- •Г.Г КАШЕВАРОВА, Т.Б. ПЕРМЯКОВА
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие сведения о математическом моделировании.
- •Численные методы
- •Элементы теории погрешности
- •Понятия мастера и надстройки
- •Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
- •1.1. Матрицы и векторы. Определения
- •1.2. Матрицы специального вида
- •1.3. Действия над матрицами
- •1.4. Нормы матрицы и вектора
- •1.5. Матрицы в задачах строительной механики
- •1.5.1. Матрицы влияния внутренних сил
- •1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм
- •1.5.3, Матричная форма метода сил
- •1.5.4. Матричная форма метода перемещений
- •1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей
- •1.7. Функции Excel для операций над матрицами
- •Категория: математические. Функции:
- •2.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод Гаусса для СЛАУ с ленточными матрицами
- •2.2.3. Метод прогонки
- •2.2.4. Метод (схема) Холецкого
- •2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.3.1. Метод Якоби (простых итераций)
- •2.3.2. Метод Гаусса - Зейделя.
- •2.3.3. Условия сходимости итерационного процесса
- •2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы
- •2.6. Вычисление определителя
- •2.7. Вычисление обратной матрицы
- •2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.8.1. Вводные замечания
- •2.8.2. Методы развертывания вековых определителей
- •2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю собственного значения
- •2.9.1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •2.9.4. Реализация метода Зейделя средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •3.1. Отделение корней
- •3.2. Этап уточнения корня
- •3.2.1. Метод половинного деления (бисекций)
- •3.2.2.Метод хорд
- •3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •3.3. Системы нелинейных уравнений
- •3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения Excel
- •3.4.1. Решение нелинейных уравнений
- •Последовательность действий
- •4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита
- •4.2.4. Сплайн-интерполяция
- •Глава 4. Аппроксимация
- •4.1. Задача и способы аппроксимации
- •4.2. Интерполирование функций
- •4.2.1. Постановка задачи интерполирования
- •4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •4.3. Среднеквадратичное приближение функций
- •4.3.1. Метод наименьших квадратов
- •4.3.4. Квадратичное (параболическое) приближение
- •4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания
- •4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц Excel
- •4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом наименьших квадратов
- •Последовательность действий
- •Последовательность действий
- •5.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •5.2. Квадратурная формула трапеций
- •5.3. Квадратурная формула Симпсона
- •5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Excel
- •Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
- •6.1.1. Задачи Коши и краевые задачи
- •6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
- •6.3. Численные методы решения задач Коши
- •6.3.1. Метод Эйлера
- •(геометрический метод решения задачи Коши)
- •6.4. Численные методы решения краевых задач
- •Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
- •Конечно-разностная аппроксимация функций двух переменных
- •Сходимость метода конечных разностей
- •6.5. Вариационный подход к решению краевых задач
- •6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления
- •6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума функционала
- •6.5.3. Метод Ритца
- •6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
- •Построение второй итерации
- •Последовательность действий.
- •Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
- •Глава 7. Метод конечных элементов
- •7.1. Основные положения МКЭ
- •Построение расчетной модели
- •Аппроксимация искомой функции
- •Составление разрешающих уравнений
- •Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •7.2.1. Классификация конечных элементов
- •Одномерный конечный элемент
- •Двухмерные конечные элементы.
