Курс механики сплошных сред

С другой стороны, так как движение среды стационарно, а тело В непо­ движно, то на поверхности дВ согласно II.4.3 имеет место равенство U-n —0. Уравнение (18) приводит тогда к искомому результату:

Справа известен член [/]^ и достаточно, таким образом, найти значения ско­

рости и напряжения на некоторой поверхности 2, окружающей тело В, чтобы рассчитать воздействие среды на это тело. Заметим, что при / = 0 правая часть равенства (19) не зависит от того, какая поверхность 2 выбрана. С другой сто­ роны, [<ff] зависит только от характеристик движения на произвольно выбранной поверхности 2, включающей в себя препятствие в виде тела В. Иногда говорят, что 2 является контрольной поверхностью.

III.2. ЛОКАЛЬНЫЕ с в о й с т в а т е н з о р а н а п р я ж е н и й

Поставим задачу изучить тензор напряжений в некоторой внут­ ренней точке системы о. Не ограничивая общности, эту точку можно принять за начало координат О. Обозначим через Т (п) вектор на­ пряжений в этой точке для направления п.

Речь пойдет в основном о применении самых известных и общих свойств симметричных тензоров второго ранга. В случае необходи­ мости дополним их некоторыми понятиями, полезными при изуче­ нии напряжений. При необходимости можно обращаться к соответ­ ствующим выводам главы, посвященной тензорам (П1.4).

III.2.1. Квадратичная форма, соответствующая тензору напря­ жений. Нормальное напряжение. Тензор напряжений 2 является

картовой системе координат в развернутом виде и обозначив через а/у компоненты 2, а через ст,уХу—компоненты тензора 2 (Я), получим

Q (X) = X ioijXj = cxnXJ + сг22Ха + а33Хз + 2о12Х гХ 2+

матрицу, составленную из элементов aiy, а X-матрицу-столбец,

натных осей, то

Формула (24) приводит непосредственно к формулам, Позволяю­ щим выразить тензор 2 в новой ортонормированной системе коор­ динат*. Пусть е'р(р= 1, 2, 3)—единичные векторы новой системы.

Обозначим через Р ортогональную матрицу, позволяющую выразить

е'р через ер

Пусть также opq компоненты матрицы напряжений в базисе ер. Тогда в силу свойств линейности имеем

Используя матричную запись, этот результат перепишем в виде

Нетрудно видеть, что 2 легко выражается через 2 ', так как с уче­ том того, что базисы et и е'р—ортонормированные, матрица Р яв­ ляется ортогональной (РТР = РРТ =1). Умножая обе части равен­ ства (27) слева на РТ, а справа на Р, получим

III.2.3. Переход к новой системе координат. Полученный резуль­ тат может быть обобщен, если движение сплошной среды наблю­ дается в системе координат 91*, находящейся в произвольном, но известном движении относительно системы отсчета 91. Таким образом, система отсчета 91* не обязательно галилеева.

Наши рассуждения базируются на одном фундаментальном утверж­ дении, на которое обращаем особое внимание и которое составляет, строго говоря, аксиому, имеющую очень большое значение для характеристики внутренних усилий. Эта аксиома называется аксио­ мой объективности внутренних воздействий: внутренние воздей­ ствия не зависят от системы отсчета, в которой наблюдается движение.

Как указано в главе I, такая формулировка вполне совместима с информа­ цией, которую можно извлечь из применения основного .закона к внутренним воз­ действиям в системе 5. Действительно, независимо от системы отсчета основной закон может быть записан в форме, аналогичной уравнению (16):

\Т\д$= [PYljz)—[/]#'

при условии, что слагаемое [/]<£, представляющее действие внешних относительно

S сил на область £?), будет содержать переносную и кориолисову силы инерции. Правая и левая части равенства, выражающего торсор сил, действующих на область со стороны дополнения S ) до системы S, в этом случае не зависят

* Ниже кратко напомним весьма простое рассуждение, из которого следуют формулы преобразования базиса (см. также П1.2.3).

от системы отсчета (но каждый из членов правой части зависит от системы от­

счета).

Аксиома объективности является одновременно общей и локальной формами глобального результата, который только что установлен для произвольной части системы 5.

В интересующем нас случае формулировка аксиомы о независи­ мости внутренних сил от системы отсчета подразумевает, что в лю­ бой данной точке и для любого фиксированного момента времени тензор напряжений не зависит от системы отсчета, в которой на­ блюдается движение, т. е. внутренние воздействия определяются всегда тензором 2.

