ВВЕДЕНИЕ

Процессы неупругого деформирования и свойства поликристаллических материалов на макроуровне, как показывают многочислен­ ные экспериментальные и теоретические исследования, существен­ ным образом определяются состоянием эволюционирующей мезо- и микроструктуры материала. Под эволюцией мезоструктуры здесь понимаются процессы разворотов кристаллических решеток зерен или фрагментов зерен, а также их фрагментация и дробление. Под эволюцией микроструктуры в первую очередь понимаются изменения в дефектной структуре материала на микроуровне (уровне дислока­ ционных субструктур, конгломератов точечных дефектов, границ зе­ рен и т.д.). Попытки построения математических моделей, описы­ вающих эволюцию мезо- и микроструктуры в широком диапазоне воздействий на материал, предпринимаются еще с 30-50-х годов XX века (Дж. Тейлор, Дж. Бишоп, Р. Хилл, Т.Г. Линь и др.); значи­ тельных успехов в описании процессов неупругого деформирования достигли и отечественные ученые (Я.Д. Вишняков, О.А. Кайбышев, В.А. Лихачев, П.В. Макаров, А.Н. Орлов, В.Е. Панин, В.В. Рыбин и др.).

Мезо- и микроструктура материала существенным образом изме­ няются в процессе деформирования. С одной стороны, макронагруже­ ния (макродеформации) являются источником, движущей силой изме­ нения мезо- и микроструктуры; с другой стороны, эволюция мезо-

имикроструктуры является фактором, определяющим поведение мате­ риала на макроуровне. Таким образом, управляя мезо- и микрострукту­ рой, можно управлять свойствами материалов на макроуровне, которые

иопределяют рабочие характеристики готовых деталей и конструкций. Поэтому в настоящее время при разработке математических моделей технологических процессов, в нелинейной механике деформируемого твердого тела (МДТТ) одной из наиболее актуальных проблем является построение моделей, описывающих эволюцию мезо- и микроструктуры поликристаллических материалов.

Так, известно, что пластическая деформация, превышающая 5-10 %, сопровождается образованием кристаллографической текстуры того или иного типа и той или иной интенсивности. Под кристаллографической текстурой понимаются неоднородность функции распределения ориен­

таций (ФРО) [9] решеток зерен представительного макрообъема, нали­ чие выделенных (преимущественных) направлений в пространственной ориентировке кристаллических решеток отдельных составных частей (зерен, субзерен) поликристаллического тела по отношению к характер­ ным направлениям обработки (прокатки, экструзии и т.д.). Вследствие образования текстуры поликристаллический материал приобретает ани­ зотропию свойств на макроуровне. Существуют примеры как положи­ тельного (например, пресс-эффект при прессовании), так и отрицатель­ ного (образование фестонов при листовой штамповке) влияния тексту­ ры на механические характеристики. Таким образом, актуальность построения модели текстурообразования подтверждается достаточно острой необходимостью её применения для исследования технологиче­ ских процессов с целью улучшения свойств материала и предотвраще­ ния негативных эффектов.

Широкий класс теорий пластичности, в основе формулировок оп­ ределяющих соотношений, гипотез и основных положений которых ле­ жит рассмотрение в явной форме механизмов деформирования на мезо- и микромасштабах и появление которых во многом предопределили ра­ боты перечисленных выше ученых, будем называть физическими тео­ риями пластичности [44, 51, 172].

В качестве характеристик, связанных с эволюцией мезоструктуры, наиболее существенных с точки зрения изменения физико-механичес­ ких свойств поликристаллического материала, можно выделить сле­ дующие [4, 9, 34]:

1)изменение ориентаций решеток («пластические» развороты) кристаллитов (зерен, субзерен, фрагментов);

2)изменение формы и размеров зерен, фрагментация и дробление зерен при развитых пластических деформациях, приводящие к умень­ шению среднего размера зерна.

