ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Поиски «кирпичиков», «атомов», из которых можно было бы соста­ вить картину мироздания, никогда не прекращались в науке в целом; ме­ ханика и, в частности, теория пластичности не являются в этом смысле исключением. Параллельно с созданием и развитием континуальных подходов и макрофеноменологических ОС в механике, начиная с XX ве­ ка, интенсивно велись (и ведутся) работы по созданию теорий, основан­ ных на рассмотрении глубинных физических механизмов деформирова­ ния, присущих всем телам или их достаточно широким классам (напри­ мер, металлам и сплавам). Сильнейшим импульсом для развития подобных теорий пластичности было открытие в 30-х годах XX века дис­ локаций (см. гл. 2), а вслед за этим - и других дефектов кристаллического строения материалов.

Напомним, что под физическими теориями пластичности

(ФТП) здесь будет пониматься широкий класс теорий пластичности, в основе формулировок определяющих соотношений, гипотез и основ­ ных положений которых лежит рассмотрение в явной форме механиз­ мов деформирования на мезо- и микромасштабах (т.е. масштабных уровнях, меньших уровня представительного объема в макросмысле, или представительного объема в инженерном смысле), в силу чего ма­ териал данного раздела существенным образом опирается и тесно свя­ зан с физикой твердого тела (ФТТ); для облегчения работы с материа­ лом часть необходимых соотношений и определений приведена в гл. 2. Приведенное определение указывает на основное отличие ФТП от клас­ сических теорий пластичности (называемых в литературе по механике деформируемого твердого тела (МДТТ) обычно математическими тео­ риями), в которых с самого начала формулировка теории осуществляет­ ся в терминах континуальной механики, полей напряжений, деформа­ ций и других параметров.

Следует отметить, что возникновение и развитие физических тео­ рий пластичности как отдельной ветви теории пластичности неразрывно связаны с пионерскими работами Дж. И. Тейлора, К.Ф. Элам [164-166] и Г.О. Закса [133, 158]. С этого времени появилось огромное количество различных вариантов физических теорий, но практически во всех из них

наблюдаются «родовые признаки» теорий указанных авторов, особенно Дж. И. Тейлора.

Установление масштабных уровней, вовлекаемых в рассмотрение в конкретном варианте ФТП, определяется требованиями исходной по­ становки задачи, особенностями исследуемых процессов, известными сведениями или гипотетическими представлениями о лидирующих и аккомодационных процессах, определяющих неупругое деформиро­ вание. Решение вопроса о выборе уровней не лишено и субъективного компонентаквалификации исследователя, его приверженности тем или иным подходам, доступностью тех или иных инструментальных средств и т.д. В настоящее время диапазон микромасштабов чрезвычай­ но широк - от 10“19 до 1(Г3 см3

Для изложения современных физических теорий пластичности не­ обходимо напомнить некоторые основные понятия, определения и со­ отношения нелинейной МДТТ.

1.1. О ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ И НЕЗАВИСИМЫХ

ОТ ВЫБОРА СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА ТЕНЗОРЗНАЧНЫХ

ХАРАКТЕРИСТИКАХ

Одной из сложнейших задач МДТТ в целом и ФТП в частности является проблема построения ОС для случая геометрически нелиней­ ных проблем (больших градиентов перемещений). В настоящее время ее решение часто осуществляется обобщением известных «геометрически линейных» ОС. В качестве примера рассмотрим обобщение ОС Мак­ свелла на случай больших градиентов перемещений. Определяющие со­ отношения Максвелла имеют вид:

где D - тензор деформации скорости, X, р. - индифферентные скалярные характеристики материала, X* = X, р*= ц; «*» отмечены величины, опре­ деляемые наблюдателем системы отсчета, движущейся относительно исходной. Наличие производной G тензора напряжений Коши в левой части уравнения приводит к нарушению требования индифферентности ОС (1.1). Действительно, в соответствии с требованием независимости от выбора системы отсчета (аксиома № 3 [35, 50]) вид уравнения не дол­

жен меняться при замене системы отсчета (или наложении жесткого движения). Тогда из (1.1) должно следовать

о*+Х*д*=2ц*В*

Учитывая, что <т* =От а О, D‘ =O r D O , дифференцируя а* по времени и подставляя в последнее соотношение, получаем

От [<т + Х(о+0 От о + о 6 Ox)]-2pD] 0 = 0,

откуда следует (в силу произвольности О)

о + Х(о+ О • От • о + о • О • От) —2pD.