Точнее, если

x' = C (0 + P (/)x , = + (29) представляют собой координаты в системе отсчета 91* частицы, кото­

Трудно переоценить значение этого свойства. Работа большинства измери­ тельных приборов основана на неявном использовании именно аксиомы объектив­ ности.

Допускается, например, что удлинение эталонного динамометра дает возмож­ ность определить приложенную к одному из его концов силу в любой системе отсчета, в которой динамометр находится в относительном равновесии, будь то земная лаборатория или летящий самолет. Но такое удлинение связано с растя­ жением или сжатием динамометра (внутренние силы), которое согласно закону статики равно внешней силе, которую хотят измерить.

II 1.2.4. Главные оси. Главные нормальные напряжения. Приме­ ним к тензору напряжений в некоторой точке О хорошо известную теорему (приводимую в П1.4.4).

Существует по меньшей мере одна система отсчета, называемая главной, в которой матрица, представляющая этот тензор, является

Три скалярные величины о1э а2, а8 называются нормальными напряжениями или собственными значениями тензора 2 в точке О.

Главными осями тензора напряжений называют направления п , для которых Т(п) и п коллинеарны. Иными словами, направле* ние является главным тогда и только тогда, когда касательно^ напряжение для этого направления равно нулю.

Если величины о„ о2, о, различны, то оси х{ определяются единственным образом. Если, например, о1 = аг=£о3 [квадрики (Q) — тела вращения], то главными осями являются ось 0ха и любая прямая, выходящая из точки О перпендикулярно Охй. Нормальное

В этом случае любое направление, проведенное из точки О,— главное. Если же система (х() не главная, то величины о„ о2, а8 будут,

решение (я). Это решение, соответствующее корню о,- уравнения (31), определяет одну или несколько главных осей, соответствующих дан­ ному корню.

111.2.5. Скалярные инварианты тензора напряжений*. Главные нормальные напряжения а,, а2, о, с точностью до нумерации пред­ ставляют собой неизменные величины, соответствующие тензору напряжений. Поэтому любая симметричная функция аргументов о„ о2, стэ определяет некоторую неизменную величину, также связан­ ную с тензором напряжений. Как известно, любая рациональная симметричная функция аргументов о„ а2, а3 может быть рационально выражена через симметричные элементарные функции:

компонентов о(/ тензора в любой ортонормированной системе коор­ динат. В самом деле, имеем

det (Оу—об(у) = — (о—о,) (о — о2) (о — о3) = — о3 + 2,оа — 2„о -f 2,„.

Приравнивая коэффициенты при различных степенях а**, получаем

Можно также убедиться в том, что правые части равенств (32) не меняются при замене на o'ijt где ojy—компоненты (26) тен­ зора напряжений в другом ортонормированном базисе.

111.2.6. Девиатор напряжений. Величина s, определяемая равен­

*В П1.4.3 будут даны дополнительные сведения об инвариантах.

**Можно сделать непосредственное разложение или воспользоваться фор­ мулой (П1,44), см. также П1.4.3.

называется средним нормальным напряжением.

Шаровой тензор 2 5, задаваемый преобразованием А —►sAy назы­ вается шаровой частью тензора 2. Тензор 2D, для которого*

2 = 2 5+ 2 D,

называется девиатором тензора 2.

В ортонормированном базисе компонентами тензора 2 s являются sbiJy а компонентами тензора 2D служат величины siJy определяемые

Отсюда можно сделать следующие выводы: главные направления тензоров 2 и 2D совпадают, собственные значения тензора 2^ опре­

Мора, не давая полного представления о тензоре, тем не менее иногда оказываются весьма удобными для рассуждений. Определим в пространстве главный репер (х{) с началом в точке О и пусть п — единичный вектор, компоненты которого п{. Тогда компоненты век­

Обозначив через Tt модуль касательного напряжения по направ­ лению пу получим равенство

Поставим такую задачу: пусть тензор напряжений в точке О известен, а Тп и T t (Tt ^ 0) произвольны. Можно ли найти такое направление пу для которого принятые нами значения Тп и T t будут соответственно нормальным напряжением и модулем касательного напряжения?

