Теория автоматического управления
..pdfСпектральная плотность выходного сигнала согласно (8.21)
оо
S,(o>)= $ Ry (t) е - /(ЙХdr. |
(8.53) |
— оо |
|
Если вместо R y (т) подставить в (8.53) двойной интеграл |
(8.48) |
и представить образованное выражение с тремя интегралами как произведение интеграла вида (8.21) и двух интегралов вида (8.44)
с переменными |
интегрирования соответственно т, |
и ■0,2, то по |
|
лучим одну |
из |
важнейших формул статистической динамики: |
|
S,(co) = |
S,(o)) W(f<o) W (-/с о ) |
(8.54) |
|
или |
|
|
|
|S«,(co) = |
S ,(c o )|^ (/(o )|2. |
(8.55) |
Соотношение (8.55) показывает, что
спектральная плотность выходного сигнала равна спектральной плотности входного сигнала, умноженной на квадрат ампли тудной частотной характеристики звена (системы).
Формулу (8.55) можно получить также, исходя из чисто физи ческих представлений: а. ч. х. | W (/со) | при каждом значении аргу мента со определяет отношение амплитуд гармоник входного и вы ходного сигнала, а спектральные плотности S x (со) и S y (со) при фиксированном значении со равны квадратам относительных ам плитуд гармоник.
Если равенство (8.55) объединить с формулой (8.20), записан ной для сигнала у (t), то получим еще одну важную для практиче ских расчетов формулу:
IDy = ^ ~ |
$ |
S y (со) d со = — |
$ S x (со)|Г (/co)|2dco, |
(8.56) |
|
I |
2 Л |
— оо |
2 Л |
— оо |
|
по которой вычисляют дисперсию сигналов на выходе систем управ
ления. |
(8.55) основаны |
п о н я т и е и м е т о д |
На соотношении |
||
ф о р м и р у ю щ е г о |
ф и л ь т р а . |
Формирующим фильтром]^на |
зывают динамическое звено, которое преобразует входной сигнал в виде белого шума в выходной сигнал с заданными статистическими
характеристиками.
Пусть на входе формирующего фильтра ФФ (рис. 8.6, в) дейст
вует белый шум с единичной интенсивностью S 0 = |
1 при всех зна |
чениях со. Тогда спектральная плотность сигнала |
х (/) на выходе |
ФФ согласно (8.55) |
|
Sx (со) = 1 . |Г ф(/(о)|2. |
(8-57) |
Следовательно, для получения на выходе ФФ случайного сиг нала с желаемой функцией S x (со) необходимо частотную функцию фильтра выбрать в соответствии с равенством (8.57), т. е.
квадрат а. ч. х. ФФ должен быть равен спектральной плотности сигнала, формируемого из белого шума.
Для нахождения функции (/ю) заданную спектральную плотность представляют в виде произведения двух комплексно-со пряженных сомножителей W$ (/со) и W$ (— /со). Из них выбирают тот, который имеет нули и полюса в верхней полуплоскости со, т. е. тот, который соответствует устойчивому, физически реализуемому звену. Например, для получения на выходе ФФ случайного сигнала
со спектральной |
плотностью (8.37) |
|
||
2Dxax |
д /2Рхо.х |
д /2Dxctx |
(8.58) |
|
9 , |
9 |
ax + j<£> |
ах — /со |
|
а- + со- |
|
|||
реализуемым является |
первый сомножитель |
|
||
(/со) = д/2Dxax /(ах + /со). |
|
(8.59) |
Формирующий фильтр (8.59) представляет собой инерционное
звено первого порядка (см. 3.3) |
с параметрами: |
&ф = -\j2Dxax /ах, Тф= Цах. |
(8.60) |
Последовательное соединение ФФ и исследуемого звена ИЗ
называют эквивалентным звеном. Его а. ф. х. |
|
W3(/со) = W* (/со) W (/со). |
(8.61) |
Метод формирующего фильтра заключается в том, что при ста тистическом анализе систем управления перед исследуемым звеном (или системой) включают ФФ с а. ф. х., соответствующей спек тральным свойствам реального входного сигнала х (t), а характе ристики выходного сигнала у (t) определяют при подаче на вход эквивалентного звена (или системы) белого шума. Такой переход от исследования реального звена к исследованию эквивалентного в ряде случаев упрощает математические выкладки и задачу ана лиза. Например, для определения дисперсии выходного сигнала исследуемого звена достаточно получить (аналитически или экс
периментально) весовую функцию w3 (t) эквивалентного |
звена |
и согласно (8.50) проинтегрировать ее квадрат: |
|
[а»»(0Г-<Н. |
(8.62) |
0J |
|
Эту же дисперсию можно получить интегрированием в частот
ной области, |
подставляя в (8.56) S K(со) = |
1: |
_ 1_ |
|
|
Dу — 2л |
S 1 (/со) |2 d (о. |
(8.63) |
Приравнивая правые части формул (8.62) и~(8.63), можно по лучить частный случай равенства Парсеваля (2.36).