Последнее соотношение, как нетрудно видеть, не совпадает по виду

с ОС (1.1). Причина кроется в неиндифферентности производной о

(несмотря на индифферентность о ).

Выход из данной ситуации в большинстве работ по геометрически

нелинейным ОС заключается в замене материальной производной о на независящую от выбора системы отсчета производную (коротационную или конвективную) ог В этом случае определяющее соотношение (1.1) принимает вид

Напомним, что коротационные и конвективные производные оп­ ределяются как скорости изменения параметров, фиксируемые подвиж­ ным наблюдателем, в первом случае - в жесткой, во втором - в дефор­ мируемой подвижной системе отсчета. При этом следует отметить трудности применения конвективных производных, связанные со слож­ ностью отделения изменения параметров за счет физических причин (воздействий) от изменений вследствие деформирования базиса.

При малых квазижестких поворотах (и малых скоростях этих по­ воротов) соотношение (1.2) сводится к (1.1). Возникающая при таком подходе к обобщению ОС неединственность определения независимых от выбора системы отсчета мер скоростей напряжений, деформаций

и других параметров разрешается с привлечением дополнительных ги­ потез и физического анализа [31].

Следует отметить сложность и важность решения данного вопро­ са, поскольку физически необоснованный выбор объективных произ­ водных может привести к качественно неверным результатам, зачастую трудно выявляемым на предварительной стадии оценки модели. При этом самым сложным является вопрос определения «движения без же­ сткого вращения» сплошной среды. Данный вопрос в исследованиях по нелинейной механике часто подменяется проблемой независимости ОС от выбора системы отсчета. Конечно, последнее требование должно быть выполнено; как показано выше, осуществить его выполнение дос­ таточно просто. Однако это не снимает вопроса о выборе меры поворота при обобщениях геометрически линейных соотношений на случай больших градиентов перемещений. Действительно, в общем случае движения деформируемой среды невозможно выделить тройку неком­ планарных материальных волокон, сохраняющих свою взаимную ори­ ентацию в течение всего исследуемого процесса движения. (При нали­ чии такой совокупности материальных волокон меру ротации тройки единичных векторов, направленных вдоль этих волокон, можно с пол­ ным основанием считать мерой жесткого поворота). При произвольном движении деформируемой среды любая выбранная тройка волокон ис­ пытывает изменение углов между ними.

В связи с этим в нелинейной механике часто применяется понятие квазитвердого движения, вводимого для принятого представления движения среды совокупностью квазитвердого и деформационного движений. Именно мера последнего вводится в определяющее соотно­ шение как эквивалент меры деформаций в геометрически линейном ОС. Ортогональная тензорзначная функция, характеризующая поворот в квазитвердом движении, используется затем при определении коротационных производных. Заметим, что данный подход тоже не может претендовать на единственность. Однако в любом случае введение мер квазитвердого движения, способа обобщения геометрически линейного ОС на случай больших градиентов перемещений, анализ принимаемых при этом гипотез должны предшествовать экспериментальным исследо­ ваниям и лежать в основе программы экспериментов, учитываться при интерпретации и обработке опытных данных.

Под обобщенными континуумами (ОК) в широком смысле этого термина будут пониматься все тела, не описываемые классическими теориями механики сплошной среды (МСС) (и МДТТ- в частности). Заметим, что само название определяет класс тел - это именно контину­ альные модели. Прежде чем переходить к рассмотрению сути обобщен­ ных континуумов, необходимо сформулировать и попытаться ответить на некоторые вопросы (на первом этапе - общего характера).