Исследованию параметров второй группы посвящено большое ко­ личество работ [15, 34], в первую очередь - экспериментальных, причем

впоследние годы в связи с интенсификацией исследований субмикрок­ ристаллических и наноматериалов число работ по этому направлению растет лавинообразно. Основным эффектом, связанным с уменьшением размера зерна, является улучшение прочностных свойств поликристалла (повышение пределов текучести и прочности), обусловленное увеличе­ нием доли межзеренных границ [15]. С другой стороны, при определен­ ных условиях (в частности, сохранения равноосности зерен) некоторые

материалы с уменьшением размера зерна могут стать способными к сверхпластическим деформациям [6].

Монокристаллические тела с идеальной структурой вследствие не­ одинаковой плотности атомов в различных плоскостях и направлениях решетки обладают анизотропией физических и механических свойств. Например, модуль упругости, удельное электросопротивление, коэффи­ циент диффузии имеют различное значение для разных направлений в кристалле [7,9,19].

Используемые в технике металлы и сплавы, как правило, являются поликристаллами, т. е. состоят из большого числа анизотропных кри­ сталлитов (зерен, субзерен). В большинстве случаев (в состоянии постав­ ки) в пределах представительного макрообъема кристаллиты статистиче­ ски неупорядоченно ориентированы один по отношению к другому, по­ этому на уровне представительного макрообъема во всех направлениях свойства можно считать одинаковыми, т.е. поликристаллическое тело в макроскопическом смысле можно считать изотропным.

Пластическая деформация уже при умеренных интенсивностях (порядка 0,1-0,2) деформации, сопровождается образованием кристал­ лографической текстуры того или иного типа и той или иной интен­ сивности. Под кристаллографической текстурой понимается неодно­ родность функции распределения ориентаций (ФРО) решеток зерен в представительном объеме, наличие выделенных (преимущественных) направлений в пространственной ориентировке кристаллических реше­ ток отдельных составных частей (зерен, субзерен) поликристаллического тела [9]. Конкретный вид текстуры определяется типом кристалличе­ ской решетки кристаллитов, схемой деформирования материала, вели­ чиной накопленных деформаций, энергией дефекта упаковки (ЭДУ) и другими физическими параметрами. На рис. В. 1 приведены наиболее распространенные текстуры листовой прокатки.

Экспериментальному исследованию свойств текстурированных материалов посвящено значительное количество работ, например [69, 104, 109, 110, 123, 179, 182], этой тематике посвящена регулярно прово­ дящаяся (раз в 3 года) Международная конференция «International Con­ ference on Textures of Materials (ICOTOM)».

Эксперименты со всей очевидностью показывают, что вследствие образования текстуры поликристаллический материал приобретает ани­ зотропию свойств на уровне представительного макрообъема. В качест­ ве примера можно привести зависимость между модулем упругости Е

Рис. В.1. Схема кристаллографической ориентировки кристаллитов

влистовом материале в случае кубической (а) и ребровой (б) текстуры

инаправлением в прокатанных металлических листах. Для многих гране­ центрированных кубических (ГЦК) и объемно-центрированных кубиче­ ских (ОЦК) металлов имеется явно выраженный экстремум Е для угла

ф= 45° (ф - угол к направлению прокатки (НП), ПН - направление, пер­

пендикулярное плоскости прокатки), однако характер экстремума разли­ чен. Для экспериментальных исследований из прокатанного листа выреза­ лись под разными углами к НП узкие полоски, и для них в опытах на рас­ тяжение определялись значения Е. На рис. В.2 приведены зависимости величины Е от угла ф для прокатанных листов с различным составом [7].

Рис. В.2. Зависимости Е от угла к направлению прокатки ф [7]

Для ОЦК-металлов было обнаружено также, что прочностные характеристики (a s и с в) максимальны в направлении ПН, а остаточ­

ное удлинение - в направлении НП. С текстурой связано также выше­ упомянутое явление пресс-эффекта, заключающееся в том, что при оп-

ределенных условиях прессова­ ния металлических сплавов их прочностные свойства в направ­ лении прессования повышаются.

