Основы создания полимерных композитов

Разрушение волокна происходит при напряжении сг, равном Ф(Д) - Ф(А>).

Параметр /ЗЬ - случайная величина, зависящая от многих техно­ логических факторов — натяжения, скорости намотки, шага рас­ кладки, температуры связующего, режима термообработки и т.д. При этом влияние всех этих факторов на величину /Зо равновероятно. По­ этому можно допустить, что fh распределена по нормальному закону.

Пусть мр0 =а, Dp0 =сг2. Раскладывая функцию Ф(/й) в ряд Тей­ лора в окрестности а и ограничиваясь линейными членами разложе­ ния, получим:

Ф ( Р ) ~ Ф(А,) * Ф(/?) - Ф(а)- Ф'(я)(Д, " я) •

Следовательно, прочность волокна подчинена нормальному закону распределения со средним значением

и дисперсией

Jo-

Следует отметить, что нормальный закон распределения

достаточно хорошо соответствует действительности, если разброс Р(о) невелик.

Однако, как отмечалось выше, на разброс /?(о) существенно влияют технологические факторы и режим нагружения, имеющие случайный характер. Поэтому в ряде случаев разброс значений fi(cr) бывает большим, и следовательно, предложенная модель может быть применена лишь в первом приближении.

Распределение Вейбулла находит широкое применение для опи­ сания прочностных свойств элементарных волокон. Это отчасти объ­ ясняется его общностью - оно содержит в себе как частный случай показательное распределение (при р = 1), распределение Релея (при р = 2), нормальное распределение, т.е. любое реальное распределение приближается распределением Вейбулла лучше, чем другими распре­ делениями. Поэтому для дальнейшего анализа примем именно этот вид распределения.

271

Итак, пусть волокно разрушено. Тогда в месте разрушения нор­ мальные напряжения отсутствуют. По мере удаления от места раз­ рыва, благодаря касательным напряжениям, действующим на поверх­ ности контакта, нормальные напряжения растут и достигают перво­ начальных значений.

Исследуем процесс передачи усилий от разорванного волокна к остальным и попытаемся найти и оценить условия, при которых эта передача возможна.

В работах ряда авторов, например [11, 12], использующих мо­ дельные представления для исследования механизма перераспределе­ ния усилий в стеклопластике, в полимерной матрице вследствие ма­ лой толщины прослойки связующего учитываются лишь касательные напряжения. Однако, хотя толщина полимерных пленок в композите действительно мала, все же в реальной структуре пластик является пространственной системой, в которой армирующие элементы распо­ лагаются вполне определенно по толщине и в плоскости образца. По­ этому, даже если взять случай нагружения в плоскости слоя, то воз­ можны сжатие, растяжение и сдвиг в направлениях, не совпадающих с направлениями армирования. В матрице возникает сложное напря­ женное состояние, и весь ее объем участвует в передаче нагрузки.

Далее, в большинстве работ, посвященных исследованию меха­ низма передачи усилий в композите, не учитываются изгибные эф­ фекты, что может привести к существенным погрешностям. Поэтому при определении напряжений в полимерной матрице, участвующих в передаче усилий от одного волокна к другому, будем рассматривать напряженно-деформированное состояние композита с учетом изгиба армирующих слоев и двумерного напряженного состояния в поли­ мерной матрице.

Пусть к-й слой разрушен. Передача усилий от него к - 1-му и к+ 1-му армирующим слоям происходит посредством напряжений а и г, возникающих в полимерной матрице. Эти напряжения можно най­ ти, решая полную систему дифференциально-разностных уравнений, описывающих деформированное состояние к-го полимерного слоя, с учетом принятых выше допущений [13].

В случае симметричного деформирования и при условии, что же­ сткости и толщины (&-1) и (А:+1)-го слоев равны между собой и не равны соответствующим значениям для к-го слоя, решение системы имеет вид [13]:

272

где

сток - максимальное значение напряжения, возникающего в А>м слое.

