Теория автоматического управления
..pdfшаг |
вывода на печать |
|
| *. = |
(5 4- 10) Д*. |
(6.134) |
Кроме того, для шага интегрирования должно быть выполнено
условие |
|
|A * < T mIn/2, |
(6.135) |
где Tmin — наименьшая постоянная времени системы. |
|
Пример. Составим на языке Фортран программу цифрового моделирова ния типовой системы (см. рис. 4.7, б ), состоящей из инерционного объекта с запаздыванием
Wa (р) = Х0 (р)/у0 (р) = k0 е-Р-'о/ ( r op + 1) |
(6.136) |
и ПИ-регулятора
Wp (Р) = У (p)/e (Р) = kn + k j p . |
(6.137) |
Дифференциальное уравнение объекта, связывающее управляющее воздействие у ( t) с выходом х (t) инерционной части объекта, имеет вид
То ~ ~ т |
~ ~ + * (0 = М |
(0 |
|
|
|
|
|
(6.138) |
||||
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* (t) = |
kQy (t)/T0 - |
x (t)/T0. |
|
|
|
|
|
(6.139) |
||||
Применяя метод Эйлера |
(формулу |
прямой |
разности), можно записать |
|||||||||
соответствующее |
(6.139) разностное уравнение |
объекта: |
|
|||||||||
х (£) = |
х (i - |
1) + |
[k0У (i - |
1) - |
* (i |
- |
1)] Af/T0. |
|
(6.140) |
|||
Для ПИ-регулятора запишем порознь разностные уравнения: |
|
|||||||||||
пропорциональной части |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
*/п(0 = *п8(0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.141) |
||
и интегральной части |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
УК (0 = Ун (‘ — 1) + *ие (i — 1) А/. |
|
|
|
|
(6.142) |
|||||||
При моделировании переходного процесса х (t), вызванного единичным |
||||||||||||
ступенчатым |
изменением |
задания |
х3 (t) = |
1 (/), |
сигнал ошибки |
|
||||||
е (i) = |
\ — х0 (i). |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.143) |
||
Для получения переходного процесса по каналу ув —х0 при возмущении |
||||||||||||
Ув ( 0 = 1 (0 |
к суммарному управляющему воздействию добавим |
единицу: |
||||||||||
У (0 = |
Уп (0 + |
Ун (0 + |
1 = |
*пе (0 + |
М |
(«' — 1) At + |
I, |
(6.144) |
||||
а задание |
при этом будем считать нулевым, т. е. е (/) = |
— х0 (»')• |
|
|||||||||
Запаздывающую связь |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
х0 (t) = |
х |
(t — т0) |
или |
х0 (i) = х (i — *3), |
|
|
(6.145) |
|||||
где |3 = т0/А/, можно реализовать специальной процедурой циклического смещения значений х (/) на *з шагов.
|
Ниже приведена запись программы на языке Фортран-4 для расчета |
||||||||
переходного |
процесса |
системы с запаздыванием для |
следующих обозначе |
||||||
ний |
параметров и режима вычислений: kQ = |
ВО; |
Т0 = ТО; т0 = LTAU- |
||||||
kn = |
ВР; |
= |
BI; |
/к = ТК; ДИМ = |
М; |
J = |
1 или 0. |
||
|
PROGRAM |
PROCES |
|
|
|
|
|||
|
DIMENSION |
Х(100) |
|
|
|
|
|||
|
READ (5,1) BP, BI, BO, TO, |
TK, |
LTAU, |
M, L, J |
|||||
|
1 FORMAT (2F5.3, 3F5.1, 412) |
|
|
|
|
||||
|
WRITE (6,12) |
|
|
|
|
|
|||
|
IF (J. EQ.l) GO TO 2 |
|
|
|
|
||||
|
WRITE (6,13) |
|
|
|
|
|
|||
|
GO TO 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 WRITE (6,14) |
|
|
|
|
|
|||
|
3 T = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
N = LTAU/L + 2 |
|
|
|
|
||||
|
DO 4 I = |
I, |
N |
|
|
|
|
||
|
4 X(I) = 0. |
|
|
|
|
|
|
||
|
5 WRITE (6,15) |
T, X (1) |
|
|
|
|
|||
|
DO 10 IB = |
1. |
M |
|
|
|
|
||
|
IF (J) 7, |
6, 7 |
|
|
|
|
|
||
|
6 Y = |
l. + Z — B P*X (1) |
|
|
|
|
|||
|
Z = Z — B I* X (1 )* L |
|
|
|
|
||||
|
GO TO 8 |
|
|
|
|
|
|
||
|
7 Z = |
Z + |
B I*(1. — X (1))*L |
|
|
|
|
||
|
Y = |
Z + |
BP * (1. — X (1)) |
|
|
|
|
||
|
8 X (N) = |
X (N — 1) + (BO * Y - |
X (N — 1)) * L/TO |
||||||
1 = 1
DO 9 К = 2, N X (I) = X (K)
9 1 = 1 + 1
10 CONTINUE
T = T + M * L
IF (T — TK) 5, 5, 11
11CONTINUE
12FORMAT (/,8Х / П. П. АСР С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ')
13 FORMAT (/,8Х / ПО КАНАЛУ ВОЗМУЩЕНИЕ - ВЫХОД')
14 FORMAT (/,8Х / ПО КАНАЛУ ЗАДАНИЕ — ВЫХОД') 15 FORMAT (/,10Х/ Т = ' , F3.0,5X,' X = ', F5.3)
STOP
END
1.Какие свойства автоматической системы принято рассматривать при оценке ее качества?
