: для сталей S = = 0,045 -г- 0,05; для алюминиевых де­ формируемых сплавов S = 0,05 -т- 0,06. Соответственно величину т можно принять равной: для сталей т = 8-г 9; для легких сплавов т = 6 т 8, Эти значения т можно использовать при определении величины ф по рис. 3 или £2 по по рис. 5.

При обработке результатов устало­ стных испытаний круглых образцов при изгибе в одной плоскости на ос­ нове уравнения (6.17) можно вос­ пользоваться следующими соотноше­ ниями.

Запишем уравнение (6.17) примени­ тельно к плоскому изгибу и к изгибу при вращении в следующем виде:

где £пл и 1 кр имеют тот же смысл, что и в уравнении (6.8); 0 < К < 1 — коэффициент приведения, показываю­ щий, какую часть периметра L = ml следует взять, чтобы по уравнению (6.17) получить предел выносливости круглого образца при изгибе в одной

Величины В lg К, найденные по гра­ фикам рис. 3, представлены на рис. 6 в зависимости от lg (£пл — 1). Так как значения lg (1ПЛ — 1) для реальных деталей практически не выходят за пределы от — 1 до 0, то в указанных пределах криволинейные зависимости могут быть апроксимированы прямыми (штриховые линии на рис. 6). Для т = О

Для других значений т

опытное определение величины еоо затруднено из-за отсуствия резуль­ татов усталостных испытаний гладких валов весьма больших сечений.

Указанное обстоятельство позволяет в первом приближении принять для всех сталей, деформируемых алюми­ ниевых и магниевых сплавов, а также для чугуна с шаровидным графитом воо = 0,5, что существенно упрощает использование на практике уравнения (6.17). Представим уравнение (6.17) в виде

Ig($— ]) = AL~ lgu — B l g ^ + wpS,

Для гладкого лабораторного вращаю­ щегося образца диаметром d0 = 7,5 мм

amax = ° - i; следовательно, lg (£ — 1) =

1 = 0.

18 vo.5a_,

Введя обозначение В = v^, урав­ нение (6.23) можно представить в виде

lg (5 — 1) = —V„ (lg i — ! .946\ -У upS.

при Up = 0, получим

где ст_1д — медианное значение пре­ дела выносливости натурной детали из металла данной плавки.

и vff, определяемой уравнением (6.26) представлены на рис. 25 гл. 3.

Вместотрех постоянных и, AL, В,

входящих в уравнение (6.17), мы теперь имеем три постоянные а_х, Boo, vff, содержащиеся в уравнении (6.26), одну из которых боо принимаем общей для определенной группы металлов (напри­ мер, для сталей, деформируемых алюми­ ниевых и магниевых сплавов и чугунов с шаровидным графитом Воо = 0,5). Постоянная vCT характеризует сте­ пень чувствительности материала к концентрации напряжений и разме­ рам.

Для гладких элементов (без-концент­ рации напряжений) аа = 1, а_1д — = o_id, где a_lrf —предел выносли­ вости гладкого элемента диаметром d. Тогда коэффициент влияния размеров

(6.24)

Постоянная AL, входящая в урав­ нение (6.17), связана с новой постоян­

ной величиной vCT и величиной а_х соотношением

тде ст„г — медианное значение предела выносливости гладкого лабораторного образца диаметра 7,5 мм из металла

ва = -“ ^ и 3 уравнения (6.26) запишем

в виде

(6.27)

Для гладких круглых вращающихся

образцов при изгибе

Уравнение (6.26) хорошо описывает также влияние концентрации напря­ жений.

коэффициент, учитывающий суммар­ ное влияние концентрации напряжении и масштабного фактора, и через Ка —

— 2=llL — эффективный коэффициент

°-1Д концентрации напряжений для детали

диаметром d.

Ka = KoDe0

гладкого элемента такого же диаметра, как и у натурной детали; значение

L/G, стоящее в знаменателе выраже­ ния (6.29), соответствует натурной детали.

Полагая в уравнении (6.17) ат ах= = 2tmax, и = 2 их, и, рассуждая также, как и при выводе уравнения (6.26) получаем зависимость для касательных напряжений

ДД5-ат= 0,5

пределов выносливости натурной дета­ ли и гладкого лабораторного образца диаметром 7,5 мм, из металла данной

плавки, соответственно; а х, Gx —теоре­ тический коэффициент концентрации и относительный градиент касатель­ ного напряжения у дна надреза при кручении, соответственно.

Как показываютопытные данные, зна­ чение vT в уравнении (6.30) отличается отзначения va в уравнении (6.26) VT =

H I ,5ч-2,0)va . Функция F {-jh* vt j .

определяемая уравнением (6.30), сов­ падает с соответствующей функцией определяемой по уравнению (6.26)

Соответствие уравнений (6.24)—(6.31) опытным данным показано в рабо­ тах [9, 11, 23, 28, 29].

Для некоторых материалов, напри­ мер для магниевого литейного сплава, значение Всю= 0,5 может оказаться за­ вышенным.

Уравнения (6.24) и (6.26) переходят

вуравнения

=- v „ A g | - l , 9 4 6 j

и

При значении Воо = 0,5 уравнение (6.32) переходит в уравнение (6.26).

Рассмотрим, в качестве примера, определение постоянных, входящих в уравнение (6.17), для стали 40Х (ав = 202 кгс/мм2). В работах [11, 29] приведены результаты испытаний при изгибе с вращением круглых образцов гладких и с глубокими гиперболи­ ческими надрезами (всего 8 типов). Размеры образцов, а также значения

аа, G и lg L/G приведены в табл. 1. На рис. 9 на нормальной вероятно­ стной бумаге представлены функции распределения долговечности при раз­ личных значениях Птах; при каждом уровне напряжений испытывалось по 20—25 образцов (для образцов № 4