ГЛАВА 3. КИНЕМАТИКА НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ

3.1. У р а в н е н и е О р о в а н а

Рассмотрим монокристалл, ориентированный на одиночное скольжение краевых дислокаций в направлении оси xi в плоскости х\Ох^ (единичная нормаль п ориентирована вдоль оси Охг). Размеры кристал­ ла вдоль осей *1, Х2 и хз обозначим соответственно через а\, аз и аз. Тогда прохождение одиночной дислокации с вектором Бюргерса b при­ водит к сдвигу одной части кристалла относительно другой (в направ­ лении оси xi), величина которого может быть приближенно (в среднем) оценена сдвиговой деформацией:

у = arctg Ъ ) ъ а.2 J а2

Если дислокация «прошла» лишь некоторую часть Аа\ кристалла вдоль оси xi, то можно принять, что сдвиг составляет часть Аа\/а\ от введенного выше. Тогда, вводя среднюю длину свободного пробега дислокаций X и полагая, что подвижными являются п дислокаций дан­ ной системы скольжения, величину сдвига можно определить следую­ щим соотношением:

р = паз!{а\агаз) —п!{а\аг)). Соотношение (3.1) может быть записано для любой к-й системы скольжения:

Как известно, плотность дислокаций в металлах меняется в широких пределахот 1 0 - 1 0 см в отожженных кристаллах до 10 —10 см в сильно деформированных. Существуют специальные способы термооб­ работки, позволяющие снизить плотность дислокаций до 103 см-2.

Принимая плотность дислокаций постоянной и дифференцируя соотношение (3.2), можно для каждой системы скольжения получить выражение для скорости сдвига (уравнение Орована):

Таблица 3.1

Системы скольжения (СС) и двойникования (СД) ГПУ-кристаллов

обоснования. Действительно, такая замена означает, что при активиза­

ции реально существующей в кристалле к-Vi СС п(*)Ь(*) ( активиру­

ется также другая СС с нормалью b(i) и направлением скольжения nw, которая в реальном кристалле может отсутствовать, в чем нетрудно убедиться, например, для ГЦК-кристаллов. Тем не менее в известных авторам работах симметризация используется всегда. Как представляет­ ся, данное обстоятельство связано с трудностями применения несим­ метричных мер деформированного и напряженного состояния, прежде всего - с отсутствием экспериментальных данных о (несимметричных) компонентах тензора упругих характеристик. Заметим, что в некоторых работах указанная симметризация осуществляется неявным образом, т.е. в законе Шмида и выражении неупругой составляющей тензора де­ формации скорости применяется несимметричный ориентационный тензор, но затем используется симметричный (по индексам первой и второй пар) тензор упругих характеристик п в законе Гука.

Условие (3.5), как отмечено выше, обычно называется законом Шмида, устанавливающим момент начала неупругого деформирования при достижении в системе скольжения критического значения каса­ тельного напряжения. При реализации (3.5) в одной системе скольже­

ния говорят об одиночном скольжении; если кристалл подвергается на­ гружению, при котором дислокации начинают скользить в двух или бо­ лее системах, то говорят о двойном или множественном скольжении. При наличии К активных систем скольжения (т.е. СС, для которых удовлетворяется закон Шмида (3.5)) в произвольный момент деформи­ рования девиатор пластической составляющей тензора деформации скорости определяется соотношением

Лг=1

где у(к) ~ скорость сдвига в к-й СС.

Переползание

Как было отмечено выше, краевые дислокации могут испытывать локальные смещения в плоскости скольжения в направлении вектора Бюргерса, такое движения называется скольжением (или консерватив­ ным движением) краевых дислокаций. Однако возможно смещение дис­ локации перпендикулярно вектору Бюргерса в соседнюю плоскость скольжения. При таком движении необходимо устранить ряд атомов, образующих край экстраплоскости. Это может произойти путем диффу­ зии этих атомов в междоузлия или вакансий на эти места [56]. Такой процесс получил название переползания (неконсервативного движения) дислокаций, и его осуществление в значительной степени обусловлено термической активацией.

Заметим, что в случае винтовой дислокации «лишней» полуплос­ кости атомов нет, поэтому она может свободно скользить по любой плоскости, которая содержит линию дислокации и вектор Бюргерса.