2.По какой динамической характеристике системы регулирования оце нивают прямые показатели качества? Какие из них характеризуют колеба тельность системы, а какие — ее быстродействие?
3.Начертите графики переходных процессов по каналам задания и воз
мущения, соответствующие перерегулированию о = 50 %.
4. Какие из частотных показателей характеризуют колебательность системы, а какие — ее быстродействие?
5. Как связано расположение корней характеристического уравнения
сустойчивостью и колебательностью системы?
6.Как связан ближайший действительный корень характеристического уравнения с длительностью переходного процесса?
7.На каком характерном свойстве замкнутой системы регулирования
основана ее приближенная замена эквивалентным колебательным звеном? В чем заключается условие эквивалентности колебательного звена и аппрок симируемой замкнутой системы?
8. Назовите два числовых параметра колебательного звена, характери зующих его динамические свойства.
9. Как влияет коэффициент демпфирования £ колебательной модели на показатели качества а и tп?
10. Каким типовым динамическим звеном является разомкнутый кон тур колебательной модели? Назовите два числовых параметра разомкнутого контура, характеризующих его динамические свойства.
11.Как влияют параметры k и Т01 разомкнутого контура на динами ческие свойства замкнутой системы?
12.Прокомментируйте опорные формулы (6.48), связывающие показа тели качества системы с параметрами /г, Тоъ соср и Дер разомкнутого кон тура: как влияет каждый из этих параметров на показатели а, /п и М?
13.Определите параметры колебательной модели и показатели качества замкнутой системы, если передаточная функция разомкнутого контура
Wp. к (Р) = V к1р (ТгР + 1) (Т2р + 1), |
(6.146) |
где £р. к = 0,33; 711 = 2 с ; 7 12 = 1 с .
14.Какие параметры графика переходного процесса учитываются ин тегральными оценками?
15.Какой из двух переходных процессов лучше — с большой интег
ральной оценкой или малой? Почему?
16. Для каких переходных процессов можно применять линейную ин тегральную оценку?
17.Почему для колебательных переходных процессов приходится при менять модульные или квадратичные оценки?
18.Определите квадратичную интегральную оценку для системы, со
стоящей из ПИ-регулятора и объекта в виде реального интегрирующего звена (см. пример 1 в 6.3).
19.Что представляет собой функция чувствительности системы к па раметрическому возмущению?
20.Какие системы называют робастными?
21.Дайте физическое определение понятия «управляемый объект».
22.При каком физическом условии объект называют наблюдаемым?
23. Составьте для системы на рис. 6.9, а диаграмму состояния по ка
налу х3—х.
24. С помощью каких операционных элементов реализуются интегри рующие ветви диаграммы состояния при аналоговом и цифровом моделиро
вании?
25. Как выбираются параметры режима вычислений /к, At и tB при расчете переходного процесса?
Глава 7 СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
(ОСНОВЫ СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ)
7.1. Основные понятия о синтезе систем управления
Все математические задачи, решаемые в теории автоматического управления, можно объединить в два больших класса — задачи анализа и задачи синтеза автоматических систем.
В задачах анализа полностью известна структура системы, за даны все (как правило) параметры системы, и требуется оценить какое-либо ее статическое или динамическое свойство. К задачам анализа относятся расчет точности в установившихся режимах (см. гл. 4), определение устойчивости (см. гл. 5), оценка качества системы (см. гл. 6).
Задачи синтеза можно рассматривать как обратные задачам анализа: в них требуется определить структуру и параметры си стемы по заданным показателям качеств. Простейшими задачами синтеза являются, например, задачи определения передаточного коэффициента разомкнутого контура по заданной ошибке или ус ловию минимума интегральной оценки. Более сложные задачи син теза рассмотрены в данной главе, а также в 8.5, 10.6 и гл. 11.
