Рис. 10.4. Функциональная (а) и алгоритмическая (б) структуры амплитудно импульсной системы управления
нал — последовательность одинаковых импульсов, поступающих с генератора импульсов ГИ, на модулирующий сигнал — входной непрерывный сигнал х (/). Образующийся при этом на выходе ди скретный сигнал хи (/) представляет собой последовательность импульсов, амплитуды которых равны или пропорциональны мгно венным значениям непрерывного сигнала.
Для упрощения анализа системы с АИМ целесообразно реаль ный импульсный элемент ИЭ заменить эквивалентным последова тельным соединением идеального импульсного элемента ИИЭ и фор мирующего элемента ФЭ (рис. 10.5, б). Идеальный импульсный эле мент преобразует непрерывный сигнал х (t) в последовательность мгновенных равноотстоящих друг от друга импульсов, площади которых равны значениям входного сигнала в дискретные моменты времени. Формирующий элемент или демодулятор образует из мгно венных импульсов такие импульсы, которые по форме совпадают с импульсами на выходе реального импульсного элемента.
Реакция формирующего элемента на единичный импульс, т. е. на дельта-функцию, есть не что иное, как весовая функция (/) этого элемента. Поэтому, согласно известному соотношению (2.96) передаточная функция формирующего элемента
№ф (Р) = f Щ (0 е~р‘ |
(Ю.4) |
о |
|
где Шф (/) = w„ (t) — функция, описывающая импульс на выходе реального импульсного элемента при действии на входе дельта функции.
Формирующий элемент является звеном непрерывного дейст вия, и его при анализе удобно объединять с непрерывной частью
Рис. 10.5. Алгоритмическая структура импульсного элемента
системы (см. рис. 10.4, б). Образующееся при этом соединение на зывается приведенной непрерывной частью системы. Передаточная функция приведенной непрерывной части
Wm (p) = W t{ p )W u(p). |
(10.5) |
В наиболее часто встречающемся случае, когда несущие им пульсы имеют прямоугольную форму, формирующий элемент дол жен преобразовать единичную дельта-функцию в прямоугольный импульс с единичной высотой и длительностью ти = у 7\ где у — скважность или относительная длительность. Такой импульс можно представить в виде разности двух ступенчатых функций, сдвинутых на время т„, т. е.
w»(t)=l(t) — 1 ( / - т и). |
(10.6) |
Отсюда, согласно (10.4), передаточная функция формирующего элемента
(р) = - ------ |
L e-PT„ = _L ( i _ е-рт„). |
(10.7) |
Р |
Р |
Р |
|
Если длительность импульсов ти существенно меньше основных постоянных времени остальных звеньев непрерывной части си стемы, то формирующий элемент (10.7) может быть приближенно заменен безынерционным звеном W$ (р) ж ти.
При ти = Т формирующий элемент (10.7) выдает в течение всего периода повторения Т постоянный сигнал, равный значению вход ного сигнала в начале периода Т Поэтому в данном частном (но
Рис. 10.6. Простейший квантователь и фиксатор
распространенном) случае формирующий элемент (10.7) называется фиксирующим или запоминающим. Передаточная функция фикси рующего элемента
W^(p) = ( l — erPT)/p. |
(10.8) |
Так как фиксацию мгновенного значения сигнала на постоян ном уровне можно рассматривать как простейшую экстраполя цию — экстраполяцию полиномом нулевого порядка, то формирую щий элемент в указанном частном случае (ти = Т) называется также экспграполяпгором нулевого порядка.
В качестве простейшего примера рассмотрим последовательно соединенные квантователь по времени К и запоминающий элемент ЗЭ, а также сигналы в этой цепи (рис. 10.6).