Как было отмечено выше, разрушение образца, состоящего из стеклянного стержня, помещенного в полимерную матрицу, происхо­ дит в сечении, отстоящем от места разрушения волокна на некотором расстоянии 1к, причем в этом сечении касательные напряжения не дос­ тигают максимальных значений, найденных по формуле (5.4), что, видимо, связано с неучетом неупругих деформаций, конкретных ус­ ловий закрепления и некоторых других факторов, имеющих место в реальных материалах.

Поэтому более строгим для исследования механизма передачи усилий является использование напряжений и деформаций на гра­ нице зоны краевого эффекта.

Фиксируя £ = 4 как границу области опасных касательных на­ пряжений, приводящих к разрушению материала, и используя соот­ ношение (5.4), найдем соотношение, связывающее длину зоны крае­ вого эффекта 1к с параметром системы rjk и коэффициентом использо­ вания прочности арматуры ки\

(5.5)

где

После разрушения волокна композит может вести себя по-раз­ ному.

Во-первых, большие касательные напряжения тк могут привести к расслоению вдоль разрушенного волокна, т.е. к отделению волокна от связующего. Это расслоение может распространяться неограни­ ченно, уменьшая эффект армирования, и может быстро локализо­ ваться. Во-вторых, большие нормальные напряжения <тк могут вы­ звать разрушение полимерной матрицы, распространяющееся от конца разрушившихся волокон к соседним.

Для того чтобы нагрузка от непосредственно загруженных воло­ кон к незагруженным передавалась полностью, связующее должно

273

отвечать условиям монолитности (сплошности).

Если записать эти условия в виде: Ut - х, - yt > 0 (/ = 1 -s- 4), где х,- упруго-прочностные и деформативные характеристики связующего; yf- упруго-прочностные и деформативные характеристики арматуры, исправленные на некоторый коэффициент kh то вероятность выпол­ нения условий сплошности (монолитности) композита с учетом фак­ тора времени можно представить следующим образом [14]:

exp(-AVJ0 - y i0e\p(-Xyit)

Р ( 0 =

где индекс "О" означает начало эксплуатации; xhyhcrxhcryi - средние

значения и дисперсии случайных величин х, и yf, гху - коэффициент парной корреляции; Ях1, Яу( - величины, обратные к математическим ожиданиям времени непоявления отказов для величин х, и y h соответ­ ственно.

Итак, пусть армированный пластик с вероятностью р моноли­ тен, т.е. с вероятностью р выполняются все условия сплошности, и,

следовательно, передача усилий от одного волокна к другому с веро­ ятностью р - идеальная. В таком случае стеклопластиковый компо­

зит можно рассматривать как пучок п связанных волокон. Прочность />го волокна, как указывалось выше, - случайная ве­

личина <ук, имеющая функцию распределения qk(cr) = Р{<тк < сг}. Тог­

да вероятность неразрушения А:-го волокна вплоть до напряжения а равна рк(сг) = \ - q k(cr). Состояние всякого к-то волокна можно за­ дать следующей функцией:

О- если при напряжении а волокно не разрушилось, 1 - если при на­ пряжении <т волокно разрушилось. Тогда состояние всего пучка во­ локон можно задать двоичным вектором

е(&) = (<г),е2 (<т),-,еп(сг)}.

Положим, что пучок находится только в двух состояниях - раз­ рушенном и неразрушенном, т.е.

274

О - если при напряжении <т волокна не разрушены, 1 - если при на­ пряжении «тволокна разрушены. Очевидно,

<р{°) = f[e\((T),e2((r),...,en(<j)].

Тогда вероятность того, что все волокна не разрушатся вплоть до на­ пряжения <т[10]

П

ее Е . к=\

где Е* - множество, которое удовлетворяет следующему условию:

£ .= { е : /( е ) = О}.

Однако, так как число волокон, равное п, и тем более число со­ стояний, равное 2я, огромно, то практически найти значение Р по предложенной формуле чрезвычайно трудно. Поэтому несколько уп­ ростим задачу, рассмотрев ряд вероятностных моделей разрушения композита. При нагружении стеклопластика наиболее слабые во­ локна начнут разрушаться сразу после приложения нагрузки. Остав­ шиеся волокна, загружаясь через полимерную матрицу, начинают дробиться, пока длина оставшихся кусков не станет меньше критиче­ ской длины 1к.