- •элемента
- •Одномерный симплекс-элемент
- •Двухмерный треугольный симплекс-элемент
- •7.2.3. Интерполирование векторных величин
- •7.2.4. Разбиение области на конечные элементы
- •7.2.5 Нумерация узлов и элементов
- •7. 3. Основные соотношения МКЭ
- •7.3.1. Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости
- •7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов
- •7.4. Другие типы конечных элементов
- •7.4.1. Элементы Эрмита
- •7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ
- •7.6.1. Специализированные программные комплексы
- •7.6.2. Универсальные программные комплексы
- •8.1.1. Математическая модель задачи оптимизации
- •8.1. Общие сведения
- •8.1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •8.1.3. Классификация задач математического программирования
- •8.2. Постановка задачи оптимального проектирования
- •8.2.1. Определение входных и выходных параметров
- •8.2.2. Выбор целевой функции
- •8.2.3. Назначение ограничений
- •8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров
- •8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования
- •8.3. Задачи линейного программирования
- •8.3.1. Общая постановка задачи ЛП
- •8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя неизвестными
- •8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Задача об оптимальном плане выпуска продукции
- •Задача об оптимальном раскрое материалов (о минимизации отходов)
- •Задача о планировании смен на предприятии
- •Задача о покрытии местности при строительстве объектов
- •Транспортная задача
- •Задача о назначениях (проблема выбора)
- •8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании
- •8.4. Нелинейные задачи оптимизации
- •8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции
- •8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач оптимизации
- •Основные этапы поиска экстремума
- •8.4.3. Численные методы одномерного поиска
- •Метод перебора или равномерного поиска
- •Метод дихотомии (или половинного деления)
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод покоординатного спуска
- •Метод градиентного спуска
- •Метод наискорейшего спуска
- •Метод сопряженных градиентов
- •Метод Ньютона
- •Метод штрафных функций
- •8.5. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц Excel
- •Литература
- •Оглавление
- •Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
’<*11' |
“Г |
|
’<*12 |
~о“ |
’<*13 " |
0" |
<*21 |
= 0 |
; |
А- <*22 = 1 ; |
А- <*23 = 0 |
||
.<*31 . |
0 |
|
.<*32. |
0 |
.<*33. |
1 |
Приводя матрицу коэффициентов к треугольному виду и выполняя обратный ход для каждой системы, получаем:
|
'1 |
1 |
2 |
г |
|
'1 |
1 |
2 |
1 ' |
1 |
1 |
2 |
1 ' |
<*ч |
|
1 |
|
1) |
3 |
4 |
1 |
0 |
= |
0 |
1 |
-5 |
-3 |
|
= 0 |
1 |
-5 |
-3 |
<*21 |
= |
-0,857 |
|
0 |
1 |
2 |
0 |
|
0 |
1 |
2 |
0 |
|
0 |
0 |
7 |
3 |
.<*31. |
|
0,428 |
|
1 |
1 |
2 |
0 |
|
1 |
1 |
2 |
0 |
= |
"1 |
1 |
2 |
0 |
<*12 |
= |
0 |
2) |
3 |
4 |
1 |
1 |
= |
0 |
1 |
-5 |
1 |
0 |
1 |
-5 |
1 |
<*22 |
0,286 |
||
|
0 |
1 |
2 |
0 |
|
0 |
1 |
2 |
0 |
|
0 |
0 |
7 |
- 1 |
.<*32. |
|
-0,143 |
|
'1 |
1 |
2 |
0' |
|
1 |
1 |
2 |
0' |
= |
1 |
1 |
2 |
о' |
’<*13 " |
' - 1 ' |
|
3) |
3 |
4 |
1 |
0 |
= |
0 |
1 |
-5 |
0 |
0 |
1 |
-5 |
0 |
<*23 |
= |
0,714 |
|
|
0 |
1 |
2 |
1 |
|
0 |
1 |
2 |
1 |
|
0 |
0 |
7 |
1 |
.<*33. |
0,143 |
|
2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц
Собственные векторы и собственные значения являются характеристиками матрицы и играют большую роль в решении технических задач, в частности, задач динамики и устойчивости зданий и сооружений [12].
2.8.1. |
Вводные замечания |
Пусть А = [а,у] - |
квадратная матрица и-го порядка с |
действительными элементами и X - некоторое неизвестное. Тогда Матрица A-AJE называется характеристической матрицей матрицы А (здесь Е - единичная матрица):
|
«и - я |
« 1 2 |
а \п |
3 |
а 2\ |
а 2 2 ~ ^ |
а 2п |
II |
|
|
|
1 < |
|
|
|
|
ап\ |
а п2 |
|
Определитель ЭТОЙ матрицы
характеристическим определителем и равен
аи - Я |
а \2 |
|
« 1 |
н |
£>(Л) = det(A - ЛЕ) = а 2\ |
а22 |
Я |
« 2 |
н |
|
|
|||
а п\ |
^ п 2 |
|
« и II — Я |
|
(2.51).
называется
(2.52)
В развернутом виде det (A -AJE) есть многочлен (полином) /7-й степени от X :
Д Я) = (-1)Л1я,,- Л Я"-1+ / v r 2- ... + ( - l) V , )J, |
(2.53) |
называемый характеристическим многочленом матрицы А. Числа
Р иР ъ —, Р п называются коэффициентами характеристического многочлена. Х\, Я,2,..., Хп, называются характеристическими числами или собственными значениями матрицы А.
Ненулевой вектор X = (*,,*2,...,*,,) называется собственным
вектором матрицы А, если эта матрица переводит вектор X в вектор
А Х = ХХ, |
(2.54) |
т.е. произведение матрицы А на вектор X и произведение характеристического числа X на вектор X есть один и тот же вектор.