Синтезом автоматической системы называют процедуру опре деления структуры и параметров системы по заданным показате лям качества. Синтез является важнейшим этапом проектирования и конструирования системы. В общем случае при проектировании системы необходимо определить алгоритмическую и функциональ ную структуру, т. е. решить задачу полного синтеза.
Алгоритмическую структуру системы (или ее части) находят при помощи математических методов и на основании требований, записанных в четкой математической форме. Поэтому процедуру отыскания алгоритмической структуры часто называют теорети ческим синтезом или аналитическим конструированием системы управления.
Синтез функциональной структуры или технический синтез си стемы заключается в выборе конкретных элементов (с учетом их физической природы) и согласовании статических и энергетических характеристик смежных элементов. Этот этап проектирования не имеет пока строгой математической основы и относится к области инженерного искусства. Выполняя синтез функциональной струк туры, прежде всего согласовывают входные и выходные сигналы
234
z
Рис. 7.1. Функциональная структура синтезируемой системы
смежных элементов. Сигналы должны иметь одинаковую физиче скую природу и одинаковые несущие величины. При выборе вида энергии и конструкции отдельных элементов руководствуются практическими соображениями об их простоте, надежности, ми нимальных габаритах и стоимости. Кроме этого учитывают усло вия эксплуатации элементов: температуру окружающей среды, агрессивность среды, вибрацию, взрывоопасность. На выбор функ циональной структуры часто влияют традиции и опыт проектиро вания аналогичных систем.
Последовательность решения задачи полного синтеза может быть различной. В некоторых простых случаях задачу удается решить в идеальной (с методологической точки зрения) последова тельности: сначала определить при помощи математических мето дов алгоритмическую структуру системы, а затем — подобрать со ответствующие конструктивные элементы. Однако применение этой последовательности при проектировании сколь-нибудь сложных промышленных систем управления, как правило, оказывается по ряду причин невозможным. В первую очередь возникают трудности в подборе конструктивных элементов: в ограниченной номенклатуре серийно изготавливаемых средств управления может не оказаться устройств с необходимыми алгоритмическими свойствами. Поэтому задачу синтеза в большинстве случаев решают следующим образом.
Сначала, исходя из требований к назначению системы и учиты вая условия ее работы, по каталогам серийного оборудования вы бирают функционально необходимые элементы системы: регули рующий орган РО, исполнительное устройство ИУ, датчики Д. Эти элементы вместе с объектом управления ОУ образуют неизме няемую часть системы (рис. 7.1). Затем на основании требований к статическим и динамическим свойствам системы определяют ее
изменяемую часть, в которую входят усилительно-преобразующий блок УПБ и различные корректирующие устройства КУ Алго ритмическую структуру изменяемой части находят с учетом свойств уже выбранных функционально необходимых элементов, а техни ческая реализация этой части осуществляется с использованием стандартных унифицированных регуляторов и различных коррек тирующих и компенсирующих устройств. Корректирующие уст
ройства К У \ и К У 2> включаемые в |
контур последовательно или |
в виде внутренней обратной связи, |
служат для улучшения дина |
мических свойств системы. Компенсирующие устройства КУ3 включаются между датчиком Д 2, воспринимающим возмущающее воздействие, и усилительно-преобразующим блоком, и служат для улучшения точности системы (см. 7.5).
Таким образом, процессы определения алгоритмической и функ циональной структур всей системы тесно переплетаются друг с дру гом. Нередко их приходится выполнять по нескольку раз, чередуя между собой. Окончательное решение о структуре системы прини мается, как правило, на основе компромисса между точностью и качеством, с одной стороны, и простотой и надежностью, с другой.
Заключительным этапом проектирования системы управления является параметрическая оптимизация — расчет настроечных па раметров выбранного регулятора.
После решения задачи синтеза обычно выполняют анализ син тезированной системы: методами, изложенными в гл. 4—6, прове ряют, обладает ли система необходимыми показателями точности, устойчивости и качества.
На всех этапах синтеза и анализа систем целесообразно приме нение аналоговых и цифровых вычислительных машин. Моделиро вание систем на вычислительных машинах позволяет исследовать большое количество вариантов структур и параметров и тем самым существенно ускорить решение задачи синтеза.