В общем случае скольжения и переползания краевых и движения винтовых дислокаций выражение для девиатора деформаций скорости имеет вид [30]:

где G - тензор (третьего ранга) Леви-Чивита, N - тензор третьего ран­ га, определяемый соотношением

Таким образом, двойникование может рассматриваться как «псев­ доскольжение» со скоростью «двойникового» сдвига /уп1, и ориентаци­ онным тензором t = bm,nmi. Для каждой fc-й системы двойникования вве­

дем обозначение симметричного ориентационного тензора в акту­ альной конфигурации:

Неупругую составляющую тензора деформации скорости, связан­ ную с двойникованием, можно записать в виде, аналогичном (3 .6 ):

к

Условием активации к-й системы двойникования является дости­ жение касательного напряжения в ней некоторого критического напря­ жения т(с*>, условие записывается в виде, аналогичном закону Шмида (3.1.1):

Приведенное соотношение позволяют включить двойникование в физические теории пластичности наряду с деформированием сколь­ жением дислокаций.

3.3. С т а т и с ти ч ес к и н а к о п л ен н ы е и гео м е т ри ч е с к и

НЕОБХОДИМЫЕ ДИСЛОКАЦИИ, ИЗГИБЫ-КРУЧЕНИЯ РЕШЕТКИ

В пионерских работах по физическим теориям дислокации раз­ личных знаков полагались равномерно распределенными по разным СС кристаллита; плотность дислокаций увеличивается с ростом неупругой деформации, дислокации вступают во взаимодействие, начинают обра­ зовывать различные субструктуры; однако часть дислокаций и при зна­ чительных деформациях примерно однородно распределена по кристал­ литам. Такие дислокации позднее стали называться «статистически на­ копленными дислокациями» (СНД). Однако при деформировании дислокации могут накапливаться перед различными препятствиями,

взависимости от процесса деформирования в различных областях кри­ сталлитов могут превалировать дислокации того или иного знака («из­ быточные дислокации»). С позиций кинематики появление такого неод­ нородного распределения дислокаций разных знаков объясняется необ­ ходимостью сохранения сплошности материала при наличии градиентов деформаций. Дислокации, образующие подобные неоднородные поля,

всовременных физических теориях пластичности называются «геомет­ рически необходимыми» (ГНД). Детальное рассмотрение теории гео­ метрически необходимых дислокаций, определение тензора их плотно­ сти через f p и градиент f p в отсчетной конфигурации содержатся в [81]. В цитируемой работе отмечается, что наряду со «статистически накоп­ ленными дислокациями» (СНД) [66], являющимися следствием однород­ ного пластического деформирования, вблизи областей неоднородности пластических сдвигов (например, в окрестности границ зерен) появляются дислокационные субструктуры типа стенок дислокаций, дислокационных ячеек и т.д., которые должны обеспечить совместность деформации ре­ шетки и обеспечить искривления —кручения решетки, которые и назы­ ваются «геометрически необходимыми дислокациями».

Понятно, что в случае возникновения неоднородностей пластической

деформации теории первого порядка не позволяют адекватно описать ис­ следуемые процессы, в связи с чем в этих случаях требуется применение моделей обобщенных континуумов. Например, предлагаемая в статье [90] градиентная модель основана на указанной концепции «геометрически не­ обходимых дислокаций». В соответствии с данной концепцией авторы представляют поликристалл совокупностью двух «фаз» - примерно одно­ родно деформируемых «ядра» зерен и бикристаллических зон, модели­ рующих участки границы каждого из зерен. В качестве основы для описа­ ния поведения «зон однородности» принята упруговязкопластическая мо­ дель [ПО], основанная на мультипликативном разложении Ли, изотропном гиперупругом законе, в котором в качестве мер напряженного и деформи­ рованного состояния выбраны соответственно второй тензор ПиолаКирхгоффа и тензор деформаций Коши-Грина, определенные в терминах промежуточной (разгруженной) конфигурации.

Основное отличие от известных моделей кристаллов заключается в упомянутой выше «двухфазности» материала. Поликристалл пред­ ставляется совокупностью «ядер» зерен и приграничных областейбикристаллов. При этом бикристаллические зоны подразделяются на две подобласти —«внутреннюю» и «внешнюю» (для каждого зерна), ка­

ждая из этих подобластей «наследует» ориентацию систем скольжения зерен, примыкающих к моделируемому участку границы. На границе подобластей задаются дополнительные условия совместности по гради­ ентам места и напряжениям. Полные деформации в «ядре» зерен и осредненные деформации в каждом би-кристалле полагаются равными осредненным деформациям (т.е. принята гипотеза Фойгта).