Пример. Вычислим дисперсию на выходе инерционного звена первого порядка с передаточной функцией W (р) = k/(Tp + 1) при действии на его входе белого шума с интенсивностью Sxo и шириной спектра шп > сос = 1IT Решим задачу интегрированием в частотной области — при помощи
формулы (8.56). Дисперсия выходного сигнала у
|
оо |
dсо |
|
п |
к2 |
|
|
Dy = — |
[ S x ((О) |
= ~ |
f |
d со = |
|||
Т2со2 + |
|||||||
2я |
J |
Tj со + 1 |
2я |
.) |
1 |
||
пТ |
arctg соТ |
— |
^ 1)* |
|
|
(8.64) |
|
|
|
|
|||||
|
о |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Дисперсия Dy тем меньше, чем меньше интенсивность |
входного сиг |
||||||
нала и чем больше постоянная времени |
Т. |
|
|
|
|||
8.4. Вычисление и минимизация дисперсии сигнала ошибки |
|||||||
замкнутой |
системы |
|
|
|
|
|
Применим формулы, приведенные в 8.3, для расчета точности замкнутой системы управления, обобщенная алгоритмическая схема которой показана на рис. 8.7, а.
Будем считать, что передаточная функция W (р), равная произ ведению передаточных функций объекта и управляющего устрой ства, известна. Не заданы могут быть лишь некоторые параметры управляющего устройства.
На систему действуют случайные возмущения хп и хв с извест ными спектральными плотностями Sn (со) и S B(со). Задающее воз действие х3 также является случайным сигналом со спектральной плотностью S 3 (со). Пусть все три воздействия — центрированные сигналы. Тогда и сигнал ошибки е будет центрированным.
Если указанные внешние воздействия не коррелированы между собой, то сигнал ошибки е, возникающий в системе, может рассмат риваться как сумма трех независимых составляющих (рис. 8.7, б):
6 = 63 -f- бп Т~ 8в. |
(8.65) |
Составляющая е3 обусловлена неточным воспроизведением за дающего воздействия, а составляющие еп и ев — неполным подав лением возмущений хп и хъ.
Соответственно и дисперсия сигнала ошибки может быть пред
ставлена в виде суммы трех дисперсий: |
|
= De3+ DCn + DQb. |
(8.66^ |
Каждая из этих дисперсий может быть вычислена по формуле (8.56) независимо друг от друга:
6
Рис. 8.7. Алгоритмические схемы замкнутой системы:
а — исходная; б — расчетная
|
1 |
оо |
|
|
1 |
|
|
De = |
f |
S 3 (со) |
1 + |
d со; |
(8.67) |
||
сз |
2я |
J |
|
W (/со) |
|
|
|
|
|
— оо |
|
|
|
|
|
|
1 |
оо |
|
- |
W (/со) |
|
|
De = |
[ |
Sп(со) |
d со; |
(8.68) |
|||
ьп |
2л |
J |
|
1 + W(/со) |
|
|
|
1 |
|
— оо |
|
|
|
|
|
1 |
оо |
|
|
— 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(De = |
$ |
Sa (со) |
|
d со. |
(8.69) |
||
В |
2л |
|
|
1 + U7 (/со) |
|
|
Если внешние воздействия коррелированы между собой, то и со ставляющие (8.65) сигнала ошибки будут коррелированы, поэтому полную дисперсию De можно вычислить только путем интегрирова ния общей спектральной плотности Se (со), найденной с учетом свойства (8.30).
При подстановке в формулы (8.67) — (8.69) конкретных функ ций W (/со) и S (со) получаются довольно сложные выражения, интегрирование которых обычными методами затруднительно. Поэ тому используют методику (см. 6.3) для вычисления квадратичных интегральных оценок. В соответствии с этой методикой каждую из трех дисперсий определяют по формуле, аналогичной (6.74):
V (/to) d (0 = ( _ l ) n + l |
Ap |
(8.70) |
ID (jay) |2 |
2d0A |
’ |
где полиномы V (/со), D (/со) и определители Д0 и А составляются по формулам (6.75) и (6.76).