7.2. Общие принципы синтеза алгоритмической структуры системы управления
Идеальная структура системы. Для решения задачи синтеза алгоритмической структуры должны быть известны передаточная
функция |
W0 (р) объекта управления, |
возмущения ув и хв, |
дейст |
|||
вующие |
на |
входе и выходе |
объекта, |
а также |
помехи хП, |
возни |
кающие |
в |
каналах задания |
и измерения (см. |
рис. 4.7, а, |
б). |
|
В простейшем случае, когда возмущающие воздействия на объект
отсутствуют, управление |
можно |
осуществлять по разомкнутой |
схеме (рис. 7.2, а). Если |
при этом |
передаточную функцию Wy (р) |
управляющего устройства |
принять |
равной |
\W y (p )= l/W 0 (p), |
|
(7.1) |
Рис. 7.2. Алгоритмические структуры идеальной разомкнутой системы
то обеспечится полная (структурная) компенсация инерционности объекта, и система управления будет практически мгновенно вос производить на выходе объекта задающее воздействие х3. опт. За дание Хз. опт формируется специальным фильтром с передаточной функцией Фонт (р), которая выбирается так, чтобы фильтр как можно лучше пропускал все составляющие сигнала хэ и подавлял помеху хп (см. гл. 8).
Если на объект действует возмущение хв, которое поддается измерению, то теоретически можно синтезировать идеальную ра зомкнутую систему управления с полной компенсацией возмущения (рис. 7.2, б). Причем, передаточная функция (7.1), обеспечивающая полную компенсацию инерционности объекта, оказывается наи лучшей и для компенсации («парирования») возмущения хв. Дейст вительно, при выполнении условия (7.1) всегда Wy (р) W0 (р) = 1, поэтому полезная составляющая ху на выходе объекта будет пол ностью уравновешивать возмущение хв.
Но возмущение хв, как правило, не удается измерить, и систему управления приходится строить по замкнутой схеме или принципу обратной связи. Для отыскания структуры идеальной замкнутой системы можно использовать идею косвенного измерения возмуще
ния хв с помощью модели объекта |
W0. м (р) (рис. 7.3, а). Очевидно, |
что при |
|
W0. M(p) = W0 (p) |
(7.2) |
вычисляемый на выходе модели (см. штриховые стрелки) сигнал
*в. м = |
Х— Ху м = |
{Ху+ Х в ) — Ху М = *в |
(7 .3 ) |
является |
косвенно |
измеренным возмущением хъ и его можно, как |
|
и в предыдущей схеме (см. рис. 7.2, б), ввести в управляющее уст ройство с передаточной функцией 1IW0 (р) и, таким образом, снова
Рис. 7.3. Алгоритмические структуры идеальной замкнутой системы
получить идеальную разомкнутую структуру. В ней в соответствии с правилами структурных преобразований сигнал хуМ можно пе ренести на вход управляющего устройства и приложить к сумма тору 2. Тогда управляющее устройство \IW 0 окажется охваченным внутренней положительной обратной связью, а сигнал после сум матора 1 будет соответствовать сигналу ошибки е = х3—х. Послед нее означает, что система стала замкнутой и работает по принципу отрицательной обратной связи с регулятором (см. рис. 7.3, а, штри ховой прямоугольник)
ур fp\ _ |
У (Р) |
_______1/1Ро (Р)____ |
(7.4) |
р-" W |
е (Р) |
1 - W 0. м (p)IW 0 (Р) |
|
При точном совпадении модели и объекта регулятор (7.4) бу дет работать как пропорциональный с kp = оо, что соответствует нулевым ошибкам по каналам задания и возмущения.
В общем случае, когда хв Ф 0 и хп Ф 0, алгоритмическая струк тура идеальной замкнутой системы (рис. 7.3, б) сочетает в себе признаки обеих структур, обоснованных выше эвристическим пу тем. В этой идеальной структуре регулятор также содержит внут
реннюю положительную обратную связь, |
звенья \IW Q, Wo. м, и |
кроме того,— оптимальный фильтр Фопт. |
Замкнутая система с та |
ким регулятором теоретически эквивалентна идеальной разомкну той системе управления по возмущению хв (см. рис. 7.2, б), которая практически мгновенно воспроизводит задание х3 и полностью
238
компенсирует возмущение хв. Передаточная функция регулятора идеальной системы (см. рис. 7.3, б, штриховой прямоугольник)
\ W P Ы(р) = |
- И £ L |
= — Ф о п т ^ ----------- |
1 |
_ |
(7.5) |
I |
el (Р) |
1- Фонт (Р) |
W 0 |
(P) |
|
Звено Фонт (р), входящее в прямую цепь регулятора, осущест вляет оптимальную фильтрацию внешних воздействий и вырабаты вает оптимальное задание х3. оптОбратная модель объекта \!W0 ip) компенсирует его инерционность, а прямая W0. м прогнозирует влияние управляющего воздействия у на управляемую переменную х (вычисляет составляющую ху на выходе объекта). Так как сиг нал хуМ с выхода прогнозирующего звена поступает на вход регу лятора с положительным знаком, то вся система после очередного изменения управляющего воздействия оказывается как бы разомк нутой. Вследствие этого реальная замкнутая система теоретически эквивалентна разомкнутой системе управления по возмущению хв.
