- •Г.Г КАШЕВАРОВА, Т.Б. ПЕРМЯКОВА
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие сведения о математическом моделировании.
- •Численные методы
- •Элементы теории погрешности
- •Понятия мастера и надстройки
- •Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
- •1.1. Матрицы и векторы. Определения
- •1.2. Матрицы специального вида
- •1.3. Действия над матрицами
- •1.4. Нормы матрицы и вектора
- •1.5. Матрицы в задачах строительной механики
- •1.5.1. Матрицы влияния внутренних сил
- •1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм
- •1.5.3, Матричная форма метода сил
- •1.5.4. Матричная форма метода перемещений
- •1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей
- •1.7. Функции Excel для операций над матрицами
- •Категория: математические. Функции:
- •2.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод Гаусса для СЛАУ с ленточными матрицами
- •2.2.3. Метод прогонки
- •2.2.4. Метод (схема) Холецкого
- •2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.3.1. Метод Якоби (простых итераций)
- •2.3.2. Метод Гаусса - Зейделя.
- •2.3.3. Условия сходимости итерационного процесса
- •2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы
- •2.6. Вычисление определителя
- •2.7. Вычисление обратной матрицы
- •2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.8.1. Вводные замечания
- •2.8.2. Методы развертывания вековых определителей
- •2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю собственного значения
- •2.9.1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •2.9.4. Реализация метода Зейделя средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •3.1. Отделение корней
- •3.2. Этап уточнения корня
- •3.2.1. Метод половинного деления (бисекций)
- •3.2.2.Метод хорд
- •3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •3.3. Системы нелинейных уравнений
- •3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения Excel
- •3.4.1. Решение нелинейных уравнений
- •Последовательность действий
- •4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита
- •4.2.4. Сплайн-интерполяция
- •Глава 4. Аппроксимация
- •4.1. Задача и способы аппроксимации
- •4.2. Интерполирование функций
- •4.2.1. Постановка задачи интерполирования
- •4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •4.3. Среднеквадратичное приближение функций
- •4.3.1. Метод наименьших квадратов
- •4.3.4. Квадратичное (параболическое) приближение
- •4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания
- •4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц Excel
- •4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом наименьших квадратов
- •Последовательность действий
- •Последовательность действий
- •5.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •5.2. Квадратурная формула трапеций
- •5.3. Квадратурная формула Симпсона
- •5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Excel
- •Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
- •6.1.1. Задачи Коши и краевые задачи
- •6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
- •6.3. Численные методы решения задач Коши
- •6.3.1. Метод Эйлера
- •(геометрический метод решения задачи Коши)
- •6.4. Численные методы решения краевых задач
- •Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
- •Конечно-разностная аппроксимация функций двух переменных
- •Сходимость метода конечных разностей
- •6.5. Вариационный подход к решению краевых задач
- •6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления
- •6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума функционала
- •6.5.3. Метод Ритца
- •6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
- •Построение второй итерации
- •Последовательность действий.
- •Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
- •Глава 7. Метод конечных элементов
- •7.1. Основные положения МКЭ
- •Построение расчетной модели
- •Аппроксимация искомой функции
- •Составление разрешающих уравнений
- •Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •7.2.1. Классификация конечных элементов
- •Одномерный конечный элемент
- •Двухмерные конечные элементы.