Напряжения в зерне определяются осреднением по объему «ядра»

ибикристаллов, окружающих зерно (с учетом объемной доли «ядра»

ибикристаллической границы). В представительном объеме напряже­ ния определяются осреднением по совокупности зерен (сумма напряже­ ний в зернах, деленная на число зерен, составляющих представитель­ ный объем). Полагается, что ГНД накапливаются с ростом деформации во внутренней части бикристаллов, их плотность определяется разно­ стью пластических составляющих градиентов места в ядре и внутренней части бикристаллов. Появление ГНД связывают с дополнительным (по отношению к увеличению критических напряжений за счет СНД) уп­ рочнением систем скольжения. Предлагаемая модель использована для анализа одноосного растяжения образца с акцентом на проверку справед­ ливости соотношения Холла-Петча. Результаты расчетов по предлагаемой модели сопоставлялись с теоретическими результатами прямого конечно­ элементного моделирования и экспериментальными данными для поли­ кристаллической меди со средним размером зерна 14, 33 и 220 мкм, пока­ зано их хорошее соответствие. Дальнейшее развитие данной модели на двухфазный материал (суперсплав на основе никеля) содержится в ра­

боте [167].

Построению физической теории, учитывающей наличие в дефор­ мируемом кристалле дислокаций двух типов - СНД и ГНД и основан­ ной на термодинамическом подходе, посвящена работа [163]. Рассмат­ ривается случай малых градиентов перемещений, в силу чего системы скольжения полагаются фиксированными в отсчетной конфигурации. Наряду с мультипликативным разложением градиента места, скоростью пластической составляющей последнего, выраженной через скорости сдвига по СС, используются ротор и скорость ротора пластической со­ ставляющей градиента места, выражаемой линейной функцией скорости сдвигов и градиента скорости сдвигов. Вводится эволюционное уравне­ ние для скорости суммарной (СНД+ГНД) плотности дислокаций, ско­ рость изменения которой также представляется квазилинейной функци­ ей скоростей сдвига и градиентов скоростей сдвига. Предлагается об­

щая форма конститутивного соотношения, согласно которой отклик ма­ териала (например, тензор напряжений или свободная энергия) опреде­ ляется независящей от выбора системы отсчета функцией температуры, тензора деформаций Коши-Грина, плотности дислокаций, градиента температуры, скорости сдвигов и градиента скорости сдвигов.

Рассматриваются два метода вывода балансовых и конститутив­ ных соотношений, основанных на термодинамическом подходе (в обоих используется неравенство Клаузиуса-Дюгема). В первом из них, на­ званном моделью обобщенных внутренних переменных, сдвиги и гра­ диенты сдвигов вводятся в уравнение баланса энергии и энтропии неяв­ ным образом через зависимость свободной энергии от указанных пара­ метров. Во втором методе, названном «Модели внутренних степеней свободы», скорости сдвигов явным образом вводятся в выражение для скорости изменения полной энергии и энтропии, при этом появляется необходимость в определении дополнительных параметров, сопряжен­ ных с новыми степенями свободы.

Предлагаются два способа определения плотности ГНД. В первом из них, называемом моделью системы скольжения, векторная мера плотности ГНД определяется для систем скольжения через градиенты сдвигов по ним. Во втором способе, названном континуальным, вектор­ ная мера плотности ГНД вводится через ротор пластической состав­ ляющей градиента места. Для каждого из этих способов получены эво­ люционные уравнения для скорости изменения меры ГНД. В дальней­ шем плотности СНД и ГНД вводятся в качестве аргументов функции свободной энергии; установленные эволюционные уравнения для СНД и ГНД вводятся в структуру полученных на основе термодинамического подхода эволюционных и конститутивных уравнений. Для замыкания полученной системы уравнений требуется дополнительное соотноше­ ние, не вытекающее из термодинамики; в качестве такого уравнения ис­ пользуется экспоненциальная зависимость скоростей сдвигов по СС от энергии активации Гиббса и температуры. Описан алгоритм включения предлагаемых моделей в конечно-элементную процедуру.

