Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

ПРЕДИСЛОВИЕ

В этой книге освещается один из трёх разделов механики

мациями, упрочнение в процессе деформаций и различие законов нагружения и разгрузки — находят отражение в этой теории.

Влияние времени на механические свойства металлов, ползучесть, релаксация, усталость, зависимость сопротивления от скорости и течение при больших скоростях и высоких давлениях в ней не рассмат­ риваются; они составляют два других самостоятельных раздела теории пластичности, впрочем, тесно связанных с первым.

Инженер, который будет читать эту книгу, вправе требовать постановки и решения задач или, по крайней мере, обоснованного* толкования всех тех механических явлений при пластических дефор­ мациях тел, которые могут быть объяснены тремя указанными свойствами металлов.

Теоретик вправе ожидать математически строгой и чёткой поста­ новки задачи теории пластичности и доказательства эксперименталь­ ной обоснованности принятых в ней законов.

Автор стремился удовлетворить указанным требованиям в той мере, в какой это возможно при современном состоянии теории пластичности. Он основывался при этом на своих исследованиях,, которые позволили, повидимому, выразить в единой теории пластич­ ности многочисленные разрозненные теории.

Автор выражает благодарность сотрудникам Лаборатории испы­ тания материаловМосковского университета Ю. А. Цвибак и И. М. Тюнеевой за помощь при подборе материала и erQ оформлении; он ценит также заботу и участие О. К. Ильюшиной.

А. А. Ильюшин.

ГЛ А В А I.

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ.

§ 1. Предварительные замечания.

Способность твёрдых тел деформироваться под действием приложенных к нему внешних сил и получать постоянные или времен­ ные остаточные (пластические) деформации при устранении сил называется пластичностью. Основное свойство пластических дефор­ маций состоит в том, что между напряжениями и деформациями, возникающими в теле, не существует взаимно однозначной зависи­ мости, т. е. по данным напряжениям нельзя найти деформаций и, обратно, по данным деформациям нельзя найти напряжений.

Не следует думать, что пластическими свойствами обладают лишь некоторые особые материалы и только при достаточно больших деформациях; все реальные твёрдые тела при каких угодно дефор­ мациях обладают этими свойствами в большей или меньшей мере. Конечно, при некоторых условиях пластическими свойствами тел можно пренебречь, как это делается в теории упругости.

Идеализация реального тела, находящегося в определённых усло­ виях, т. е. сохранение за ним лишь основных механических свойств

иотбрасывание второстепенных, была всегда основой прогресса

механики; достаточно вспомнить роль абсолютно твёрдого тела в динамике, идеальной жидкости и газа в аэро-гидродинамике, иде­ ально упругого тела в строительной механике и др. Но расчёты и заключения, основанные на этих теориях, будут верны до тех пор, пока они не выходят за пределы опытов, при которых установлена воз­ можность идеализации. Пусть, например, стальная балка с пределом упругости, равным 2000 кг/см2, лежит на двух опорах и находится под действием груза 1 /я, который вызывает в ней максимальное напряжение изгиба 1000 кг!см2и прогибает её на 1 мм. Принято считать, что расчёт такой балки методами теории упругости или сопроти­ вления материалов даёт достаточно точные результаты как для макси­ мального напряжения, так и для величины прогиба (ошибка может составлять лишь доли процента). Но каковы будут прогиб и напря­ жение в ней через 1 год, 5 лет и 30 лет после приложения груза?

Теория упругости даёт неизменный ответ: 1 мм и 1000 кг/см*.

дение теории и опыта происходит здесь оттого, что весьма малая пластическая деформация, не учитываемая законом Гука, непрерывно возрастает со временем и совершенно изменяет как первоначальный вид изогнутой оси балки, так и распределение напряжений по попе­ речному сечению. С точки зрения теории пластичности такое пере­ распределение напряжений и деформаций с течением времени есть результат последействия и релаксации. Эти свойства особенно сильно сказываются в материалах при высоких температурах; они носят общее название: ползучесть. Первоначальное упругое состояние тела, описываемое термо-упругими уравнениями Дюгамеля-Неймана, вслед­ ствие ползучести существенно изменяется уже за очень короткие интервалы времени и потому практически мало интересно для инженеров.

Мы привели пример, когда весьма малая пластическая деформа­ ция, не учитываемая законом Гука, приводит к весьма существенному изменению напряжённого состояния тела, вследствие продолжитель­ ности действия нагрузки. Можно привести аналогичный по резуль­ татам пример изменения напряжённого состояния тела и даже его разрушения, вследствие большого числа циклов периодически меня­ ющейся во времени нагрузки. Такое Проявление пластических свойств называется усталостью. Затухание свободных упругих колебаний тел, связанное с внутренним трением или с явлением гистерезиса, также является результатом неточности закона Гука и проявления пласти­ ческих свойств материала. Но при средней продолжительности вре­ мени действия нагрузок, средних скоростях деформаций, среднем числе циклов колебаний и нормальной температуре 1) твёрдые тела с достаточной точностью можно считать упругими до тех пор, пока возникающие в них напряжения и деформации не превосходят опре­ делённых значений. В области, где напряжения и деформации выше этих пределов, твёрдые тела получают бдльшую или меньшую пластическую деформацию; можно добиться значительного роста пластических деформаций от нагрузки, прибегая либо к чисто механическим воздействиям (давление), либо к нагреванию. Поэтому следует говорить не столько об упругом или пластическом теле, сколько об упругом и пластическом состояниях твёрдого тела. Эти понятия в отличие от общепринятых, например, в отличие от приведён­ ного выще определения пластичности, являются вполне определёнными и строгими.