Ответ прост. Составим систему из трех уравнений: (36), (37) и (38)

относительно квадратов единичных векторов. Искомое направление существует тогда и только тогда, когда система имеет решение, при­ чем найденные значения неизвестных положительны или равны нулю.

* Ниже будут использоваться также обозначения a s = s и crft= s/y. Точно

Указанная система решается легко. Пусть а, Ь и с —некоторые постоянные (пока произвольные), а выражение

Производя круговую перестановку индексов 1, 2 и 3, получаем вы­ ражения для п\ и п\. Остается убедиться в том, что найденные зна­ чения неотрицательны. Предположим для определенности, что CTi > аг > а8. тогда должны удовлетворяться следующие неравенства:

Эти неравенства легко представить в полуплоскости (Тп, Т ,^0 ): точка с координатами (Тп, T t) должна находиться в заштрихованной части, ограниченной тремя окружностями, называемыми кругами Мора (рис. 7). Ось Т„ проходит через центр трех окружностей, окружности попарно касаются друг друга. Абсциссы точек пересе­ чения окружностей с осью Т„ равны по величине главным нормаль­ ным напряжениям.

Если а1= агФ а я, то из равенства (40) при f (£) = (g — ог) (£—а,) следует, что система имеет решение только в случае, если

'П + (Та- о 1)(Тп- о , ) = 0

и соответствующая точка на полуплоскости (Тп%Т /) находится на окружности, задаваемой этим уравнением. Любой точке на этой окружности соответствует любое направление п, лежащее на конусе, определяемом уравнениями

111.2.8. Максимум касательного напряжения. Приведенные выше соображения позволяют, в частности, определить максимальное зна­

а нормальное напряжение Тп в этом случае равно —|—ст2 Согласно

найденным выше формулам, например (41), эти значения соответ­ ствуют направлениям я, для которых

т. е. совпадающих с биссектрисой угла (Олу Ох9), образованного главными направлениями, соответствующими собственным значениям (максимальному и минимальному).

III.3. НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ ПРИМЕРЫ

111.3.1. Шаровой тензор напряжений. Равномерное сжатие и равномерное растяжение (рис. 8, а). В этом частном случае в рас­ сматриваемой точке девиатор тождественно равен нулю. Имеют место следующие свойства:

чистое сжатие в одном направлении). По определению, тензор будет одноосным в направлении оси х19 если в рассматриваемой точке все

Тензор 2 является одноосным тогда и только тогда, когда любые два из главных нормальных напряжений тождественно равны нулю

тогда, когда одно из его главных нормальных напряжений будет равно нулю.

III.3.5. Линейная комбинация тензоров напряжений. Так как преобразование п —>Т(М , п) является линейным, то в случае, когда в точке М заданы два тензора напряжений, можно рассмотреть новый тензор напряжений, равный их сумме или линейной комбинации этих двух тензоров. Так, например, тензор 2 можно рассматривать как результат суперпозиции трех простых растяжений или сжатий по главным направлениям, а простой сдвиг в направлениях Ох1 и Ох2—как суперпозицию некоторого растяжения в направлении Охг й равного ему сжатия, направленного противоположно в направле­ нии Ох[. Здесь оси Ох[ и Ох2 направлены по биссектрисам угла

(Oxlt Ох2).

ДОПОЛНЕНИЕ

III.4. ДРУГОЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТЕНЗОРОВ НАПРЯЖЕНИЙ

Иногда полезно представить тензоры напряжений точками некоторого ортонормированного декартова пространства, например тензор с главными нормаль­ ными напряжениями оь о2, о3—точкой РА с координатами аь а2, а3. Фактиче­ ски нумерация сг4* не имеет значения и любой тензор напряжений будет представ­ лен шестью точками в этом пространстве. Из этого сразу же можно вывести сле­

мой Д и проходящей через начало координат. Образом девиатора тензора является точка т —проекция точки РА на плоскости П. Принято говорить, что точка т

есть образ тензора на плоскости П.

Образы одноосных тензоров лежат на координатных осях Оа1г Оо2, Оо3. Образы осесимметричных тензоров (которые можно рассматривать как сумму одно­ осного и шарового тензоров) лежат в плоскостях, проходящих через прямую Д и_три координатные оси. Образы девиаторов этих тензоров находятся на осях

Oolf Оо2, Оо3, являющихся ортогональными проекциями координатных осей на плоскость П (рис. 9).