Так как квантователь по времени и запоминающий элемент яв ляются важными частями дискретной системы, существенно влияю щими на ее динамику, проанализируем их частотные свойства. Квантователь по времени или идеальный импульсный элемент можно рассматривать как генератор дополнительных гармоник, частота которых равна частоте дискретизации сод = 2п1Т. Спектр X* (/со) сигнала х* (/), квантованного по времени по принципу АИМ, равен следующей сумме смещенных спектров непрерывного
входного сигнала |
х (/): |
|
**(/'®) = 4 - |
2 |
Х [/> - * с о д)]> |
(10-9) |
где X (/со) — спектр |
входного (квантуемого) сигнала (рис. |
10.7, а). |
Очевидно, что при квантовании амплитуды всех гармоник умень шаются в Т раз. Это означает, что импульсный элемент эквивален тен по своим свойствам безынерционному звену с передаточным
коэффициентом 1/7\
В общем случае спектр X* (/со) существенно отличается от спектра X (/(о): он содержит как основную составляющую (k = 0),
Рис. 10.7. Амплитудные спектры входного и выходного сигналов идеального квантователя и а. ч. х. фиксатора
совпадающую с X (/со), так и дополнительные составляющие (k = = ± 1; ± 2 ; .), возникающие при квантовании.
Если ширина спектра квантуемого сигнала со* < сод/2, то до полнительные составляющие в основном диапазоне частот (— сод/2; + (Од/2) не искажают форму спектра X (/со) (рис. 10.7, б), т. е.
X* (/со) « - у - X (/со), |
(10.10) |
но их наличие тем не менее приходится учитывать при восстанов лении непрерывного сигнала по его дискретным значениям.
Если частота квантования |
недостаточно велика и |
со* > сод/2, |
то в основном диапазоне спектр X (/со) искажается прилегающими |
составляющими с k ± |
1 (рис. |
10.7, в). |
|
Таким образом, на |
основе |
проведенных физических |
рассужде |
ний можно сформулировать т е о р е м у о к в а н т о в а н и и :
если непрерывный сигнал обладает спектром, ограниченным частотой со*, то его квантование по времени с частотой
\ а)д > 2со* |
(10.11) |
не приводит к потере информации, т. |
е. сигнал однозначно |
и полностью представляется своими дискретными значениями, взятыми через интервал квантования
Строгое доказательство этой теоремы было дано советским уче- ным-радиотехником В. А. Котельниковым в 1933 г. и американ ским математиком К. Шенноном в 1949 г.
Если сигнал х (/) квантован в соответствии с условиями (10.11), (10.12), и его спектр X (/со) в основной полосе (— сод/2; сод/2) не искажен боковыми составляющими, то он может быть снова восста новлен в непрерывной форме при помощи формирующего элемента в виде идеального фильтра низкой частоты с а. ч. х. (рис. 10.7, г, штриховая линия)
|
IUM/чИ |
Т |
при |
|со|< о)д, |
(10.13) |
|
0 |
при |
|со|>сод, |
|
|
|
где сод = 2со*.
Но такой фильтр физически нереализуем, поэтому на практике пользуются фиксатором (10.8), а. ч. х. которого
|Гф(/о))| = Г |
sin (со772) |
(10.14) |
|
со772 |
существенно отличается от прямоугольной а. ч. х. (10.13) (см. рис. 2.5, в, сплошная линия). Очевидно, что такой реальный фик сатор несколько искажает исходный спектр X (/со) в основной по
лосе и, кроме того, пропускает частично гармоники |
боковых со |
ставляющих с ш > ©д/2. |
|
|
При достаточно большой |
частоте повторения (сод > |
со*) фикса |
тор (10.8) близок по своим |
свойствам к звену запаздывания — |
Г ф(р) « Г е -р г /2 |
|
(10.15) |
и импульсную систему (см. рис. 10.4, а, б) можно рассматривать как чисто непрерывную, описываемую только передаточными функ циями (10.5) и (10.15). Но при этом эквивалентное звено запазды вания (10.15) ухудшает запас устойчивости системы.
Для упрощенного анализа динамики импульсной системы фик сатор (10.8) можно описывать приближенно передаточной функцией апериодического звена
Г ф(р )« 7 7 (7 > + 1 ), |
(10.16) |
которая тем точнее, чем больше частота квантования.