Прежде всего, а не плодим ли мы новые сути без нужды (Оккама)? Не является ли введение ОК желанием построить очень сложную для понимания теорию (уже в силу этого вызывающую уважение к ее авто­ рам), с использованием которой в дальнейшем можно будет получать красивые результаты, объяснить которые не в состоянии ни авторы тео­ рий, ни их последователи? Если же такие теории все-таки необходимы, то в каких процессов и для каких сред? Каковы области применимости той или иной теории, что от нее можно ожидать, а чего она в принципе не способна описать? Каков должен быть предварительный физико­ механический анализ, чтобы решить вопрос о необходимости примене­ ния ОК и конкретном выборе теории ОК? В случае отсутствия полно­ стью адекватной изучаемому материалу и процессу его деформирования теории ОК каково должно быть направление модификации, наиболее близкой для достижения поставленных целей и задач модели ОК?

Конечно, трудно рассчитывать на сиюминутные ответы на все по­ ставленные вопросы, но исследователи, занимающиеся ОК, должны та­ ки ставить подобные вопросы и искать на них ответы.

Рассмотрение в данном параграфе ограничим поликристаллическими металлами и сплавами, для начала - испытывающими только уп­ ругие искажения, класс воздействий - только деформационными. Для таких материалов классические континуальные модели, как показано многочисленными экспериментами, в ряде задач (например, при иссле­ довании усталостной прочности) не дают результатов, удовлетворяю­ щих современным запросам техники. Причину исследователи видят в высоких градиентах напряжений (деформаций), являющихся порож­ дением существенной неоднородности материалов (мезо- и микрострук­ турой). Таким образом, одна из областей, где требуется применение ОК, - это задачи, в которых нельзя пренебрегать градиентами парамет­ ров модели (напряжений, деформаций и т.д.). Попутно заметим, что, ве-

роятно, именно поэтому «оселком» для тестирования моделей ОК вы­ бираются примеры типа задачи Кирша (1898) (растяжение бесконечной пластины, ослабленной малым круговым вырезом). Конечно, здесь воз­ никает вопрос: а почему при нынешнем уровне развития вычислительной техники не работать на таких размерах, чтобы градиентами параметров можно было бы пренебречь? Однако даже для не самых сложных задач это может потребовать ресурсов нескольких суперкомпьютеров; кроме того, в ряде задач (например, с сингулярностями) этот путь принципи­ ально неприемлем. Во-вторых, можно придти к таким малым масшта­ бам, что идентификация модели может оказаться весьма проблематич­ ной. В-третьих, как представляется, модели ОК принципиально богаче, чем модели классических континуумов (КлК), поскольку в них присут­ ствуют новые степени свободы, которые не появятся в модели КлК при каком угодно дроблении сетки.

Другой класс проблем, где, как представляется, нельзя обойтись мо­ делями КлК, - это задачи, в которых требуется описание микроструктуры материала. К таким проблемам относятся задачи описания текстурообразования, интенсивного пластического деформирования (ИПД) в обработке металлов давлением (в том числе подготовка материала для сверхпласти­ ческого деформирования (СПД)), получения субмикрокристаллических материалов, деформирование в режиме сверхпластичности (СП).

Таким образом, в первом приближении получены ответы на пер­ вые три вопроса. Чтобы сформулировать ответы на остальные, необхо­ димо ознакомиться с содержанием, основными гипотезами, положения­ ми конкретных теорий, чему посвящено дальнейшее изложение.