В простейших случаях, |
когда наибольшая степень полинома |
||
D (/со) п = 1; 2; 3, формула (8.70) будет иметь вид: |
|||
De. 1 ^Q/SC/QC/I , |
Dg. |
{d0v1 ^/2^0)72^0^1^2j |
|
D e . = (Vfjdndj |
' d^d-jV^ |
с^о^х^з)7^^о^з (d±do— d^d^). |
|
В полином D (/со) в виде сомножителя входит характеристиче |
|||
ская функция F (/со) = |
1 + |
W (/со) замкнутой системы. Поэтому |
|
при приближении системы к границе устойчивости [при F (/со) -> 0)] |
|||
интеграл (8.70) |
резко возрастает. |
Для систем с запаздыванием подынтегральное выражение нельзя привести к виду (8.70) и дисперсию можно вычислить только при ближенно, заменяя запаздывание е—рт дробно-рациональной функ цией (3.118) или (3.119).
С помощью формул (8.66) — (8.71) можно получить аналитиче ское выражение, связывающее полную дисперсию сигнала ошибки De с параметрами внешних воздействий и с параметрами системы (например, /е£, Г,):
De = f ( k t, T t). |
(8.72) |
Минимизируя функцию (8.72) по параметрам k{ и 7), |
можно |
определить их оптимальные значения. |
|
Покажем, что минимум функции (8.72), как правило, сущест вует. Пусть на систему действуют задающее воздействие х3 и по меха хп. Как правило, спектр задающего воздействия находится в области низких частот (рис. 8.8, а), а спектр помехи равномерен
Рис.Т8.8. Влияние передаточного коэффициента разомкнутого контура на спектральную плотность сигнала ошибки
Рис. 8.9. График зависимости дисперсии сигнала ошибки от пе редаточного коэффициента разом кнутого контура
в широкой полосе частот (рис. 8.8, в). С увеличением передаточ ного коэффициента k разомкнутого контура а. ч. х. |Ф ез(/(о)|
и I Ф8п (/со) | по каналам х3 —е и хи—е смещаются в область более высоких частот, а резонансный пик становится выше (см. рис. 8.8, а, ву пунктирные кривые).
Так как спектральные плотности Sg3 (со) и SEn (со) равны про
изведениям S 3 (со) и Sn (со) на |
соответствующие а. ч. х. замкнутой |
|||
системы, |
то при увеличении |
k ординаты функции S03 (со) |
умень |
|
шаются |
(рис. 8.8, б)у а ординаты функции S8n (со) увеличиваются |
|||
(рис. 8.8, г). Соответственно |
меняются и |
составляющие |
полной |
|
дисперсии: £)8з уменьшается при увеличении |
&, a D e — увеличи |
вается (рис. 8.9). Очевидно, что суммарная дисперсия De при не котором значении k = konT будет иметь минимум.
Пример. Определим оптимальное значение передаточного коэффициента для системы с передаточной функцией
W (р) = k!p. |
(8.73) |
На входе системы (см. рис. 8.7, а) действуют задающее воздействие х3 со спектральной плотностью
S 3 (со) = 2D3a3l(a?3 + |
со2) |
(8.74) |
и помеха х п в виде белого шума со спектральной |
плотностью |
|
Sn (co) = S n0 = const |
при | со | <с о п, |
(8.75) |
причем (оп > соср = к. |
|
|
Дисперсия, обусловленная неточным воспроизведением задающего воз |
||
действия |
|
|
Ог = |
1 |
2D3a3 |
|
1 |
d со = |
1 |
|
2я |
аз + 0)2 |
1 |
-f klj со |
2л X |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
2D3ce3 | /со | |
- d со = |
|
- 2D3a3 (/со)2 |
- d со. |
|
|
I а 3+/со |2 1/со+/г |2 |
- ± $ |
I (/со)2+ (а 3+£) /со+а3/г | |
|
Сравнивая выражение (8.76) с типовой формой записи полиномов (6 75)
(6.76),нетрудно установить, что в данном случае п = |
2; da = 1; d, = |
а , 4- k- |
||||||||||
d2 = a3k\ |
v0 = |
— 2D3a 3; Vl = |
0. |
|
|
|
|
|
1 |
^ ’ |
||
Окончательно дисперсия |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
De3 = |
(d0vi — d2v0)/2 (1 ^ 2 = D3a3l(a3 + k). |
|
|
|
(8.77) |
|||||||
Чем больше коэффициент k, тем меньше дисперсия Dg3, т. е. тем точнее |
||||||||||||
