3.2.2.Метод хорд

Пусть функция y=f(x) на отрезке \а, Ь] удовлетворяет условиям теорем 3.1, т.е. уравнение (3.1) имеет на этом отрезке единственный корень х

Положим для определенности / (х) > 0 (рис.3.6). Вместо деления отрезка пополам, разделим его в отношенииf(a) :f(b).

С геометрической точки зрения способ пропорциональных частей эквивалентен замене кривой у = f(x) хордой, проходящей через точки A[a,f(a)] и B0[b,f(b)].

Уравнение хорды АВ запишется, как

ь - а т - т

Рис.3.6. Схема метода хорд (1-й случай)

Полагая х =х\ и у = 0, найдем абсциссу точки пересечения хорды АВо с осью ОХ, т.е. х\.

Для построения итерационной последовательности рассмотрим два случая, каждый из которых определен видом графика функции у =f(x) на отрезке [а,Ъ\.

Первый случай. Полагаем f(a)>0, f(b)< 0 и / (х)>0 для хе[а,Ь].

1.В качестве нулевого приближения корня выбираем правый конец отрезка [а,Ь], т.е. хо —Ь.

2.Проводим хорду АВо и за первое приближение Х| принимаем абсциссу точки пересечения хорды с осью ОХ.

3.Второе приближение хг получаем как абсциссу точки пересечения хорды АВ\ с осью ОХ.

4.Аналогичным образом строим итерационную последовательность приближений:

В математическом анализе доказывается теорема, что итерационная последовательность (3.11) сходится к корню jc уравнения (3.1). В этом случае левый конец отрезка [а,Ь] неподвижен и последовательные приближения определяются по формуле

(3.12)

Второй случай. Полагаем f(a)<0,f(b)>0 и/ (х)>0 для х<г[а, Ь\.

В качестве нулевого приближения корня выбираем левый конец отрезка [а,Ъ], т.е. х0 -а, а в качестве неподвижного конца х=Ь (рис.3.7).

Аналогично первому случаю строим последовательность приближений, сходящуюся к точному решению х*уравнения (3.1):

(3.13)

Рис.3.7. Схема метода хорд (2-ой случай).

Таким же образом можно рассмотреть еще два аналогичных случая, когда вторая производная/ (х)<0 для хе[а, 6].

Доказывается теорема, обобщающая все четыре случая, для приближенного решения нелинейного уравнения (3.1).

► Теорема 3.2. Пусть функция у =f(x) на отрезке [а,Ь] удовлетворяет условиям теорем 3.1, т.е. уравнение (3.1) имеет на этом отрезке единственное решение. Если функция у =f(x) имеет вторую производную, сохраняющую знак на этом отрезке, то исходя из начального приближения х 0, удовлетворяющего условию

можно вычислить корень уравнения (3.1) с заданной точностью к по формулам (3.12) или (3.13).

Метод хорд хорошо реализуется на ЭВМ.

3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)

Пусть уравнение (3.1) на отрезке [а,Ь\ имеет единственный корень, причем/(х) и/ (х) непрерывны и сохраняют определенные знаки на этом отрезке.

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшого участка дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке этой кривой (рис.3.8).

Положим для определенности / (х)>0 для х е [а, Ъ] и f(b)>0. И выберем в качестве нулевого приближения хп = Ь, для которого выполняется условие f(xo)-f (XQ) >0.

Проведем касательную к кривой у =/(х) в точке В0[х0 ,/ (хп) \ В качестве первого приближения корня х\ возьмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью ОХ. Через точку B/[xi ,f (xi)] снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой с осью ОХ даст нам второе приближение корня х2и т.д.

Рис.3.8. Схема метода касательных

Уравнение касательной в точке В,,[хп , f (x,J] (п=0, 1, 2, ....) к нашей кривой записывается

y - f(x ,J = f (x,J (х - х,).

Полагая у=0, х=х„>\, получим формулу для построения последовательности приближений корня уравнения (3.1), т.е. итерационную последовательность