Намагниченность насыще­ ния для a -железа с ОЦК-решет- кой одинакова для кристаллов с различной ориентировкой, од­ нако скорость приближения к на­ магниченности насыщения суще­ ственно изменяется в зависимости от ориентировки. На рис. В.З по­ казано, что насыщение ориенти­ ровки <100> происходит быстрее, чем насыщение любой из ориен­ тировок <110> или <111>; таким образом, направление, соответст­ вующее ребру куба, насыщается

легче всего, тогда как направление, соответствующее диагонали куба, насыщается труднее всего [19]. На основании изложенного легко по­ нять, что лист поликристаллического железа с соответствующей тек­ стурой может превосходить по магнитным свойствам лист с беспоря­ дочно ориентированными зернами. Электротехническая промышлен­ ность использует для сердечников трансформаторов лист из сплава железа с кремнием (3,3 % кремния) с целью достижения минимальных потерь на гистерезис; при этом лист должен обладать сильно развитой кубической текстурой {100}<001>, которая имеет два направления наиболее легкого намагничивания <100> в плоскости листа. Второй подходящей текстурой является {110}<001>, или ребровая кубическая текстура, которая имеет лишь одно направление легчайшего намагни­ чивания в плоскости листа.

Таким образом, практическое значение текстур обусловлено вы­ зываемой ими анизотропией свойств, которая может весьма эффективно использоваться. В то же время образование текстуры может и негативно повлиять на макросвойства материала: например, при листовой штам­ повке, глубокой вытяжке заготовок из металлов и сплавов могут обра­ зовываться так называемые фестоны [7].

Экспериментально текстуры определяют с помощью методов рентгеновского анализа, просвечивающей электронной микроскопии и дифракционным методом электронной микроскопии [28]. В работе [69], содержащей значительное количество экспериментальных данных по лучевым и двухзвенным траекториям деформации листового алюми­ ниевого сплава, подробно описана методика экспериментальных иссле­ дований, включающих как чисто механические измерения, так и анализ текстуры и дислокационных субструктур.

Подход к построению определяющих соотношений с использованием внутренних переменных

Имеются, по крайней мере, две возможности учета эволюции мезо- и микроструктуры в математических моделях материалов: неявным или явным способом. В первом случае в структуру определяющих соот­ ношений (ОС) вводятся достаточно сложные операторы над историей макронагружения (макродеформации) [35], без использования в явной форме параметров, описывающих эволюцию собственно мезо- и микро­ структуры (например, теория упругопластических процессов А.А. Иль­ юшина [12, 13]). Как правило, при этом трудно выявить и обосновать физический смысл и механизмы деформирования, описываемые раз­ личными (обычно —довольно сложными) операторами модели материа­ ла. Идентификация подобных моделей требует проведения трудоемких

идорогостоящих экспериментов. Применение подобных ОС при реше­ нии краевых задач, возникающих при анализе реальных процессов, так­ же связано со значительными трудностями.

Впоследние десятилетия все большее признание находит второй способ - явное введение в структуру определяющих соотношений па­ раметров, описывающих состояние и эволюцию мезо- и микрострукту­ ры, и формулировки эволюционных (кинетических) уравнений для этих параметров, называемых «внутренними переменными».

Влитературе, посвященной различным теориям процессов необ­ ратимого деформирования, внутренними переменными называют пара­ метры, отражающие структуру и механизмы деформирования на мезо-

имикроуровнях. Этимология термина «внутренние переменные», веро­ ятно, связана и с (неравновесной) термодинамикой, где внутренними переменными называют параметры состояния термодинамической сис­ темы, управлять напрямую изменениями которых за счет внешних воз­

действий невозможно. Иначе говоря, эти переменные описывают «внут­ реннюю жизнь» термодинамической системы, чрезвычайно богатую сценариями развития, неустойчивостями, возникновением и разрушени­ ем внутренних структур.