Вариант градиентной модели вязкопластичности предложен в рабо­ те [100]. В мультипликативное разложение градиента места авторами вводится промежуточный член Г, переводящий пластически деформиро­ ванную конфигурацию в промежуточную (разгруженную), f = f e f s f p Указанный член разложения связан с наличием ГНД и определяется по

где o(S) - симметричная часть тензора напряжений Коши, ю —вектор скорости «материального поворота» (вектор, ассоциированный с тензо­ ром вихря W), х = VtoT, t - вектор поверхностных сил, ц - вектор по­ верхностных моментов. Для понижения порядка аппроксимации пред­ лагается модификация уравнения (3.15), в которое вводится добавочный поверхностный интеграл, позволяющий учесть разрывы в моментных напряжениях на границах элементов. Приведен вывод конечно­ элементных соотношений. Отдельный раздел посвящен определяющим соотношениям для ротационной моды, в качестве которого предлагается линейное уравнение, связывающее тензоры моментных напряжений и скорости кривизны-кручения:

КХе

кручения полагаются связанными линейным соотношением ре = С %е.

С использованием предлагаемой модели решены задачи исследо­ вания поведения моно- и бикристалла с ГЦК-решетками при осадке в условиях плоскодеформированного состояния. Расчеты проводились как с учетом моментных напряжений, так и без них; во втором случае проведено сопоставление с моделью Бишопа-Хилла; отмечается, что при уменьшении показателя скоростной чувствительности вязкопласти­ ческой модели результаты приближаются к полученным по жесткопла­ стической модели (Бишопа-Хилла). Показано, что учет ротационной моды и моментных напряжений существенно влияет на форму свобод­ ной поверхности образца (особенно вблизи контактной поверхности и поверхности раздела в бикристалле) и на зависимость нагрузки от де­ формации.

К данному направлению относится работа [128]. Отмечается, что основанные на однородности деформирования (сдвигом) модели и свя­ занной этим однородности распределения дислокаций в системах скольжения оказываются недостаточно адекватными при описании по­ ведения материала на более малых масштабах. Для описания локальных

искажений (кривизн-кручений) кристаллической решетки требуется введение неоднородных дислокационных субструктур, которые авторы также относят к ГНД. В связи с этим приведенная в [127] модель моди­ фицируется введением дополнительной внутренней переменной - тен­ зора плотности геометрически необходимых дислокаций и кинетиче­ ского уравнения для неё, определяющего скорость изменения тензора ГНД через градиент скорости сдвигов. Последнее при использовании предлагаемой модели совместно с конечно-элементным пакетом требу­ ет в каждой гауссовой точке интегрирования вычисления указанных градиентов, что существенно усложняет процедуру интегрирования, в связи с чем значительная часть работы посвящена описанию предла­ гаемого авторами эффективного алгоритма интегрирования. Разрабо­ танный алгоритм встроен в коммерческий конечно-элементный пакет MSC.Marc200x и использован для анализа деформирования простым сдвигом монокристаллического алюминиевого образца. Сопоставление результатов расчета (кривые сдвиговые напряжения - сдвиговые деформа­ ции, интенсивности деформаций на боковой поверхности образца; сдвиго­ вая деформация - до 55 %) с полученными авторами экспериментальными данными показывают хорошее соответствие. Для анализа влияния мас­ штабного фактора проведены расчеты для образцов с уменьшенной высо­ той (1/2 и 1/10 от исходного); показано, что с уменьшением высоты образ­ ца повышаются сдвиговые напряжения и существенно изменяются поля плотности дислокаций и разориентаций решетки.

В статье [129], являющейся развитием рассмотренных выше работ авторов, отмечается важность учета в моделях поликристаллов границ зерен, которые могут служить мощными препятствиями для мобильных внутризеренных (решеточных) дислокаций. Предполагается, что под­ вижные дислокации могут пересекать границу зерен, оставляя в ней дислокацию ориентационного несоответствия (ДОП), параметры кото­ рой авторы предлагают определять из условия минимума энергии ДОН. Для моделирования влияния границ предлагается использовать, как и для внутренности зерен, вязкопластическую модель с дополнительной энергией активации, пропорциональной энергии образования ДОН. Для численной реализации модели также применяется конечно-элементный пакет MSC.Marc200x и специальные элементы для учета границ зерен.

Разработанная модель применена для анализа процесса деформи­ рования бикристалла с ГЦК-решеткой (алюминий) для трех разориентировок (авторы называют их «малой», «средней» и «большой»). В про­

веденных экспериментах и численных расчетах (простой сдвиг до 50 %) показано, что по мере увеличения разориентировок возрастает неодно­ родность интенсивности деформаций в кристаллах, составляющих бик­ ристалл, что обусловлено возрастающим сопротивлением движению дислокаций границы кристаллов. Сопоставление результатов экспери­ ментально измеренных на боковой поверхности образца интенсивно­ стей деформаций и ориентировок с данными расчетов показывает хо­ рошее соответствие.