Заметим, что при определении минимально допустимой частоты квантования для замкнутой системы под частотой со* в выражениях (10.11) и (10.12) следует понимать частоту пропускания непрерыв ной части системы. Так как обычно спектры входных сигналов и а. ч. х. системы убывают медленно и при конечных значениях со* не равны нулю (см. рис. 10.7, а), то на практике принимают частоту ®д — (5 -г- Ю) со*, а ширину спектра со* определяют по 5 10%-ной зоне интенсивности спектра.
10.3. Математическое описание амплитудно-импульсной системы
z-преобразование. Математическое описание и анализ импульсной
системы с амплитудной модуляцией существенно упрощаются, если все сигналы в системе (как в импульсной, так и в непрерыв
ной |
части) рассматривать |
только в дискретные моменты времени |
t = |
ОТ; IT; 2Т; . ; iT; |
; оо. При этом каждый непрерывный |
сигнал х (/) удобно представлять в виде решетчатой функции
времени х (iT) (см. рис. 10.3, б), значения |
которой определены |
только для дискретных моментов времени: |
|
x*(t) = x(iT) = x(t) \i=iT. |
(10.17) |
Между дискретными значениями аргумента t функция х (iT) равна нулю.
Непрерывная функция х (t) является огибающей для решетча той функции х (iT), и каждому конкретному сигналу х (t) соответст вует вполне определенный сигнал х (iT).
При замене реальных непрерывных сигналов решетчатыми функциями часто удобнее переходить к относительному времени
t — ИТ, т. е. измерять время числом периодов квантования Т.
В этом случае относительный период Т = 1, а решетчатая функция обозначается х (i).
Последовательность неединичных импульсов, образующих ре
шетчатую функцию на интервале 0 |
< |
оо, можно представить |
в виде бесконечного ряда |
|
|
\x*(t)= |
2 * ( i r ) 6 ( f — iT), |
|
(10.18) |
I |
i=0 |
|
|
где 6 (t—iT) — смещенная дельта-функция, |
существующая только |
в моменты времени t = iT и равная нулю при всех других значе ниях t.
Применим к сумме (10.18) преобразование Лапласа (2.91), учитывая при этом, что изображение суммы оригиналов равно сумме их изображений, а также, что согласно теореме запаздывания (см. табл. 2.2) изображение смещенной дельта-функции равно e~~piT.
Тогда изображение решетчатой функции (10.18) по Лапласу |
|
X*(p) = g{x*(t)} = X х (iT) е-Р‘т |
(10.19) |
1=0 |
|
Выражение (10.19) называется дискретным преобразованием Лапласа. Оно содержит трансцендентный сомножитель е~Р1Т, из-за которого изображения X* (р) и соответствующие передаточные функции становятся иррациональными функциями аргумента р, что создает определенные трудности при их использовании. Поэтому
с целью получения передаточных функций импульсных систем в дробно-рациональной форме, свойственной непрерывным систе мам, целесообразна замена аргументов
и тогда вместо (10.19) получают более удобное для практического использования преобразование
| X (г) = SL {х ОТ)} = £ а ОТ) z ~ \ |
(10.21) |
называемое ^-преобразованием решетчатой функции (или дискрет ной последовательности) х (iT ).
Для большинства встречающихся в расчетах решетчатых функ ций г-преобразование может быть выполнено при помощи таблиц соответствия, которые приводятся в специальной литературе по импульсным системам. В табл. 10.1 приведены z-изображения лишь для функций времени, используемых далее в примерах.