Например, в случае рассмотрения процессов упругопластическо­ го деформирования поликристаллических материалов такими пере­ менными могут являться параметры, характеризующие размеры и форму зерен, накопленные сдвиги по различным системам скольже­ ния (СС), текущие критические напряжения сдвига по СС. Большинст­ во физических теорий пластичности построено, по существу, в рамках данного подхода с использованием указанных выше внутренних пере­ менных, которые характеризуют состояние материала в текущий мо­ мент времени. Для упругопластического деформирования в общем случае возможно введение и других параметров, характеризующих, например, дефектную структуру как в отдельных зернах, так и во всем рассматриваемом представительном объеме. В частности, для учета механизма зернограничного скольжения необходимым представляется введение в качестве отдельных элементов структуры межзеренных границ, величин сдвигов по границам и критических напряжений зер­ нограничного скольжения (ЗГС).

В настоящее время невозможно назвать какую-либо теорию необ­ ратимых деформаций, не использующую явно или неявно внутренние переменные. Например, в классической теории пластичности широко применяется понятие поверхности текучести, отделяющее в простран­ стве напряжений области упругого и неупругого деформирования [11, 14, 33]. В процессе деформирования поверхность текучести изменяет свою форму и размеры, перемещается как целое [14]. Эта эволюция по­ верхности текучести на макроуровне отражает изменения свойств мате­ риала, обусловленные перестройками мезо- и микроструктуры, в связи с чем параметры, описывающие эволюцию этой поверхности, с полным правом можно отнести к внутренним переменным. Аналогичная ситуа­ ция имеет место и в других теориях (вязкоупругости, вязкопластичности, ползучести и др.). Широкий класс моделей, по существу, основан­ ных на введении внутренних переменных, разработан исследователями томской школы физиков [22-24, 54].

Рассмотрим общую структуру конститутивной модели с использо­ ванием внутренних переменных для некоторого масштабного уровня. Введем следующие обозначения:

L - мера (в общем случае произвольная) напряженного состояния,

Ег - ее объективная [31] скорость изменения,

у = 1,Г - параметры воздействия термомеханической (напри­

мер, температура, мера деформированного состояния и т.д.) и нетермо­ механической (например, радиация, химические воздействия) природы.

Часть внутренних переменных непосредственно входит в структу­ ру ОС данного масштабного уровня, такие переменные в дальнейшем

будем обозначать как Jp, р = 1,Ве и для ясности называть их внутрен­

ними «явными» (explicit) переменными. Вторая группа внутренних пе­ ременных (в большинстве случаев относящихся к более глубоким мас­ штабным уровням) входит в качестве переменных в эволюционные

уравнения (ЭУ); переменные этой группы будем обозначать как «Гр,

Р = 1,В1; для того чтобы отличать их от переменных первой группы,

будем называть их внутренними «скрытыми (неявными)» (implicit) пе­ ременными. Полная совокупность внутренних переменных, таким обра­

зом, определяется как {J p} = {J*,J*5} , Р = 1,В, у = 1,Ве, 6 = 1,В1,

В = Ве+В; При построении модели для решения вопроса выбора внутренних

переменных целесообразно руководствоваться нижеприведенными тре­ бованиями:

1.Набор внутренних переменных должен быть достаточным для адекватности модели: последняя должна описывать интересующие эф­ фекты и соответствовать экспериментальным данным с требуемой точ­ ностью;

2.Набор внутренних переменных должен быть минимальным (так

как введение каждой дополнительной переменной приводит к необхо­ димости включения эволюционного уравнения (для неявных) или урав­ нения замыкания (для явных), т.е. усложнению ОС).

Можно отметить, что требования 1 и 2 противоречивы, что харак­ терно для построения любой модели [8]: необходимо при минимуме ис­ пользованных средств достичь возможно полного, адекватного описа­ ния явления или объекта.

3. Внутренние явные переменные (по крайней мере, некоторые) должны быть измеримы экспериментально в любой момент времени. К этому приводит необходимость задания начальных условий для (не­

которых) явных внутренних переменных (например, распределение зе­ рен по размерам в начальный момент времени). Кроме того, измери­ мость некоторых переменных необходима для верификации модели.