система воспроизводит на выходе задающее воздействие. |
|
|||||||||||
Дисперсия, |
обусловленная влиянием помехи, |
00 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
6//CD |
2 |
|
|
1 |
k2 |
|
||
Реп |
|
S n (со) |
d со |
|
d ш . |
|||||||
2л |
1 + |
k/j(D |
|
2л |
1 |
5ПО |
||||||
|
S |
|
|
|
|
I/C0 + &I2 |
|
|||||
Для этого интеграла п = |
1; d0 = |
1; |
d1 = k\ |
v0 = S n0k2. |
(8.78) |
|||||||
|
||||||||||||
Дисперсия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pen = |
U(j/2do^i == S n0k/2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.79) |
||
Чем больше коэффициент k, тем больше ошибка из-за прохождения по |
||||||||||||
мехи х п |
на выход системы. |
|
ошибки |
|
|
|
|
|||||
Суммарная |
дисперсия |
сигнала |
|
|
|
|
||||||
— Dg3 + D e |
D & 3 |
I |
«Snofe |
|
|
|
|
(8.80) |
||||
a3-\- k |
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
||||
Оптимальное значение |
коэффициента k найдем |
из условия |
|
|||||||||
д Р е |
______ Р э * з ____I |
^по |
_Q |
|
|
|
|
(8.81) |
||||
dk |
~ |
(а3 + |
£)2 |
^ |
2 |
|
~~ |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kom — д/2/?зОС3/5по —0&з- |
|
|
|
|
|
|
|
(8.82) |
Оптимальное значение коэффициента зависит только от параметров внешних воздействий. Чем больше а3 .(уже спектр задающего воздействия), тем меньше должен быть k (меньше полоса пропускания системы). Чем больше D3, тем шире полоса пропускания. Чем больше интенсивность по мехи 5 По. тем меньше должен быть k и, следовательно, уже полоса пропуска ния (соср = k).
8.5. Определение оптимальной передаточной функции системы управления
Назначение любой системы управления изменять выходную ве личину х (/) по определенному закону и устранять влияние возму щений на эту величину. В общем случае автоматическая система должна воспроизводить на своем выходе не само воздействие х3 (0* а некоторый требуемый сигнал хн (t), связанный с сигналом х3 (/), заданным соотношением
(t) = x3 (*) Ф„ (Р), |
(8.83); |
где Фи (р) — заданный оператор идеального преобразования вход ного сигнала.
б
Рис. 8.10. Алгоритмические схемы к задаче Винера
Вид оператора Фи (р) зависит от назначения системы. В систе мах воспроизведения, к которым относятся следящие и стабили зирующие системы, Фи (р) = 1. Если обратная связь в системе воспроизведения неединичная с коэффициентом k0. с, то оператор Фи (р) равен постоянному числу l/k0. с.
Из-за того, что на входе системы кроме полезного сигнала х3 (/) действует помеха хг„ идеальное преобразование согласно задан
ному оператору Фи (р), как правило, |
невозможно. Сигнал |
х (1) |
на выходе реальной системы Ф (р) (рис. |
8.10, а) почти всегда |
от |
личается от идеального выходного сигнала на величину сигнала ошибки е (t) = хИ(/) — х (t). В связи с этим возникает задача син теза такой структуры системы, которая обеспечивала бы наилуч шее, в том или ином смысле, приближение к идеальному преобра зованию Фи (р).
Критерием точности приближения реальной структуры к иде альной может служить условие минимума дисперсии сигнала ошибки е.
Задача синтеза структуры линейной системы, оптимальной по критерию (8.3) при стационарных случайных воздействиях, была впервые сформулирована и решена Н. Винером, поэтому она на зывается задачей Винера.
Рассмотрим упрощенное решение задачи Винера применительно к расчетной схеме (рис. 8.10,6), которая эквивалентна исходной (см. рис. 8.10, а). Будем полагать, что входные воздействия х3 (0 и х„ (/) не коррелированы между собой. Следовательно, и состав ляющие е3 и еп сигнала ошибки будут независимы друг от друга.