Прежде чем рассматривать конкретные теории, следует отметить, что всем моделям ОК присуще одно из двух или оба отличия от КлК, ко­ торые мы условно назовем «динамическим» и «кинематическим». Первое из них связано с заменой широко используемой в КлК гипотезой о дейст­ вии одной части тела на другую только распределенной нагрузкой; иначе говоря, это действие в каждой точке сводится только к вектору напряже­ ний. Вероятно, впервые об этом написал В. Фойгт в своей статье 1887 года [181]. Он предложил модифицировать гипотезу Коши следующим обра­ зом: действие одной части тела на другую (или внешних тел на рассматри­ ваемое тело) в каждой точке воображаемой (или реальной) границы (внут­ ренней или внешней) тела с единичной нормалью п определяется вектором напряжений tn и вектором моментных напряжений (1 „.

Конечно, с точки зрения формальной ничто не мешает заменить одну гипотезу другой, тем более, что заменяющая в данном случае шире заменяемой, в определенном смысле поглощает ее. При этом появляется возможность в реальных телах и процессах оценить эффекты, вносимые расширением гипотезы. Однако в физике и механике необходимо доби­ ваться достаточно ясного физического смысла всех вносимых парамет­ ров, переменных. Предположим, что рассматриваемое физическое тело представляет собой конгломерат взаимодействующих между собой час­ тиц, причем не важно, какого масштабного уровня, это могут быть

иатомы, и молекулы, и субзерна, зерна поликристалла; важно лишь, чтобы для рассматриваемого материала (и процесса деформирования) эти взаимодействия можно было свести к взаимодействию только со­ седних частиц (по сути, эта гипотеза всегда эксплуатировалась в МСС

ивесьма правдоподобна) и что эти взаимодействия являются централь­ ными. По сути, речь идет о широко используемой модели «шарикипружинки». Мысленно введем некоторую поверхность, рассекающую эти связи. Приведем сосредоточенные силы, действующие со стороны частиц с одной из сторон тела (назовем ее «отброшенной), разделенных введенной поверхностью, на частицы второй части к распределенным

нагрузкам (вектору напряжений). Если на масштабах, сопоставимых с масштабом осреднения (континуализации), отсутствует корреляция между положением точки на разделяющей поверхности и хотя бы одной из компонент вектора напряжений (или исследователя по роду задачи не интересуют следствия такой корреляции), то распределенные напря­ жения могут быть приведены на данном масштабе осреднения только к вектору напряжений (конечно, постоянному в каждый момент процесса) на площадке осреднения. В противном случае необходимо или: 1) пере­ ходить на более низкий масштабный уровень (осреднения), или 2) вво­ дить дополнительные силовые факторы, с достаточной для рассматри­ ваемой задачи полнотой определяющих взаимодействия разделенных частей тела. Заметим, что указанная корреляция в зависимости от мик­ роструктуры материала и процесса деформирования может наблюдаться на одних масштабах и отсутствовать на других; например, на характер­ ных масштабах, сопоставимых с размерами зерен и субзерен, такая кор­ реляция скорее всего будет иметь место; если же перейти к осреднению

с«окном» порядка представительного макрообъема, то корреляция может

иисчезнуть. Этот характерный размер (масштаб), на котором указанная корреляция имеет место, будем называть «радиусом корреляции».

К «кинематическому» отличию здесь мы будем относить расши­ рение степеней свободы континуума. Наиболее общим вариантом ОК по отношению к этой составляющей, как представляется, являются мо­ дели с конечным числом внутренних переменных произвольной приро­ ды и (тензорной) размерности, характеризующих микроструктуру мате­ риала, дислокационную субструктуру и т.д. В частности, при соответст­ вующей физической трактовке к внутренним переменным можно отнести меры вращательных степеней свободы (континуум Коссера), микродеформаций (микроморфные континуумы), вторые и более высо­ кого порядка градиенты вектора перемещений (материалы 2-го и более высоких порядков; материалы 2-го порядка в литературе часто называ­ ют градиентными). Следует отметить, что в этом случае в теории могут появиться термодинамически сопряженные новым кинематическим па­ раметрам силовые факторы, т.е. появляется и «динамическое» отличие.