Главное достоинство и удобство z-преобразования заключается в том, что сама запись z-изображения (10.21) указывает простой способ выполнения прямого и обратного преобразования:
1) чтобы по известной функции времени х (t) найти ее г-иэобра- жение, необходимо лишь каждое дискретное значение х (iT) умножить на 2~1, а затем свернуть получившийся степенной ряд в конечную сумму;
2) чтобы по известному изображению X (z) найти соответст вующий сигнал х (/), необходимо представить изображение X (г)
|
Т а б л и ц а |
10.1 |
|
|
|
|
z-изображения простейших функций времени |
|
|
X(t) |
х (iT ) |
А (Р) |
X (2) |
|
(*>0) |
|
|
|
6 (0 |
6 (,Т) |
1 |
1 |
|
1 (0 |
1 ОТ) = X |
6 о - |
1 |
г |
|
т |
Z— 1 |
|
|
i= 0 |
|
Р |
|
t |
iT |
|
1 |
Т г |
|
|
Р2 |
( г - 1 ) 2 |
|
|
|
|
|
р |
ОТ)2 |
2! |
Т*г (г + 1) |
|
Рз |
( г - 1 ) 3 |
|
|
|
|
|
|
|
Л—at |
e ~ a lT |
= d‘ |
1 |
г |
|
е |
( d - e ~ a T ) |
Р + а |
z — d |
|
|
в виде степенного ряда по убывающим степеням г~‘, получаю щиеся при этом числовые коэффициенты ряда и есть дискретные значения х (iT ) сигнала х (().
Проиллюстрируем эти правила на простых функциях.
х (t) |
Пример |
1. |
Найдем z-изображение единичной ступенчатой |
функции |
= |
1 (<)• Соответствующая |
ей |
последовательность идеальных |
импульсов |
х (iT) = |
1 (iT), |
i = 0; 1; |
|
оо. |
(10.22) |
|
В соответствии |
с правилом 1 изображение |
|
X |
(г) = |
1г° + |
lz-i + Iz~2 + |
|
|
(10.23) |
|
Сумму бесконечного ряда (10.23) можно записать в компактной форме |
|
X (г) =1/(1 — z_1) = г/(г — 1), |
|
(10.24) |
что и приведено в табл. 10.1. |
|
|
|
|
Пример 2. Найдем функцию времени х(1), изображение которой |
|
X (г) = Тг!(г — I)2. |
|
|
(10.25) |
вить |
Делением числителя на знаменатель выражение (10.25) можно предста |
в |
виде |
ряда |
|
|
|
|
|
X (г) = |
\Тг~г + |
2Tz~42*+ 3Гг"8 + |
(10.26) |
|
В |
соответствии с правилом 2 значения решетчатой функции |
|
|
х (\Т) = \Т\ |
х (2Т) = 2Т ; |
*(ЗГ) = ЗТ; |
(10.27) |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х (iT) = |
iT |
|
|
|
|
(10.28) |
|
Откуда |
нетрудно установить, |
что |
|
|
х (/) = t. |
|
|
|
|
(10.29) |
Полученное соответствие также приведено в табл. 10.1.
Свойства |
2-преобразованияаналогичны свойствам |
обычного |
преобразования Лапласа. Приведем важнейшие из них. |
|
1. Линейность: |
|
|
SC {ауХу (t) ± а2х2(()} = |
aLXt (2) ± а2Х2 (2). |
(10.30) |
2. Теорема о начальном значении оригинала: |
|
limx(iT) = HmX (2). |
|
(10.31) |
l'-*0 |
z—►оо |
|
|
3. Теорема о конечном значении оригинала |
|
limx(iT) —lim |
X (г). |
(10.32) |
i->oo |
z-> 1 Z |
|
|
4. Теорема о смещении аргумента оригинала (теорема запазды |
вания) |
|
|
|
2Z{x(iT— l T ) } ^ X ( z ) z ~ ‘. |
(10.33) |
Соотношение (10.33) означает, чтоумножение на z~l соответст вует задержке дискретного сигнала на / интервалов.
Перейдем к описанию передаточных свойств разомкнутых и замкнутых импульсных систем. Кэк и для обычных систем непре рывного действия, для импульсных систем наиболее удобно исполь зовать структурный метод и передаточные функции.