Поэтому |
спектральную плотность сигнала е можно определить как |
|
простую |
сумму (8.31) [а не (8.30)!]: |
|
S e (со) = Se3 (о) Sen (со) = |
S3 (со) | Фи (/со) — Ф (/со) |2 |
|
+ Sn (со) IФ (/со) I2. |
(8.84) |
Дисперсия сигнала ошибки равна интегралу спектральной плот ности (8.84):
De = —— $ {S3 (со) | Фи (/со)— Ф (/со) |2+ S n (ю) | Ф (/a*) |2| d со. —ос
(8.85)
Задача Винера заключается в определении такой частотной пе редаточной функции Ф (/со) замкнутой системы, которая обеспечи вает минимум дисперсии De. Для решения этой задачи формулу (8.85) необходимо преобразовать: представить в форме, при которой искомая функция Ф (усо) входит только в одно слагаемое подынтег рального выражения (выкладки здесь не приводятся):
Ог |
|
|
1 |
И |
S3 ((D) |
Sn (со) |Фи (/СО) |2 + |
|
|
|
2я |
•^вх (w) |
|
|||
-\- |
S |
BX |
со |
Ф (/со) |
Фи (/со) s3 (со) |
(8.86) |
|
|
( ) |
|
|
5вх(со) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
где SBX(со) = |
S 3 (со) + |
S n (со) — спектральная плотность суммар |
|||||
ного входного сигнала. |
|
|
В первое слагаемое интеграла (8.86) не входит функция Ф (усо), |
|
и на него нельзя повлиять при выборе вида этой функции. Второе |
|
слагаемое можно изменять при |
выборе функции Ф (/со). Так как |
оба слагаемых неотрицательны, |
то условием минимума дисперсии |
D e является равенство |
|
Ф (/(о) — Ф„'(/со) S 3 (со)/SBX(со) = 0. |
(8.87) |
Отсюда оптимальная передаточная функция замкнутой |
системы |
|Фопт[(/С0) = Ф„|(/со) Ss (со)/SBx (со). |
(8.88) |
Оптимальная передаточная функция зависит от вида заданного оператора идеального преобразования Фи (/со) и соотношения спек тральных плотностей задающего воздействия и помехи.
При отсутствии помехи |
(Sn (со) = 0) оптимальная функция |
равна заданному оператору |
идеального преобразования: |
Фопт (/со) = Фи (/со). |
(8.89) |
Если помеха представляет собой белый шум и ее интенсивность Sn0 намного больше уровня полезного сигнала [Sno > S3 (со) ], то оптимальная частотная характеристика системы воспроизведе ния (Ф„ (/со) = 1)
Фопт (усо) « S3 (со)/Sn0» |
(8.90) |
т. е. повторяет форму кривой спектральной плотности задания. Частотные функции, определяемые выражением (8.88), оказы
ваются, как правило, физически нереализуемыми: им соответст вуют весовые функции w0m (t), отличные от нуля при t < 0.
Оптимальную частотную функцию, удовлетворяющую условию физической реализуемости (w (t) = 0 при / < 0), можно опреде лить по формуле Колмогорова-Винера, которая вытекает из (8.88):
1 |
Г |
Фи (/ю) S3 (со) |
~|+ |
(8.91) |
|
Фопт.р (/©) — WBх(/со) |
L |
и^вх ( — /СО) |
J |
||
|
где WBX(/со) — частотная функция формирующего фильтра, со ответствующего спектральной плотности SBX(со), т. е.
SBX(о) = 1№вх (/со) |2= №вх (/со) №вх ( - / со). |
(8.92) |
Квадратные скобки со знаком «+» означают, что второй сомно житель — функция, имеющая нули и полюсы только в верхней полуплоскости со (или в левой полуплоскости р). Для того, чтобы найти этот сомножитель, необходимо разложить выражение в скоб ках на сумму простых дробей и отбросить все дроби, имеющие нули и полюса в нижней полуплоскости со.
Если синтезируемая система должна включать в себя какуюлибо неизменяемую часть, например, объект W0 (/со), то оптималь ную функцию изменяемой части, например, регулятора, можно найти по общей функции Фопт. р (/со). Так, оптимальная частотная функция регулятора типовой системы (см. рис. 4.7)
W p. опт (/со) = ---------^ |
ПТ- Р (/^ -------- |
(8.93) |
IFo (/О) [ 1 — Фопт.рО'ш)] |
|
|
Следует отметить, что |
степень числителя функции |
Wp. 0пт (/<°) |
часто оказывается больше степени знаменателя. Это создает труд ности технической реализации получаемых функций, особенно в тех
случаях, когда объект содержит запаздывание е—рТ°. Как видно из формулы (8.93), регулятор при этом должен содержать идеаль
ный упредитель с передаточной функцией е"*’рТ°. Такую функцию можно реализовать только приближенно.
Минимальная дисперсия De, которая теоретически достижима при оптимальной передаточной функции, равна интегралу от пер вого слагаемого в выражении (8.86):
|
оо |
|
|
D em in = -+ - |
f |
| Фи (/<*) I2. - 3 (см) ^ (M) d СО. |
(8.94) |
2я |
J |
5ВХ(со) |
|
Из (8.94) следует, что
предельно достижимая точность системы, тем выше, чем меньше перекрываются спектры задающего воздействия и помехи.