Поскольку разрушение волокна - случайный процесс, то для описания разрушения композита можно привлечь известное положе­ ние о слабейшем звене.

Пусть волокно разрушается в точках, где имеются дефекты. То­ гда на расстоянии / < 1к около отдельных разрывов часть каждого во­ локна можно считать неэффективной, так как напряжение в нем со­ ставляет некоторую долю ки от номинального напряжения в сплош­ ном волокне. Поэтому композит можно считать состоящим из слоев, высота которых равна длине утратившей эффективность части воло­ кон, т.е. 21к. При этом число звеньев составляет п = LI2lk , где L - дли­ на волокна; 1к - длина зоны краевого эффекта, определяемая по фор­ муле (5.5).

Можно считать, что звенья в системе соединены последова­ тельно, так как разрушение любого звена вызывает разрушение всего композита. Материал не разрушится при напряжении а только в том случае, если не разрушаются все звенья, т.е.:

275

Полагая, что события ^•(cr) = i>{aI <а} и Рм (а) = Р{етм < а } неза­

висимы, имеем

Р(сг) = рР](<т)Р2(сг)...Рп(а).

Тогда вероятность разрушения материала

Q = \-P,P2...PnP = \ - ( \ - q ^ \ - q 2)-X\-qn)(\-q)^

Если qx+ q2 +... + qn + q « 1, то приближенно имеем:

П

/=1

где абсолютная ошибка Л < 1/2(^, +q2 +... + qn +q)2 Интенсивность разрушения стеклопластика можно представить следующим образом:

Если qk = q , то Q = \ - ( f - q n) ( \ - q ) ; Р = (1-^л)(1 - q ) . Пусть, напри­ мер,

Для описания процесса разрушения можно также применить ве­ роятностную модель процесса чистой гибели. Пусть из m волокон одно "рабочее", а остальные - "резервные" При разрушении рабо­ чего волокна с вероятностью р включается "резервное" волокно.

Стеклопластик считается разрушенным, если разрушены все его эле­ менты. Если <р- интенсивность разрушения / волокна, то суммарная интенсивность разрушения оставшихся неразрушенными (п - к) воло­ кон, очевидно, составляет: (рк = (п - к) <р, т.е. получим марковский однородный процесс с состоянием 0,1, 2, ..., в котором мгновенные

276

скачки возможны только вверх на одно состояние. Этот процесс, как известно, называется процессом чистой гибели.

Предположив, что <рт= 0, т.е. сделав состояние т поглощающим (попав в это состояние, процесс в нем остается) и введя вероятности состояний Рк(сг) = P\g(o) = к\, найдем вероятность разрушения стек­

лопластика Q(<J ) = Рт(сг).

Для вероятностей состояний материала нетрудно составить уравнения Колмогорова [10]:

^о(сг) = <Роро(°)

' P k ( ° ) = < P k - \ P k - \ ( < 7 ) - < P k P k ( ° ' ) •

......./с = 1Д,...,т — 1

Рт ( ° ) = <Рт-\Рт-\< < °)

При <7= 0 ни одно волокно в системе не разрушено. Следовательно:

Р0(0) = 1, Р*(0) = 0, к > 0 .

Применяя к системе преобразования Лапласа

Qk(z)= jexp(-z <j)Pk(a )da

о

и используя его свойства, нетрудно получить [10, 15] следующую приближенную формулу для расчета надежности стеклопластика:

т- 1

П ? ' /=1

Q ( ° ) = ■a q

т\

относительная погрешность которой не превосходит величины

т- 1

(m + ir '^ p .o - /=о

Если стеклопластик монолитен с вероятностью р , то можно

предложить еще одну модель его разрушения, учитывающую неиз­ бежную локальность приложения нагрузки и разброс свойств арма­

277

туры. Пусть вначале загружено одно волокно, имеющее функцию прочности Р0. Через него нагрузка передается ^-одинаковым волок­ нам с функцией прочности Ph через каждое из которых - а,-волокнам с функцией прочности Р2и т.д. (рис. 1).

