Теория автоматического управления

где знак «—» у квадратной скобки означает, что сомножитель имеет только нижние нули и полюса в плоскости со.

Выражение (8.95) определяет предельную точность синтезируе­ мой системы. Дисперсия D Bmin принципиально неустранима ни­ какими техническими средствами.

Если на стадии технической реализации передаточная функция Фопт. р (/со) будет изменена, то точность дополнительно ухудшится.

На предельную точность оказывает сильное влияние запазды­ вание объекта и помехи в канале измерения. Чем больше запазды­ вание т0 и выше уровень помехи 5 П0, тем ниже предельная точ­ ность. Например, в системе стабилизации (рис. 8.7, а) минимально достижимая дисперсия De min становится равной дисперсии DB возмущения хв (т. е. система становится бесполезной), когда

мехи) система становится бесполезной при меньшем запаздывании т0 и меньшем уровне S no.

Разложим выражение в квадратных скобках на сумму дробей:

Отбросим второе слагаемое, так как оно имеет полюс ш = a // = — /а, лежащий в нижней полуплоскости. Тогда реализуемая оптимальная функ­ ция примет вид

Как видим, оптимальная система должна обладать свойствами инер­ ционного звена первого порядка с параметрами

т. е. разомкнутый контур оптимальной системы в рассматриваемом частном случае является интегратором.

8.6.Оптимальная фильтрация векторных случайных сигналов

Впредыдущем параграфе задача определения оптимальной пе­ редаточной функции была решена для одномерных (скалярных) случайных воздействий. При этом можно было заметить, что про­ цесс решения задачи не зависел от того, подразумевается ли под искомой передаточной функцией отдельное звено (например, фильтр

враспространенном радиотехническом понимании) или замкнутая система управления, которая в эквивалентном представлении также может рассматриваться как фильтр, пропускающий полезный сиг­ нал и подавляющий помеху.

Перейдем теперь к задаче синтеза оптимального фильтра, по­ нимаемого в обобщенном смысле, для многомерных (векторных) случайных сигналов. Для описания фильтра и сигналов применим метод пространства состояний (см. 2.9).

Пусть имеется совокупность стационарных независимых друг

от друга сигналов х г (/), х 2 (/), , хп (t) с нулевыми математи­ ческими ожиданиями и известными корреляционными функциями

Положим, что векторный случайный сигнал х (/) недоступен для непосредственного измерения, а вместо него при помощи безынер­ ционного преобразователя наблюдается (измеряется и вычисляется)

292

(ошибки измерения} в виде идеального белого шума с известной интенсивностью, т. е. наблюдаемый вектор

зуемый известной матрицей-столбцом интенсивностей помех S e0 =

наблюдаемого сигнала х„ (/) выделить «-мерный векторный сигнал

х (/), который наиболее близок в определенном смысле к исходному (полезному) сигналу х (/). Используя терминологию математиче­

ской статистики, можно сигнал х (/) назвать оценкой сигнала x (f), а сам процесс фильтрации — оцениванием.

нальные элементы D u матрицы Z)e, имеющей размер п X п, равны

x { t )

называют оптимальной по квадратичному критерию и обозначают

x*(t).

Для решения задачи синтеза оптимального фильтра в простран­ стве состояний представим оцениваемый случайный вектор х {£) как вектор состояния некоторой динамической системы п-то по-

293

рядка (см. 2.9), описываемой матричным дифференциальным урав­ нением

с нулевым математическим ожиданием и известной матрицей-столб­ цом интенсивностей S zQ; В — постоянная матрица размера п х т, определяющая неоднородную часть уравнения и, тем самым, влия­ ние входного сигнала на систему.

Очевидно, что динамическую систему, описываемую уравнением (8.109), можно рассматривать как многомерный формирующий фильтр для полезного сигнала х (t). Уравнениям формирующего фильтра ФФ (8.109) и измерителя И (8.105) соответствует алгорит­ мическая схема на рис. 8.11.

Американским математиком Р. Калманом было доказано, что при такой постановке задачи фильтрации (оценивания) оптимальный фильтр ОФ представляет собой следящую систему с отрицательной обратной связью, состоящую из модели однородной части форми­ рующего фильтра, модели идеального измерителя (без помех) и матричного коэффициента фильтра Калмана К$. Этот коэффициент в установившемся режиме фильтрации стационарных сигналов

где De — ковариационная матрица, полученная как решение не­ линейного матричного алгебраического уравнения

эффициент фильтра Калмана (8.110) в качестве сомножителя вхо­ дит дисперсия ошибки оценивания D*, соответствующая минимуму

(8.108).