- •элемента
- •Одномерный симплекс-элемент
- •Двухмерный треугольный симплекс-элемент
- •7.2.3. Интерполирование векторных величин
- •7.2.4. Разбиение области на конечные элементы
- •7.2.5 Нумерация узлов и элементов
- •7. 3. Основные соотношения МКЭ
- •7.3.1. Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости
- •7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов
- •7.4. Другие типы конечных элементов
- •7.4.1. Элементы Эрмита
- •7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ
- •7.6.1. Специализированные программные комплексы
- •7.6.2. Универсальные программные комплексы
- •8.1.1. Математическая модель задачи оптимизации
- •8.1. Общие сведения
- •8.1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •8.1.3. Классификация задач математического программирования
- •8.2. Постановка задачи оптимального проектирования
- •8.2.1. Определение входных и выходных параметров
- •8.2.2. Выбор целевой функции
- •8.2.3. Назначение ограничений
- •8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров
- •8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования
- •8.3. Задачи линейного программирования
- •8.3.1. Общая постановка задачи ЛП
- •8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя неизвестными
- •8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Задача об оптимальном плане выпуска продукции
- •Задача об оптимальном раскрое материалов (о минимизации отходов)
- •Задача о планировании смен на предприятии
- •Задача о покрытии местности при строительстве объектов
- •Транспортная задача
- •Задача о назначениях (проблема выбора)
- •8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании
- •8.4. Нелинейные задачи оптимизации
- •8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции
- •8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач оптимизации
- •Основные этапы поиска экстремума
- •8.4.3. Численные методы одномерного поиска
- •Метод перебора или равномерного поиска
- •Метод дихотомии (или половинного деления)
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод покоординатного спуска
- •Метод градиентного спуска
- •Метод наискорейшего спуска
- •Метод сопряженных градиентов
- •Метод Ньютона
- •Метод штрафных функций
- •8.5. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц Excel
- •Литература
- •Оглавление
- •Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
Дифференциальные уравнения, содержащие одну или несколько производных, имеют важное значение в практике инженерных расчетов. При разработке новых или реконструкции существующих строительных объектов приходится решать задачи, связанные с исследованием напряженно-деформированного состояния конструкций, распространения тепла, движения жидкости и др., которые, в конечном счете, сводятся к решению дифференциальных уравнений. К сожалению, немногие из этих уравнений имеют аналитическое решение, и чтобы их решить, приходится прибегать к разнообразным численным методам.
В зависимости от числа независимых переменных
дифференциальные уравнения делятся на две различные категории:
•обыкновенные дифференциальные уравнения,
содержащие одну независимую переменную и
•дифференциальные уравнения в частных производных,
содержащие несколько независимых переменных.
6.1.Обыкновенные дифференциальные уравнения
врасчетах строительных конструкций.
Обыкновенное дифференциальное уравнение л-го порядка в общем виде можно записать
F ( x ,y ,y ‘,...,у{1,)) = 0, |
(6.1) |
здесь п —наивысший порядок производной, входящей в уравнение.
Решение дифференциального уравнения (интегральная кривая)-это функцияу=у(х), которая при подстановке в уравнение (6.1) обращает его в тождество.
Дифференциальное уравнение, линейное относительно неизвестной функции у и ее производных, называется линейным дифференциальным уравнением.
Известно [28], что линейное дифференциальное уравнение п - го порядка имеет множество решений.
Общее решение такого уравнения можно записать в виде
У = 9(*, С,,С2,..., Сн ) = ]Г С,ф, (х) + ф* |
(6.2) |
/ = 1
где ф/(д:) - частные решения однородного уравнения, ер*- частное решение неоднородного уравнения,
Ci,C2,...,C„ - произвольные постоянные, определяемые из дополнительных (начальных или краевых) условий.
Приведем примеры некоторых прикладных задач, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые встречаются в расчетах строительных конструкций.
■ Пример 6.1. Деформированное состояние каждого элемента произвольной стержневой системы описывается системой
дифференциальных уравнений:
ли
/Т~? г~ГГ
Рис.6.1. К расчету стержневой системы
г d2w |
\" |
(6.3) |
EJ |
+ qw = f(x) |
|
V Их* У |
|
|
|
|
J |
здесь w —прогиб стержня (перемещения, перпендикулярные оси);
и - перемещения вдоль оси стержня.
В строительной механике при расчете стержневых систем дифференциальные уравнения не упоминаются, так как при решении обычно представляют интерес частные решения, удовлетворяющие
граничным условиям, вид которых известен заранее. Уравнения строительной механики (канонические уравнения метода сил, метода перемещений и др.) составляются для определения произвольных постоянных, которым придается вполне определенный физический смысл: в методе сип постоянные интегрирования - это силы, а в методе
перемещений - перемещения.
■ Пример 6.2. Из курса сопротивления материалов известно, что вертикальный прогиб однородной балки с достаточной степенью точности описывается дифференциальным уравнением 4-го порядка:
[Щх) у "]" =q (х), |
(6.4) |
где EJ(x) - жесткость балки при изгибе.