Рис. 1. Статистическая "ветвистая" модель разрушения композита

Разрушение каждого волокна выключает из работы все волокна, следующие за ним. Волокна последнего л-го слоя называются выход-

П

ными, и их число N = ]^[я,

1=1

Материал считается разрушенным, если число работающих вы­ ходных элементов стало меньше некоторого критического числа т. В качестве состояния системы Sk можно взять число работающих вы­ ходных элементов хп, гделг„= 0,1,2,...Д [10].

Последовательность х0, х„ ..., х„ образует марковскую цепь, ко­ торая является частным случаем дискретного ветвящегося процесса Гальтона - Ватсона, анализ которого может быть произведен, на­ пример, методом производящих функций.

Приближенная оценка процесса может быть описана следую­ щими формулами:

Р(а) = р ] Г с ? ± .Л /(^)(Л Г -х„)'-*

—к£—т N

/п

где

1 к\(1-к)\

Если условия монолитности (сплошности) не выполняются, то разрушение композита происходит, как указывалось выше, или вследствие потери сплошности границы раздела волокно - связую­ щее, т.е. при разрушении материала происходит выдергивание воло­ кон из полимерной матрицы, или вследствие разрушения связующе­ го.

278

Рассмотрим вначале первый случай. Однонаправленный стекло­ пластик - система параллельных волокон в полимерной матрице. В силу неизбежной локальности приложения нагрузки и неравномерно­ сти распределения упруго-прочностных свойств элементов композита по его объему вначале происходит выдергивание одного волокна, по­ том другого, третьего и т.д. Разрушение системы наступает в том слу­ чае, если все ее несущие элементы - волокна.

Таким образом, принятая схема может быть смоделирована па­ раллельным (в смысле надежности) соединением элементов, когда для работы системы достаточно одного (или нескольких) элементов, а остальные играют роль резервных. Если условия монолитности не выполняются с вероятностью q , а все волокна одинаковы (в смысле

О

где т - число волокон в матрице.

Рассмотрим теперь второй случай, когда разрушение системы происходит только вследствие разрушения связующего. Интерпрети­ руем стеклопластик моделью, представленной на рис. 2.

Рис. 2. Статистическая "последовательная" модель разрушения композита

Элементы модели - линии связи, передающие нагрузку. В каче­ стве этих элементов применяется связующее, вероятность разрушения которого обозначим через рс. Из точки А усилие передается на пер­ вые два волокна, каждое из которых передает его на следующие два волокна и т.д. Волокна считаются неразрушимыми, а стеклопластик - неразрушенным, если нагрузка передается от точки А к точке В.

Можно рассматривать нашу систему S„, как т-й член некоторой последовательности чисел S\, S2 Sm ,..., в которой каждая после­ дующая система получается из предыдущей добавлением нескольких элементов [10]. Тогда можно показать, что вероятности р(.(о) и qc(d) удовлетворяют рекуррентным уравнениям Колмогорова, а вероят­ ность неразрушения системы можно представить следующим обра­ зом:

279

Рассмотрев возможные механизмы разрушения однонаправлен­ ного стеклопластика, перейдем к определению его прочности в стати­ стическом аспекте, учитывая, что основную силовую нагрузку вос­ принимает арматура.

Нагрузка на однонаправленный стеклопластик, состоящий из N волокон, где п волокон разрушено, а г = N - п не разрушено, состав­ ляет Т = a rFr, где сгг - напряжение в неразрушенных г волокнах, а

Fr - площадь пучка из г волокон. Однако rIN = FrIFN , где FN- пло­

щадь пучка из N волокон. С другой стороны rIN = Р(о). Следова­ тельно, Т = (jrFNP(<j). Используя уравнение (5.6), получим:

Найдем 7шах. Минимизируя Т по <хг, имеем:

или с учетом соотношений (5.5) и Ы21к = п имеем при длине образца

L:

Следовательно:

Тогда окончательно получим следующее значение прочности стекло­ пластика при растяжении:

Это соотношение, найденное исходя из статистически-вероятно- стного рассмотрения механизма разрушения композита при растяже­ нии, может служить для качественной оценки прочности композита.

Анализ его, в частности, показывает, что прочность композита при растяжении обратно пропорциональна корню квадратному из

280