Выражения (8.110) и (8.111) имеют смысл лишь в том случае, если все элементы матрицы-столбца S g0 отличны от нуля, т. е. если все / составляющих сигнала х н (t) содержат помеху. Уравнение (8.111) имеет единственное положительно определенное решение, если система (8.105), (8.109) управляема и наблюдаема (см. 6.5).

Параметры фильтра Калмана, как и в задаче Винера (см. 8.5), предопределяются характеристиками полезного сигнала (через матрицы Szо, В у А), измерительного устройства (матрица С) и по­ мехи (матрица S g0). Чем больше интенсивность S 20 полезного сиг­ нала и меньше интенсивность S g0 помехи, тем больше коэффициент Кф и быстродействие следящей системы фильтра, и тем лучше она воспроизводит все изменения полезного сигнала x(t) . В пределе, когда S zо Sgo* фильтр будет эквивалентен безынерционному пре-

294

Рис. 8.11. Оптимальный фильтр Калмана

образователю с единичным передаточным коэффициентом. В про­ тивоположном случае, когда S z0 S g0, фильтр эквивалентен мо­ дели полезного сигнала.

Фильтр Калмана одновременно с оптимальной оценкой х (/)

исходного сигнала х (/) выдает оценку x n(t) для линейной комби­ нации х п (0 = С х (t), образуемой из исходного сигнала в измери­ тельном устройстве.

Если какое-либо из входных воздействий г (/) или g (/) не яв­ ляется центрированным сигналом, то для получения несмещенных оценок в схему фильтра необходимо согласно принципу суперпо­ зиции ввести со знаком минус соответствующее ненулевое матема­ тическое ожидание. На рис. 8.11 пунктирной линией показано, как следует учесть математическое ожидание m g Ф 0. Аналогично можно учесть ожидание т 2 при условии, что оно должно быть пред­ варительно пропущено, как и сам сигнал z (t), через блок В и при­ ложено ко входу интегратора.

Матричная передаточная функция фильтра (см. рис. 8.11) ме­

Приведенная на рис. 8.11 схема будет служить фильтром и в том случае, если коэффициент К ф выбран не в соответствии с вы­ ражениями (8.110) и (8.111). Необходимо лишь, чтобы эта следя-

295

щая система была асимптотически устойчива. Очевидно, что при этом ошибка оценивания г (t) в установившемся режиме так же, как и в оптимальном фильтре, будет стремиться" к нулю. Но дисперсия^ошибки будет больше, чем в оптимальном фильтре.

Пример. Пусть имеется стационарный случайный сигнал х (t) с корре­

хн (t) оценку полезного сигнала х (/). Для этого представим формирующий фильтр (8.113) в виде скалярного дифференциального уравнения в прост­ ранстве состояний:

Szo = 2Пла*.

Очевидно, что в данном случае матрица наблюдения С и матрицы ин­ тенсивностей S20 и Sg0 также вырождаются в скаляры и имеют вид:

Сомножитель De находим как решение следующего уравнения, являю­ щегося частной формой матричного уравнения (8.111):

а соответствующий ему коэффициент фильтра с учетом принятых обозначе­ ний

*Ф = D e l Sgo =-- а + д / a 2 + b2Sz0/ S g0 = - a x + д /a ;2 + 2Dxax/ S g0

(8.121)

Рис. 8.12. Устройство оценивания состояния многомерного объекта

Калмана (см. 8.6). При этом объект, на входе которого кроме уп­ равляющего сигнала у (t) действует обычно случайное возмущение 2 (/), рассматривают как формирующий фильтр, а наблюдаемый на выходе объекта сигнал х н (1) подают на вход устройства оцени­ вания (рис. 8.12), которое представляет собой модель объекта, охваченную отрицательной обратной связью по сигналу ен (0 =

= х„ (1)— х п (t). Для получения оптимальной по критерию (8.108) оценки состояния стационарного объекта, описываемого уравне­ нием (8.109) и контролируемого при помощи измерителя (8.105), матричный коэффициент /Сф определяют также согласно выраже­ ниям (8.110) и (8.111). Необходимо только, чтобы объект был пол­ ностью управляем и наблюдаем (см. 6.5).

Управляющее воздействие у (/) рассматривают как дополни­ тельное внешнее воздействие и так же, как детерминированные со­ ставляющие m z и m g, подают на соответствующие входы устройства оценивания.

Оптимальное оценивающее устройство обеспечивает компромисс между скоростью воспроизведения переменных состояния и темпом сглаживания помехи наблюдения. Баланс между этими двумя свой­ ствами определяется соотношением интенсивностей возмущения г и помехи g .

Отметим, что оценивающее устройство в виде модели объекта, охваченной обратной связью, может удовлетворительно работать

298