В каких же случаях возникает потребность во введении дополни­ тельных степеней свободы? Во-первых, есть чисто формальная причина их возникновения при использовании термодинамического подхода к формулировке конститутивной модели - необходимость выполнения термодинамических ограничений и для континуумов с расширенными силовыми взаимодействиями, в силу чего появляются сопряженные с ними кинематические характеристики. Во-вторых, это связано с необ­ ходимостью рассмотрения изменения микроструктуры при сохранении возможности решать краевые задачи для реальных физических объек­ тов, рассматриваемых в рамках континуального представления.

Рассмотрение ОК начнем с модели Койтера (МК) [17] как наибо­ лее простой модели ОК. По существу, в этой модели учтен только пер­ вый, «динамический» аспект. Пусть на тело В, занимающее в актуаль­

ной конфигурации область V с границей S , действуют объемные (мас­

где p —плотность, г —радиус-вектор точки. Далее обычным образом (рассматривая равновесие материального тетраэдра и устремляя его

Тензор моментных напряжений можно представить разложением на девиаторную и шаровую части:

(1.10)

где g - единичный тензор, 1\ - первый инвариант. Заметим, что физиче­ ский смысл такого представления в статье [17] не обсуждается; вероят­ но, это сделано только с целью исключения из дальнейшего рассмотре­ ния первого инварианта моментных напряжений. Тогда с использовани­ ем (1.8)—(1.10) от уравнений равновесия (1.6)—(1.7) можно перейти к одному (векторному) уравнению равновесия:

Несколько забегая вперед, отметим, что при подстановке ОС в (1.11) получим дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно скоростей перемещений, что, в свою очередь, требует увеличения числа граничных условий до 6 в каждой точке поверхности тела Как оказывает­ ся, это не совсем так, в цитируемой работе показано, что число кинемати­ ческих граничных условий (в скалярной форме) равно 5.

Кратко остановимся на кинематике. В модели Койтера, как и в лю­ бом КлК, вводятся перемещения и и скорости перемещений v, причем эти величины следует трактовать как осредненные параметры по микро­ частицам скользящего представительного объема, отнесенные к его цен­ тру масс. По этим полям можно обычным образом определить тензор ма­ лых деформаций и тензор деформации скорости соответственно:

(1.12)

Аналогично кинематике КлК можно ввести тензор вихря W и ас­ социированный с ним вектор угловой скорости О :

причем в модели Койтера именно последний вектор отвечает за поворот­ ную моду и является сопряженным вектором к вектору объемных момен­ тов. Иначе говоря, модель Койтера представляет собой так называемый псевдоконтинуум Коссера. Напомним, что тензор W (а следовательно, и ассоциированный с ним вектор угловой скорости) определяет угловую скорость движения материальных волокон, совпадающих в текущий мо­ мент времени с главными осями тензора деформации скорости D [31].

Введем также (транспонированный) градиент вектора угловой скорости, являющийся материальной производной так называемого тен­ зора кривизн-кручений к :

Учитывая геометрический смысл тензора вихря W (а следователь­ но, ассоциированного с ним вектора со ) и полагая поле градиентов век­ тора скорости перемещений достаточно гладким, можно трактовать тен­ зор кривизн-кручений как меру относительного вращательного движе­ ния двух бесконечно близких триэдров материальных волокон, направленных вдоль главных векторов тензора деформации скорости. Тензор к , как нетрудно показать, является девиатором и несимметрич­ ным тензором. Таким образом, наряду с представлением движения час­ тицы суммой мгновенных трансляционного движения, квазижесткого поворота и «чистого» деформирования (теорема Коши-Гельмгольца) в псевдоконтинууме Коссера появляется еще одно деформационное движение, характеризуемое тензором кривизн-кручений.

Используя соотношения (1.6)—(1.9), (1.12)—(1.14), можно показать, что скорость совершения работы над каждой материальной частицей определяется соотношением:

Для упругого материала этим соотношением выражается и ско­ рость изменения внутренней энергии, что в дальнейшем используется для построения определяющих соотношений (гиперупругих или упру­ гих по Грину).