В статье [130] рассматривается модификация предложенной автора­ ми модели [128, 129] для описания поведения моно- и поликристаллов с ОЦК-решеткой. В отличие от ГЦК-кристаллов, где барьер Пайерлса мал по сравнению с сопротивлением дислокаций леса движению мобильных дислокаций, для ОЦК-кристаллов, напротив, можно пренебречь напряже­ ниями от леса дислокаций в сравнении с напряжением Пайерлса; в осталь­ ном модель не отличается от изложенной в цитируемых выше работах. Модифицированная модель использована для анализа деформирования бикристалла ниобия при выдавливании образца через прямоугольную мат­ рицу. Результаты расчетов сопоставляются с данными проведенных авто­ рами экспериментов. Отмечается, что лучшее соответствие достигается при использовании для ОЦК-решетки в качестве потенциально активных систем скольжения <111>, {110} и <111>, {112}.

3.4. Р о т а ц и о н н ы е м о д ы д е ф о р м и р о в а н и я ,

МОДЕЛИ РОТАЦИИ

В работах В.Е. Панина, В.В. Рыбина указывается, что существен­ ную роль в инициации поворотов решетки играет несовместность скольжения дислокаций в соседних зернах. Действительно, в реальном поликристалле происходит достаточно сложный процесс: при больших деформациях появляются субзерна, фрагменты, которые начинают раз­ ворачиваться, начиная от границ с соседними зернами. Активируется так называемая ротационная мода пластичности [34]: «Вследствие несо­ вместности пластической деформации в граничащих зернах возникают внутренние напряжения, активизирующие новые (аккомодационные) СС. В стыках фасеток зерен возникают разориентировки участков зерна, примыкающих к разным фасеткам (т.е. возникает стыковая дисклинация). Далее стыковая дисклинация распространяется в тело зерна, т.е.

превращается в обычную дисклинацию, образующую новую границу разориентации (границу фрагмента). С этой границей вновь взаимодей­ ствуют решеточные дислокации, вновь образуются стыковые дисклинации и т.д. Таким образом, процесс фрагментации начинается с границ зерен и постепенно распространяется в глубь зерен».

Разумеется, детальное описание столь сложной физики процесса на настоящем этапе вряд ли возможно, так как требуется введение еще одного масштабного уровня, внутренних переменных на нем, эволюци­ онных уравнений для внутренних переменных на основе анализа дейст­ вующих механизмов. Как правило, в многоуровневых моделях в рамках принятого ограничения иерархии масштабных уровней повороты ре­ шетки описываются интегрально по зернам (по существу, при больших деформациях под зернами надо понимать «эффективные» зерна со средними по объему зерна характеристиками), однако предпринимается попытка более детального учета физики процесса. С этой целью пово­ рот решетки (эволюция ортогонального тензора, связывающего КСК и ЛСК) представляется суммой двух составляющих: поворота решетки зерна в предположении его изолированности (далее этот поворот назы­ вается «материальным», который определяется ортогональным тензо­ ром, сопровождающим упругую деформацию) и поворота только ре­ шетки зерна при сохранении конфигурации зерен в физическом про­ странстве («решеточной» поворот), движущая сила этого поворота - несовместность движения дислокаций в соседних зернах.

Модели ротации решетки

Наиболее популярными моделями поворота решетки являются модель стесненного поворота Тейлора, определяющая спин решетки как разность тензора вихря и антисимметричной части тензора пластиче­ ских сдвигов, и модель, связывающая поворот решетки с материальным поворотом, определяемым ортогональным тензором, сопровождающим упругую деформацию.

Стесненный поворот по Тейлору

Согласно модели стесненного поворота Тейлора в современной интерпретации [178] градиент скорости перемещений на мезоуровне (уровне зерна) представляется в виде:

(3.17)

где V - оператор Гамильтона, определенный в актуальной конфигура­ ции, со, - антисимметричный тензор спина решетки зерна, остальные величины определены выше. Соотношение (3.17) предполагает для свя­ зи моделей мезо- и макроуровней (вместо первоначально используемой самим Тейлором [164] гипотезы однородности деформаций (гипотезы Фойгта)) использование «расширенной» гипотезы Фойгта, устанавли­ вающей однородность градиентов скоростей перемещений 1 = L . В силу того, что в рамках этой гипотезы материал полагается «стесненным» (деформации зерен ограничены соседями), модель Тейлора часто назы­ вают «полностью стесненной».