Используемое в идеальной системе включение последовательно с объектом звена в виде обратной модели объекта является принци пиальной основой структурного и параметрического синтеза систем управления, а сам прием называется методом компенсации инер ционности объекта.
В практических задачах синтеза чаще всего применяется ча стичная (параметрическая) компенсация — устранение влияния од ной — двух (обычно самых больших) постоянных времени объекта. Для этого последовательно с инерционным объектом
I W0 (р) = k0/(T01p + 1) (T0ip + 1) |
(Т0пр + 1), |
(7.6) |
||
где Toi > То % Т03 '^> |
Топ, |
включают |
форсирующее |
|
звено первого— второго порядка |
с передаточной функцией |
|||
| U7K(р) = kK(Тк1р + 1) (Г„2р + |
1), |
|
(7.7) |
|
для которого постоянные времени должны быть равны компенси руемым постоянным времени объекта, т. е.
| Т Ki == Toi', Т К2 = Т 02, |
(7-8) |
и передаточный коэффициент
\k K= W o . |
(7.9) |
Следует заметить, что практическая реализация систем с иде альной структурой (см. рис. 7.2, б) и применение метода компен сации инерционности объекта связаны с определенными техниче скими ограничениями и препятствиями, которые не всегда могут быть преодолены. В частности: как правило, невозможно точно реализовать обратную передаточную функцию объекта (7.1); фор сирующие звенья вида (7.7), используемые для частичной компен сации инерционности объекта, реально имеют свою инерционность; регулятор с внутренней положительной обратной связью обычно
структурно неустойчив или имеет большой передаточный коэффи циент, который вызывает нереализуемые управляющие воздейст вия. Тем не менее, несмотря на невозможность практической реа лизации системы с идеальной структурой, она является теоретиче ским пределом, к которому необходимо стремиться при синтезиро
вании высококачественных систем |
управления. |
В соответствии |
с идеальной структурой (см. рис. |
7.2, б) можно |
сформулировать |
фундаментальный п р и н ц и п с т р у к т у р н о - п а р а м е т р и ч е с к о й о п т и м и з а ц и и с и с т е м у п р а в л е н и я с о б р а т н о й с в я з ь ю :
управляющее устройство должно содержать динамическое звено с передаточной функцией, равной или близкой обратной переда точной функции объекта.
Идеальный регулятор для объектов с запаздыванием. Определим структуру и передаточную функцию идеального регулятора для
инерционных объектов с запаздыванием |
(3.127) — (3.130), которые |
можно описать следующей обобщенной передаточной функцией |
|
Wо (p) = W0 (р) е-рт° , |
(7.10) |
где Wo (р) — дробно-рациональная функция, характеризующая инерционную часть объекта; т0 — чистое запаздывание объекта.
Учтем, что при подстановке передаточной функции (7.10) в фор мулу (7.5) в передаточной функции регулятора появится сомножи
тель е+рт°, который соответствует идеальному упредителю и точ ная реализация которого технически невозможна. Поэтому с целью упрощения искомой структуры регулятора и облегчения его тех нической реализации целесообразно допустить, чтобы для объек тов, содержащих чистое запаздывание т0, идеальная система вос производила задающее воздействие с запаздыванием т0, т. е. чтобы
Ф* з (р) = Фопт (р) = Фонт (р) е рт°, |
(7.11) |
где Фопт (р) — оптимальный фильтр для сигналов х3 и |
хП. Тогда |
согласно (7.5) получим идеальный регулятор для объектов с запаз дыванием
^ Р . |
и(Р) |
____®ОПТ (р)____ |
1 |
(7.12) |
|
1 —фопт (р)е-рт° |
< (р ) |
||||
|
|
|
|||
который |
называется регулятором |
Ресвика. |
|
||
Выражению (7.12) соответствует структура, представленная на рис. 7.4, а. Внутренняя обратная связь регулятора Ресвика, со держащая звено чистого запаздывания, прогнозирует, какой сиг нал должен появиться на выходе объекта после очередного измене ния управляющего воздействия у. Так как эта связь положитель ная, то прогнозируемый сигнал постоянно компенсирует (нейтра лизует) равный ему реальный выходной сигнал объекта. Результи-
240