Согласно определению гиперупругого (по Грину) материала суще­ ствует упругий потенциал П, являющийся скалярной функцией мер де­ формированного состояния, такой, что ее производная по времени равна скорости изменения удельной (на единицу объема) механической рабо­ ты. Общий вид П следует из (1.15):

Если вид потенциала известен, определяющие соотношения гипе­ рупругого материала легко устанавливаются:

” , = Р ЭЁ’ ** = Р Эк

Предполагая изотропию материала, приходим к требованию, что­ бы потенциал был только функцией квадратичных главных инвариантов мер деформации, т.е. (e:g)2, е:£, г:к , к :к т, к :к , причем третий из перечисленных инвариантов нарушает условие изотропии и поэтому должен быть исключен из рассмотрения. Тогда в предположении малых деформаций получаем по аналогии с потенциалом для классической ги­ перупругой среды:

где G - модуль сдвига, V - коэффициент Пуассона, / - так называемый характерный размер материала (о котором мы поговорим несколько позднее), Г| - безразмерная величина (в работе Койтера она называется аналогом коэффициента Пуассона). При этом из требования положи­ тельной определенности потенциала вытекают следующие ограничения на материальные константы: G >0, 0 < v < 0,5, -1 < Т)<\, I - вещест­ венное число. Из (1.17)—(1.18) легко получаются определяющие соот­ ношения следующего вида:

Остановимся на анализе параметра / - характерного размера мате­ риала. Напомним, что к является градиентом вектора поворота, т.е. первой производной по координатам вектора поворота. Тогда к / можно

трактовать как приращение этого вектора поворота на характерном раз­ мере, а еще одно умножение на этот размер (вкупе с умножением на модуль упругости) дает момент на этом же масштабе. Тогда / представ­ ляется возможным отождествить с упомянутым выше радиусом корре­ ляции. По крайней мере, это не противоречит качественной картинепри стремлении радиуса корреляции к нулю моментные напряжения, как и должно быть, стремятся к нулевым. При этом надо иметь в виду, что, поскольку рассмотрение осуществляется на одном масштабном уровне, при решении задач численными или аналитическими методами следует оперировать размерами, не превосходящими радиус корреля­ ции. В случае неупругого деформирования радиус корреляции, вероят­ но, становится функционалом процесса, и для него потребуется форму­ лировка эволюционного уравнения.

Остановимся на анализе параметра Т|, для чего рассмотрим соот­

ношение (1.19) 2 в компонентной форме. Напомним физический смысл компонент тензора моментных напряжений и геометрический смысл компонент тензора кривизн-кручений [26]; компоненты будем опреде­ лять в ортонормированном базисе i* (к= 1,3) декартовой системы коор­ динат Ох1X2X3. Компоненты ки характеризуют изменение вдоль оси Oxj

угла кручения материального объема вокруг той же оси Ох,. Компонен­ ты ку (/ Ф j) характеризуют изменение угла поворота вокруг оси Ох, вдоль координаты х7, т.е. изгиб материального волокна, расположенного

ствующую на единицу площадки, перпендикулярной оси Охи пару сил, закручивающую материальное волокно вокруг той же оси Ох,. Компо­ ненты тензора моментных напряжений ц<7, i ф j , определяют дейст­

вующую на единичную площадку, перпендикулярную оси Ох„ пару сил, изгибающую материальный отрезок вокруг оси Oxj.

Для диагональных компонент девиатора моментных напряжений получим:

а; = 4G/2*„(1+11) , ^

Если известен характерный размер материала, то с использова­ нием любого из этих соотношений экспериментально может быть оп­

ределен параметр Т|; однако его физический смысл при этом остается

невыясненным.

Для недиагональных компонент имеем:

= 4Gl2(kj: к + r\ktJ), /,у = 1,3, i* j .