С учетом 1 = L из соотношения (3.17) тензор спина решетки зерна со, можно выразить следующим образом:

(3.18)

(=1

Отметим, что первоначально модель поворота решетки Тейлора была предложена для жесткопластической модели внутризеренного деформирования, поэтому анализ (3.18) Логично провести для такой модели. Тогда при отсутствии скольжения дислокаций деформирова­ ние отсутствует, вращение решетки зерна согласно (3.18) описывается тензором вихря tot = w —зерно вращается как жесткое тело, что соот­

ветствует представлению движения согласно теореме Коши-Гельм­ гольца [31].

Модель «материального» поворота

Другим популярным для описания Поворотов решетки является следующий подход: для описания кинематики используется мультипли­ кативное разложение Ли градиента места, Поворот решетки связывается с материальным поворотом, который определяется ортогональным тен­ зором ге, сопровождающим упругую деформацию.

Отметим, что при использовании данной модели, как и при ис­ пользовании модели стесненного поворота Тейлора, принимается «рас­ ширенная» гипотеза Фойгта, предполагающая однородность градиентов деформации f = F (градиентов скоростей перемещений 1 = L ).

Градиент деформации F (транспонированный градиент места), ли­ нейно связывающий материальные отрезки dR в отсчетной Ко и d r в текущей К, конфигурациях (dr = F • dR ) представляется мультиплика­ тивным разложением упругой и пластической составляющих градиента деформации [31]:

где R , r, r x - радиус-векторы частицы в отсчетной Ко, актуальной К, и

промежуточной (разгруженной) Кх конфигурациях (последняя получа­ ется из текущей разгрузкой до достижения нулевых напряжений), Vх - оператор Гамильтона, определенный в Кх; аналогичные соотношения справедливы на мезоуровне.

Упругая составляющая градиента деформации мезоуровня fe представляется в виде полярного разложения

Материальный поворот связывают с ортогональным тензором ге, сопровождающим упругую деформацию (называемым также тензором ротации). Пластическая составляющая градиента деформации определя­ ется соотношением:

о о

где векторы Ь,-,ш —единичные векторы в направлении вектора Бюргерса (направления сдвига) и нормали для системы скольжения, опреде­ ленные в отсчетной конфигурации.

Таким образом, в результате воздействия (деформирования) про­ извольное зерно с некоторой ориентацией испытывает пластические сдвиги (без изменения ориентации решетки), упругие искажения и по­

вороты; с последними связывается квазитвердое движение (конечные повороты как жесткого целого [31]), которое, в свою очередь, в рамках рассматриваемой модели и описывает поворот решетки зерна.

Сравнение моделей ротации решетки

Для сравнения (с математической точки зрения) вышеприведен­ ных моделей поворота решетки необходимо для модели «материально­ го» поворота определить спин решетки со2.

Используя разложение (3.19), полярное разложение (3.20), малость упругих деформаций, можно показать, что тензор спина решетки со2 при квазистатическом нагружении определяется согласно [57]:

Учитывая, что согласно модели стесненного поворота Тейлора спин

решетки есть со, = w - wp, получаем связь спинов решетки для моделей:

Таким образом, при квазистатическом деформировании рассмот­ ренные модели поворотов решетки в силу малости упругих деформаций В : а будут давать незначительно отличающиеся результаты.

Существующие в настоящее время ФТП можно разделить на три широких класса: жесткопластические модели, упругопластические мо­ дели и (упруго) вязкопластические модели [45—48]. Ниже остановимся на каждом из этих классов отдельно.

1.Выведите уравнение Орована.

2.Перечислите кристаллографические системы, по которым осу­ ществляется движение краевых дислокаций в ГЦК- и ОЦК-кристаллах.

3.По каким системам реализуются сдвиг и двойникование в ГПУкристаллах?

4.Что называется неконсервативным движением дислокаций, и за счет каких механизмов оно реализуется?

5.Приведите соотношение для тензора деформации скорости при произвольном движении краевых и винтовых дислокаций, проверьте его выполнение для скольжения и переползания одиночных дислокаций.

6.Приведите кинематические соотношения, определяющие де­ формирование при двойниковании.

7.Дайте определения статистически накопленных и геометриче­ ски необходимых дислокаций. Каковы физические механизмы их фор­ мирования? С помощью каких моделей они вводятся в описание неуп­ ругого деформирования?

8.Опишите физические причины возникновения поворотов кри­ сталлической решетки?

9.Опишите модель поворота Тейлора.

10.Приведите соотношения для описания «материального поворо­ та», сопоставьте их с уравнениям модели поворота Тейлора.