Рис.6.2 К задаче об изгибе балки
Известно общее решение этого дифференциального уравнения при EJ(x)=Const и постоянной нагрузке q(x) = р:
рх4
Е1у = |
+ схх3+ с2х2+ с3х + с4. |
(6.5) |
Для определения произвольных постоянных требуется четыре дополнительных условия.
Очень часто для описания изгиба балки используют дифференциальное уравнение упругой линии в виде
cl2y _ М
(6.6)
dx2 ~ EJ'
где М —изгибающий момент в сечении балки; EJ—жесткость стержня на изгиб.
6.1.1.Задачи Коши и краевые задачи
Взависимости от вида дополнительных условий различают два основных типа задач для обыкновенных дифференциальных уравнений:
1.Задачи Коши,
2.Краевые задачи.
Если дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной х, то такая задача называется задачей с
Если краевая задача линейна относительно неизвестной функции у=у(х) и всех ее производных, то такая задача называется линейной краевой задачей.
Очевидно, что краевые задачи возможны для уравнений порядка не ниже второго.
В качестве дополнительных условий в задачах строительной механики стержневых систем обычно используются условия закрепления концов стержня, например:
Жесткая заделка |
Прогиб у и угол поворота ф= У равны нулю: |
||
у=0; у'=0; |
|
||
|
|
||
Шарнирное опирание |
Прогиб у и изгибающий момент М = EJ(x) у' |
||
равны нулю: |
у=0; У/=0/ |
||
р — |
|||
|
|
||
Свободный конец |
Изгибающий момент и поперечная сила |
||
Q=[EJ(x) / 7 |
' равны нулю: У/=0; у"=0. |
||
|
Возможны и другие более сложные случаи закрепления.
■ Пример 6.4. Примером краевой задачи может служить задача об изгибе балки (пример 6.2) при условии, что один конец этой балки шарнирно закреплен (при х = 0), а другой - жестко заделан (при х = L) (рис.6.2). Краевые условия в этом случае задаваемые при разных значениях х имеют вид:
у(0) = 0 , |
У (0) = 0 , |
Ч |
(6.12) |
у(Ц =0, |
y(L) = 0 |
J |
|
Таким образом, система уравнений (6.4), (6.12) описывает краевую |
|||
задачу. |
|
|
|
■ Пример 6.5. Еще один пример |
краевой задачи |
об устойчивости |
стержня.
Уравнение устойчивости стержня постоянного сечения под действием сжимающей силы можно записать в виде
(6.13)
dx* + EJ dx2
или y / v |
+ k 2y f/ =О, |
У |
|
.9 |
t |
р |
|
р |
4-- |
X |
|
здесь к~ = ----, |
|
||
|
E J |
4 |
|
Р - сжимающая сила, |
|
||
|
|
||
Е - модуль упругости материала, |
Рис.6.4. К расчету |
|
|
J - |
момент инерции сечения. |
устойчивости стержня |
Краевые условия для стержня с шарнирными концами запишутся:
при*=0 |
><0)=0; |
У/(0)=0; |
(6.13 а) |
при x = L |
jy(Z,)=0; |
/(L )=Q- |
(6.13 6) |
■ Пример 6.6. Краевая задача р а с ч е т а о д н о м ер н о го т ем п ерат урн ого
поля в однородном стержне длиной L. Один конец стержня жестко закреплен и к нему подводится тепловой поток q заданной интенсивности. На свободном конце стержня происходит конвективный теплообмен с внешней средой. Известны коэффициент теплообмена а , коэффициент теплопроводности материала стержня \ х и температура окружающей среды Г*. Вдоль боковой поверхности стержень теплоизолирован.
Температурное поле в стержне описывается уравнением теплопроводности:
d 2T |
|
|
(6.14) |
|
|
— у = 0 |
|
|
|
||
ах |
|
|
|
|
|
Краевые |
|
условия |
определяются |
|
|
уравнениями: |
|
|
|
|
|
clT |
= 0 прил*=0, |
(6.14 |
а) |
Рис.6.5. Однородный |
|
Ях.— + <7 |
стержень под действием |
||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теплового потока |
|
,т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л , — +а ( Т |
- Т *) = 0 при х = L. (6.14 6) |
|
|||
dx |
|
|
|
|
|
Несмотря на разнообразие форм краевых условий, краевые задачи решаются в основном одними и теми же численными методами, что оправдывает их объединение в один тип.