Таким образом, каждому собственному значению Xj матрицы соответствует свой собственный вектор Xf (/= 1 ,2 ,...,/?).
Для определения координат собственного вектора составим уравнение
Переписав его в виде
1
1 |
> > |
а 2\
I
(А -\Е )Х = 0. |
|
|
|
(2.55), |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
0 ,2 |
|
а \п |
|
____ |
0 |
|
|
|
|||
О 22 А. |
|
а 2п |
|
* 2 |
0 |
|
|
|
(2.56), |
||
|
|
|
|
= |
|
« „ 2 |
о |
1 |
г « |
х * |
0 |
5 |
|
1 |
|||
|
|
|
|
||
и выполнив умножение, получим систему линейных однородных уравнений
Л)Х] + |
а12х2 + |
+ |
«//Л, |
=0, |
ацх, +(а22-Х)х2 + |
+ |
&2цХц |
=0, |
|
^ (2.57)
а„,х, + ап2х2+ ..,Л(а)т-А)хп =0. У
Данная система имеет нетривиальное (ненулевое) решение только в том случае, когда определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных х\, х2, х т равен нулю, т.е.
а\\ ^ |
0,2 |
°\п |
|
Z>(X) = d et(A -\E ) = а2\ |
а22 |
^2п |
(2.57а) |
ап\ |
ап2 |
Япп —^ |
|
Уравнение (2.57а) называется характеристическим (частотным -
в теории колебаний) или вековым (это название возникло в связи с задачами небесной механики о периодических отклонениях планет от своих орбит). Искомой величиной в нем является собственное значение X.
При решении задач о собственных колебаниях системы с п степенями свободы обычно получается система
(/Я|8| | - Ц у , + w28l2y 2 +••• + "*,А пУ » = 0>
7И,82|^, + (ш2522 -А,).у2 + ... + т„Ь2„у„ = 0,
(2.58)
+т2Ь„2у 2 +... + (тпЬт -А.)у„ =0,
асоответственно и определитель вида:
|
(w,5n -А,) |
^ 2^12 |
|
|
1И|82| |
(/W2S22 |
|
|
|
|
(2.58а) |
|
|
|
О А п -*•) |
где |
/я,- сосредоточенные массы; |
||
|
у, - отклонения масс; |
||
|
- |
перемещения масс, определяемые по единичным |
|
эпюрам; |
|
|
|
|
Л = —у |
, (о) - частота собственных колебаний системы). |
|
|
со |
|
|
При решении задачи устойчивости упругой системы с конечным числом степеней свободы (и), система уравнений равновесия, описывающая деформированное состояние конструкции, обычно приводится к виду (2.57), где А, - величина, зависящая от параметра критических сил Ph А определитель, из которого находят значения критических нагрузок Л,, имеет вид (2.57а). Практическое значение в задачах устойчивости обычно имеет только первая (наименьшая) критическая нагрузка Ртт.
Если определитель (2.57а) раскрыть, то получится полином степени п относительно А.:
V - М " '1 + М "~ 2 -...А -.ь + (-1)"д, =0 |
(2.59) |
Все корни этого уравнения положительны и каждому из них при решении задач динамики соответствует свое значение
частоты |
со |
со, |
Число частот равно числу степеней свободы системы. Совокупность этих величин называют спектром частот. Каждой частоте соответствует своя форма колебаний.
В задачах устойчивости каждому корню уравнения (2.59) соответствует свое значение критической нагрузки Р,.
Подставляя в систему (2.57) поочередно собственные значения Х\, А,2,... А,п, найдем все координаты собственного вектора X
В задачах о колебаниях систем координаты собственного вектора - это амплитуды свободных колебаний, соответствующие колебаниям с различными частотами со, а в задачах устойчивости - формы потери устойчивости, соответствующие разным критическим нагрузкам Р.
При определении собственных значений и собственных векторов матриц решается одна из двух задач:
1) определение всех собственных значений и принадлежащих им собственных векторов матриц - полная проблема собственных значений
или
2 ) определение одного или нескольких собственных значений и
принадлежащих им собственных векторов - частичные проблемы собственных значений.
Первая задача состоит в развертывании характеристического
определителя в многочлен |
п-й степени (то |
есть |
в определении |
|
коэффициентов р и р 2,-~, р |
п) с последующим |
приближенным |
||
вычислением собственных |
значений Aj,A2t, |
Л/, |
и, наконец, |
в |
определении координат собственного вектора |
X ~ (Xj ,х2,... |
). |
||