Структура конститутивной модели с внутренними переменными

Анализ существующих моделей материала и физических механиз­ мов неупругого деформирования широкого класса конструкционных материалов позволяет предложить структуру конститутивной модели, включающую:

1) уравнения состояния (определяющие соотношения (ОС))

2) эволюционные уравнения (ЭУ) (для скрытых переменных)

3) замыкающие уравнения (ЗУ)

Наряду с соотношениями в скоростной (дифференциальной) фор­ ме могут использоваться уравнения в терминах самих параметров, ха­ рактеризующих напряженно-деформированное состояние и воздейст­ вия. Вопрос выбора типа ОС, ЭУ и ЗУ - в терминах мер напряженного состояния и других параметров («интегральные» соотношения) или мер скоростей их изменения («дифференциальные» соотношения, со­ отношения скоростного типа) - в каждом конкретном случае решается исследователем. При этом учитываются соображения физического ха­ рактера, сложности записи соотношений, ясности интерпретации ре­ зультатов и т.д.; понятно, что в силу отсутствия четко определенных критериев подобный выбор во многом субъективен. Следует отметить, что общая система соотношений модели материала может содержать уравнения разных типов как по группам соотношений, так и внутри каждой из трех групп.

В качестве положительных сторон подхода можно отметить сле­ дующие:

1.Большая ясность физической интерпретации уравнений по сравнению с построением ОС в операторной форме. В частности, при построении макрофеноменологических (операторных) соотношений теории пластичности необходимость учета нескольких (а зачастую — множества) механизмов приводит к чрезвычайной сложности получае­ мых уравнений, что затрудняет анализ таких ОС (особенно в случаях, когда в авторской работе подробно не раскрывается физический смысл построенных в ней ОС). Применение внутренних переменных позволяет существенно упростить эти операторы. При этом и сами внутренние пе­ ременные, и эволюционные уравнения для них физически прозрачны.

2.Возможность прямой или косвенной проверки результатов мо­ делирования эволюции мезо- и микроструктуры на основании опытных данных и/или анализа параметров на различных масштабных уровнях.

3.Относительная простота совокупности уравнений модели (опре­ деляющих, эволюционных и замыкающих).

4.Широкие возможности обработки результатов решения эволю­ ционных уравнений при переходе к макропеременным (с использова­ нием различных операторов осреднения). На основании одних и тех же уравнений для микро- и мезоуровней возможно получение различных (в том числе дающих количественно различные результаты) моделей материалов.

5.Модели данного типа обладают значительной универсально­ стью, поскольку они основаны на фундаментальных физических зако­ нах, пригодных для описания целых классов материалов.

Вкачестве отрицательных сторон подхода можно отметить:

1)большое число внутренних переменных и соответствующих Эво­ люционных уравнений, необходимых для адекватного описания процесса необратимого деформирования;

2)трудности решения «проблемы замыкания»: при формулировке

физических уравнений для представительного макрообъема возникает необходимость введения параметров меньшего масштабного уровня и эволюционных уравнений для них и т.д. Следует отметить два наибо­ лее употребительных подхода к решению проблемы замыкания. В Пер­ вом - феноменологическомпараметры, характеризующие структуру на более низких масштабных уровнях, определяются функциональными уравнениями через параметры рассматриваемого уровня (например, как

в модели турбулентности Рейнольдса) с последующей эксперименталь­ ной проверкой этих уравнений. Второй подход основан на построении иерархической совокупности моделей нескольких масштабных уровней и установлении связей между однотипными характеристиками процесса деформирования соседних уровней. Следует отметить, что в этом слу­ чае полностью избежать феноменологических соотношений, конечно, не удается, однако они записываются для самого низкого масштабного уровня в принятой иерархической совокупности;

3) отсутствие в подавляющем большинстве случаев аналитических решений системы эволюционных и определяющих соотношений, что приводит к необходимости использования численных методов.

Анализируя совместно и преимущества, и недостатки рассматри­ ваемого подхода, можно отметить, что применение данного подхода представляется весьма перспективным для построения моделей мате­ риалов, особенно в свете развития вычислительных технологий.