Характеристики типовой импульсной цепи. Введем понятие
типовой импульсной цепи, в которую входит идеальный импульсный элемент («ключ») и непрерывная часть с пере даточной функцией Wn (р) (рис. 10.8). Рассмотрим динамику этой цепи, ее входной и выходной сигналы только в дискретные моменты времени iT (для чего на выходе цепи показан фиктивный квантова тель, работающий синхронно с входным квантователем). Тогда передаточные свойства импульсной цепи можно характеризовать с помощью дискретной передаточной функции (д. п. ф.)
| W(z) Y(z)/X(z), |
(10.34) |
где X (z) и Y (г) — z-изображения входного и выходного сигналов цепи.
Д. п. ф. W (z) импульсной цепи связана с весовой функцией w (/) непрерывной части z-преобразованием:
\W(z) = £ { w ( i T ) } = |
^хю {1Т)г-К |
(10.35) |
| |
i=0 |
|
Непрерывная часть цепи задана обычно в виде передаточной функции W (р), поэтому для отыскания функции W (г) необходимо
предварительно |
находить |
весовую функцию w (t). |
Так как в |
таблицах |
соответствия |
изображения по Лапласу |
и z-изображения обычно |
указываются |
рядом, то функцию W (z) |
можно определить сразу по виду функции W (р). Этому непосредст венному переходу от W (р) к W (z) соответствует условная запись
№ (z )- £ {U 4 p )}. |
(Ю.зб) |
Если в типовой цепи после «ключа» стоит фиксатор |
(10.8), то |
д. п. ф. всей цепи может быть определена по формуле |
|
Рис. 10.8. Типичный участок импульсной системы
W(z) = Z {—'Z7 7 ^ - w * (P )} = C1 - z_1) 5S |
=• |
|
= - Z = ± - z [ |
W,,{p)- ) = ^ |
^ |
— Z { h tt(t)}, |
|
(10.37) |
г |
\ |
P- |
) |
2 |
|
|
|
где Г н (p) — передаточная функция непрерывной части |
(не вклю |
чающей фиксатор). |
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Найдем д. п. ф. цепи, состоящей из «ключа» и инерционного |
звена первого порядка (без фиксатора на его входе) |
|
|
W (р) — kJ(Tup + |
1). |
|
|
|
|
(10.38) |
Весовая |
функция |
звена |
|
|
|
|
|
Ю(0 = (k0/TQ) е -'/г° |
|
|
|
|
(10.39) |
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
w (iT) = ( у г 0) e r iTIT\ |
|
|
|
|
(10.40) |
Согласно |
табл. 10.1 д. |
п. ф. |
цепи |
|
|
И7 (г) = Z |
i ( W |
е - ‘т /г°} = |
------------ —г — . |
|
(10.41) |
|
|
|
Т 0 |
г — е - т/т° |
|
|
Для сравнения приведем д. п. ф., полученную по формуле (10.37) для |
случая, когда на входе звена (10.38) включен фиксатор: |
|
|
W (г) = |
(1 — е - г/г°)/(г — е~ Г/Г»), |
|
(10.42) |
Способы получения д. п. ф. по формулам (10.35) — (10.37) яв ляются точными, но их применение для реальных систем высокого
порядка затруднительно. Поэтому |
в практических |
расчетах им |
пульсных |
систем |
используют |
п р и б л и ж е н н ы е |
с п о с о б ы |
перехода |
от функций W (р) |
к д. п. ф. W (z). Эти способы основаны |
на замене производной |
по |
времени, фигурирующей |
в уравнении |
непрерывной части, так называемой первой разностью: |
d y « ) |
^ |
Аy(U) |
= |
y ( t i ) — y(ti - 1) |
(10 43) |
dt |
~ |
At |
|
|
д t |
|
У ■ > |
Подставляя разность (10.43) в дифференциальное уравнение не
прерывного (аналогового) интегратора |
|
d у (t)/d t — x (t), |
(10.44) |
можно получить разностное уравнение |
интегратора |
y ( i T ) = y ( i T - l T ) + Tx{iT), |
(10.45) |
которое легко записать в z-форме: |
|
Y{z) = Y(z)z~1 + TX(z). |
(10.46) |
Отсюда д. п. ф. интегратора |
|
W {z) = Y (z)/X (;г) = 77(1 —Г 1) = Tzl(z— 1). |
(10.47) |
