Основы создания полимерных композитов

можно пренебречь по сравнению с pS2

Биквадратное уравнение (5.20), следовательно, трансформиру­ ется в обыкновенное квадратное уравнение, решая которое с учетом

или с учетом уравнения (5.14) получим окончательно из уравнения (5.25):

301

ищем в виде:

£ = A{chS^ + A2chS2%+ A3cha^cosag + A4sha4sina^ , (5.30)

где постоянные At можно найти из граничных условий, к формули­

ровке которых мы и переходим. Рассмотрим случай свободного опирания торцов армирующих слоев, который представляет наибольший практический интерес.

Для перерезывающих сил Q. и изгибающих моментов М. имеем следующие условия на торцах (х = ±0,5/): Q 0 = Q \ = 0 ; М0 = Mt = 0.

В силу парности касательных напряжений в полимерном слое

Далее, из условий совместности деформаций имеем:

Лк = Лк +hk£ l .

Считая, что торцевая плоскость при деформации перемещается

Следовательно, учитывая (5.31) и (5.31), граничные условия от­ носительно изгибающих моментов и перерезывающих сил запишем в

Определим теперь г в функции от £ Решая систему (5.12) относи­ тельно г = г, и переходя к переменной £ после некоторых преобра­ зований получим:

Ъd f f j 64В

303

С другой стороны , интегрируя уравнение (5.13), имеем:

где СI - некоторая постоянная интегрирования. Сравнивая уравнения (5.32) и (5.33), получим:

9bEyy bjh + h ^ l1

В силу нечетности функций

очевидно, что С, = 0. Следовательно:

Подставляя значение £ из уравнения (5.30) в (5.34), получим сис­ тему четырех линейных однородных уравнений относительно А:.

у4|5,5Л5| + A2S2shS2 + Aya{sha cos а - chasm а)+ + A4a(ch a sin а + sha cos а) = 0

AiS2chSi + A2S\chS2 - 2Аъа 2sha sin a + 2A4a 2chacosa = 0

AiSishSl + A2S\shS2 - 2 A ia*{chas\na + sha cos a ) - - 2y44a 3(sinacAa - shacosa) = 0

304

Условие существования нетривиальных решений для А. приво­ дит к следующему характеристическому уравнению:

Упростив это уравнение с учетом того, что S2 » 1 и, следова­ тельно, c t h S 1, получим следующее трансцендентное уравнение:

SxSlshSxshS2 cha shlxshl2(2d3 - d + \) = 0, cosа

где

=А.2 = - ^ ^ Г ± у [у 2 - 2 к 2 , i = 4^\

Анализ корней этого уравнения показывает, что наименьшее ре­ шение описывается формулой

У = 2к2 п2п2 (и = 0 , 1,2,...),

п2п2

где п выбирается таким, чтобы при данном к получить уып.

Минимизируя у по п, имеем у = k j2 , откуда, учитывая уравне­

ние (5.13), получим окончательно следующее значение критической силы:

Рассмотрим теперь случай, когда средний и крайние армирую­ щие слои не равны между собой, т.е.

Тогда из системы (5.9), принимая во внимание уравнения (5.10) и (5.11) при к = 1,2, получим после ряда упрощений:

305

Система (5.38) с точностью до коэффициентов совпадает с сис­ темой (5.12), поэтому имеем:

Опуская промежуточные выкладки, аналогично случаю равных армирующих слоев, используя уравнения (5.36) и (5.40), окончательно получим следующие значения критической силы при местной потере устойчивости системы:

2.1.2.6. "Кососимметричная" форма потери устойчивости

Поскольку в этом случае потери устойчивости все армирующие слои выпучиваются в одну сторону, то принимаем:

и 0 = и , = и 2 = и , V0 =Vl = V3 = V , г,= г2 .

В силу отсутствия 0-го и 3-го полимерных слоев имеем г0 = г3 = 0. Окончательно получим:

Ci = С2 - £ >Х\ - Xi - \ = Яг = о ,

306

и очевидное статическое условие:

-и

jtdg = 0. -1

Таким образом, с точностью до коэффициентов пришли к из­ вестной задаче об устойчивости многослойной системы [44]. Следо­ вательно, справедливо уравнение

О)

У - (5.48)

У

Подставляя в уравнение (5.48) величины у, к и со из формул (5.45), получим следующее значение критической силы:

С учетом уравнения (5.45) после некоторых упрощений имеем:

Из рассмотрения устойчивости пятислойной модели были выве­ дены формулы (5.41) и (5.49) для определения критических усилий в случае симметричной и кососимметричной форм потери устойчиво­ сти.

Используя эти соотношения, получим значения критических на­ пряжений, возникающих при потере устойчивости в ортогонально армированных и однонаправленных пятислойных системах. При

308

этом допускаем, что относительные содержания арматуры в слое вы­ ражаются приближенной зависимостью

Предполагаем далее, что каждый армирующий слой является од­ нонаправленной структурой, в которой волокна располагаются ста­ тистически, и, следовательно, для определения упругих постоянных слоя [54, 55] можно записать:

Поскольку значения критических усилий уравнения (5.41) суще­ ственно превосходят соответствующие значения уравнения (5.49), ис­ следуем устойчивость при сжатии пятислойных композитов в случае кососимметричной формы потери устойчивости. Определим критиче­ ские напряжения сгкр в армирующих слоях в предположении, что <jKpi пропорциональны жесткостям Z), (/' = 0,1, 2) этих слоев:

Если допустить, что толщины армирующих слоев равны между собой, т.е. Ло = hi = hi = А, то, согласно уравнению (5.50), имеем:

309

Вслучае однонаправленной пятислойной системы, когда D\ = £Ь

иВ\ = Вг, получим:

3Sf ( 2 - F fl)

(5.55)

*4(1 - F J

Значение <ткр, определяемое по уравнению (5.55), меньше значе­ ния, полученного Розеном, что объясняется эффектом крайних слоев.

Для ортогонально армированной системы (направление армиро­ вания в слое 1 совпадает с направлением действия силы) имеем сле­ дующие значения жесткостей слоев:

Вх= 1/12 Exbh3 = 1/12 ЕaFabh*, В2 = 1/12 E vbh3 = 1/12— bhl

Fc

Следовательно, с учетом уравнений (5.52) и (5.54) можно записать:

2.1.3. Устойчивость некоторых моделей многослойных систем

Исследуем устойчивость при локальном сжатии некоторых мо­ делей однонаправленных композитных материалов. Решения рас­ смотренных ниже задач будут использованы при прогнозировании прочности композита при сжатии.

Изучим вначале устойчивость трехслойной модели, представ­ ленной на рис. 9, а. Анализ этой модели ведется на базе системы диф­ ференциально-разностных уравнений (5.9). Пусть = 0, qyk = 0, т.е. погонные составляющие внешней нагрузки отсутствуют. Пусть далее

310