Предположим, что грань с нормалью у подвергается изгибу вокруг оси i,, тогда если грань с нормалью i, свободна от изгибающего момента вокруг оси у, т.е. Д,. = 0 , то эта свободная грань будет испытывать изгиб

имеет место определенная аналогия с коэффициентом Пуассона в клас­ сической теории упругости, однако с заменой диагональных компонент мер напряженного и деформированного состояния на недиагональные компоненты.

Как уже отмечено выше, основные соотношения теории Койтера совпадают с уравнениями широко известного континуума Коссера [83]. Однако в модели Коссера вращательная степень свободы вводится неза­ висимо от классической кинематики сплошной среды, т.е. каждой мате­ риально частице наряду с поступательными степенями свободы придает­ ся возможность совершать независимые вращательные движения, ско­ рость поворота обозначается (аналогично принятому выше обозначению в модели Койтера) со. Для формулировки ОС упругого материала, как правило, используется формализм, идентичный рассмотренному выше.

В последние 10-15 лет опубликовано значительное количество ра­ бот, в которых предложены различные варианты расширения конти­ нуума Коссера на процессы неупругого деформирования, остановимся на одной из них [94]. В статье принято несколько иное определение тен­ зора деформации скорости - в духе классических соотношений конти­ нуума Коссера (записанных в терминах градиента вектора скорости пе­ ремещений) D определяется как сумма градиента скорости перемеще­ ний и градиента вектора скорости поворота, т.е. является несиммет­ ричным тензором 2 -го ранга; здесь не будем останавливаться на деталях изложения кинематики, уделив главное внимание процедуре формули­ ровки ОС для пластической составляющей меры скорости деформации. По аналогии с классическими неупругими средами для континуума Коссера предполагается приемлемой гипотеза об аддитивности скоро­ стей упругих и неупругих составляющих мер скоростей деформаций:

Для пластической составляющей тензора деформации скорости принимается обычная гипотеза несжимаемости, так что D'' = D/p Для

определения W и кр в случае неассоциированной модели вводятся пла­ стический потенциал и функция текучести; для ассоциированного зако­ на достаточно ввести функцию текучести, здесь воспользуемся ассо­ циированным законом. В этом случае также возможны два варианта: либо использовать одну функцию текучести /( S , ц',./^) для определе­ ния пластических составляющих тензора деформации скорости и тензо­ ра скорости кривизн-кручений, либо ввести две функции текучести / (S, RlT) и / 2(ц', R2T). В первом варианте функция текучести предла­ гается в виде:

где Rr —обобщенное «напряжение течения», X —накопленная мера не­ упругой деформации,

Используя принцип градиентальности, с учетом (1.21) получаем искомые ОС:

Аналогичным образом с применением принципа градиентальности осуществляется формулировка ОС для варианта с двумя функциями, вывод которых предоставляется читателю. В последние 10-15 лет на­ блюдается устойчивый рост интереса к различным неклассическим кон­ тинуумам, в частности, к градиентным моделям (материалам второго порядка), в том числе в рамках физических теорий пластичности;

с кратким обзором публикаций по этой тематике интересующийся чита­ тель может познакомиться в статье [47].

Во п ро с ы к гл а ве 1

1.Дайте определение физических теорий пластичности.

2.В каких условия возникает необходимость перехода к геометри­ чески нелинейным определяющим соотношениям?

3.Сформулируйте аксиому независимости от выбора системы отсчета.

4.Дайте определения конвективных и коротационных производных.

5.В чем состоит основное отличие коротационных и конвектив­ ных производных?

6 . Дайте определения квазитвердого и деформационного движения.

7. В каких случаях требуется осуществлять переход к моделям

обобщенных континуумов?

8. В чем состоят основные отличия моделей обобщенных континуу­ мов от классических?

9. Приведите вывод соотношений модели обобщенного континуу­ ма В. Койтера.

10. Изложите основные положения модели С. Фореста и Р. Сиверта. 11. Получите определяющие соотношения модели С. Фореста

и Р. Сиверта при использовании двух функций текучести.