О многоуровневых моделях

Следует отметить, что подавляющее количество теоретических работ, посвященных описанию формирования и эволюции текстуры, являются, по существу, двухуровневыми (мезо- и макроуровни). В связи с этим кратко остановимся на особенностях построения многоуровне­ вых моделей . Обзор подходов и методов, применяемых в многоуровне­ вых моделях, гипотез и алгоритмов для установления связей родствен­ ных переменных различных уровней, основных нерешенных проблем в рассматриваемой области приведен в [78]. Представляет интерес одна из недавних публикаций по данному направлению [126], в которой де­ лается попытка сформулировать теоретические основы построения многоуровных моделей. Отмечается, что существующие многоуровневые модели можно разделить на два больших класса: 1) «согласованные» (двухсторонние), в котором связи параметров соседних уровней уста­ навливаются с применением итерационных процедур между уровнями; 2) «иерархические» (односторонние), для которых указанные связи оп­ ределяются только в одном направлении - сверху вниз или снизу вверх (по шкале масштабов). Приведена общая схема N-уровневой модели, согласно которой каждой точке «грубого» к-го уровня соответствует представительный (материальный или статистический) объем более «тонкого» (£+1)-го уровня; дальнейшее рассмотрение ведется для двух

соседних уровней. Большое внимание уделяется связям параметров и уравнений различных уровней, формулируется набор законов (назы­ ваемых авторами принципами) для установления этих связей.

Детально рассматривается кинематика соседних масштабных уровней, устанавливаются связи кинематических характеристик (коор­ динат, градиентов места, ограничиваясь вторым порядком градиентов), мультипликативное разложение градиентов места, отмечается отличие промежуточных (разгруженных) конфигураций рассматриваемых уров­ ней. Уравнения движения (изменения количества движения и момента количества движения) записаны в обобщенной формулировке (принцип виртуальных скоростей). Значительная часть статьи посвящена рас­ смотрению термодинамических соотношений и установлению связей между термодинамическими параметрами соседних уровней. Обсужда­ ются подходы к формулировке конститутивных соотношений рассмат­ риваемых масштабных уровней.

Классификационными признаками для подразделения много­ уровневых моделей на классы могут быть выбраны: а) число уров­ ней, включенных в рассмотрение, и связанный с уровнями выбор «элементарной ячейки» (в дальнейшем будем называть ее «элемен­ том» соответствующего уровня); б) модель (гипотеза) связи одно­ типных характеристик различных уровней; в) физические теории, положенные в основу соотношения нижних масштабных уровней. В настоящее время подавляющее большинство используемых мно­ гоуровневых моделей относится к двухуровневым (макро- и мезоуровни), в качестве элемента нижнего уровня в таких моделях, как правило, выбирается кристаллит (зерно, субзерно); в последние го­ ды появляются трехуровневые модели (с добавлением микроуров­ ня). В подразд. 8.1 подробно рассмотрены идеология построения многоуровневых моделей и их классификация.

Весьма важным отличительным признаком многоуровневых мо­ делей, во многом определяющим «качество» моделей, является гипо­ теза о связи характеристик различных уровней (иногда говорят о ги­ потезе осреднения, или о гипотезе агрегирования - объединения эле­ ментов нижележащего уровня в элемент более высокого масштабного уровня). На различных вариантах таких связей подробно остановимся в подразд. 8.2.

Вопросы к разделу «Введение»

1.Что понимается под мезо- и микроструктурой? Какие характери­ стики мезоструктуры оказывают наибольшее влияние на физико-меха­ нические макросвойства материалов?

2.Чем объясняется необходимость исследования эволюциони­ рующей мезо- и микроструктуры?

3.Почему одни и те же по химическому составу поликристаллические материалы способны демонстрировать как изотропные, так

ианизотропные макросвойства? Приведите примеры изменения симметрийных свойств.

4.Дайте краткое определение двух основных подходов, исполь­ зуемых для построения определяющих соотношений.

5.Назовите основные понятия, определения и структуру конститу­ тивных моделей материала, основанных на использовании внутренних переменных.

6.Назовите основные положительные и отрицательные стороны моделей с внутренними переменными.

7.Приведите краткое описание многоуровневых моделей.