Упругим состоянием твёрдого тела называется такое его со­ стояние, когда для каждой температуры тела независимо от времени

существует взаимно однозначная зависимость между напряжениями и деформациями. Эта зависимость обычно является линейной и выражается законом Гука.

Пластическим называется такое состояние твёрдого тела, при котором для данной температуры связь между напряжениями и дефор­ мациями в каждый данный момент времени становится взаимно одно­ значной, если известны все (или хотя бы одно) предшествующие напряжённые и деформированные его состояния и соответствующие значения температуры; в противном случае эта связь является не­ определённой.

§ 2. Пластические свойства, выявляемые при растяжении-сжатии образца.

Если растягивать образец с постоянной скоростью на обычной

то диаграмма разгрузки совпадёт с первоначальной прямой ОЕ. Упругое состояние образца описывается законом Гука: о = Ее. Диа­ метр образца при растяжении будет уменьшаться пропорционально

гости Е, или даже становится равным нулю. В последнем случае говорят, что материал имеет площадку текучести, и соответствую­ щее значение напряжения называют пределом текучести о8. Очень часто материалы не имеют площадки текучести, и угловой коэффициент

касательной к кривой ^ монотонно убывает по мере роста дефор­

мации 1). Во многих случаях вся диаграмма, исключая малую область

быстрого изменения может быть заменена схемой в виде лома­

ной, состоящей из двух участков прямой линии; при этом пределом текучести можно назвать напряженйе ов, при котором происходит

перелом прямой о = Ее. При о > а8 в такой схеме — = £ '

будет также постоянной величиной, называемой модулем упрочнения.

тически приближаясь к некоторому постоянному значению. При некоторой величине напряжения о = оь происходит разрыв образца, и потому аъ называют пределом прочности или временным сопро­

металлы могут получать очень.большие деформации порядка 5—20— 100

£ = 0,5 Е. йе

Пуассона» по мере роста деформаций за пределом упругости материала довольно быстро возрастает, приближаясь к максимальному значе­ нию 0,5.

Влияние скорости. На испытательных машинах обычно получается

—н-10~2 1 /сек). Так как диапазон изменения скоростей довольно велик, то представляется весьма существенной оценка влияния скорости

точно сказать, что модуль Юнга и коэффициент Пуассона, определя­

скоростей (а лля сталей даже значительно большем) диаграмма растяжения практически не зависит от скорости, и потому можно сравнивать диаграммы, полученные на различных испытательных машинах. Прандтль I1! в 1928 году предложил следующую логариф­ мическую зависимость предела текучести металлов от скорости

диапазоном изменения скоростей, так что \е — £01< 1*о1— влияние скорости на предел текучести можно оценить более простой линей­ ной зависимостью, как это было сделано нами в связи с изучением вопроса устойчивости растяжения М:

О = 2& —|—3|А£.

Совпадение этой формулы с формулой Прандтля обнаружится, если воспользоваться разложением в ряд Тейлора и положить

2й = о0 — ох и 3 |1 = я 4 - .

ео

Величина ц для сталей оказалась порядка 0,2 -г- 0,4 кг • сек/см* при скоростях деформаций порядка 108 1/сек. Чем больше скорость растяжения, тем выше идёт диаграмма растяжения, но повышение является очень незначительным, и им, как говорилось, можно пре­ небречь в достаточно большом диапазоне изменения скоростей.

Разгрузка и повторная нагрузка за пределом упругости. Если в некоторой точке А диаграммы, т. е. при значении напряжения аА

(рис. 1} прекратить дальнейшее растяжение образца и произвести разгрузку, то график зависимости напряжения от деформации в про­ цессе разгрузки будет представлять прямую линию ЛО', параллель­ ную начальному упругому участку 0 £*, причем, когда осевое напря­ жение в образце будет полностью снято, относительное его удлинение будет в масштабе диаграммы равно отрезку 0 0 '. Удлинение образца, которое он сохраняет при полной разгрузке, называется остаточной деформацией или пластической деформацией, соответствующей напря­ жению аа . Как видим, остаточное удлинение еРА равно разности между полным удлинением, вА, соответствующим напряжению аа , и

аА

упругим -g-.

товлен образец; при определении Е обычно мы даже не интересуемся тем — подвергался ли металл предварительной осадке или вытяжке, получен ли он прессованием или прокаткой, т. е. обладает он анизотро­

является вполне естественным. Так как при повторной нагрузке пря­

вышение предела упругости по мере роста пластической деформации образца. Материал упрочняется или наклепывается, и потому отме­ ченное явление называется упрочнением или наклёпом. Как видим, этот эффект будет тем большим, чем больше угол наклона кри­ вой о-е.

Продолжая процесс вторичного нагружения выше точки А , мы увидим, что график а-е совпадет с участком кривой АВ, которая получилась бы при непрерывном растяжении образца с постоянной скоростью *), т. е. образец как бы забудет про то, что он подвер­ гался разгрузке.

Точка Л есть совершенно произвольная точка на диаграмме растя­ жения, и потому можно считать, что всякому напряжению о на кри-

вой о-е соответствует деформация е, состоящая из двух частей: пластической или остаточной деформации ер и упругой деформации

е9 = ; таким образом:

е — ер + ее-

Поэтому деформацию е называют полной, общей или упруго-плас­ тической деформацией. Благодаря наличию упругой части дефор­ мации ев наряду с величиной работы деформаций Wy представляющей собой площадь диаграммы о-е, т. е.

w= [в ode,

6

говорят о потенциальной энергии деформации We9 которая может быть освобождена путём разгрузки:

Вследствие наличия упрочнения, потенциальная энергия W9 будет тем больше, чем больше пластическая деформация ер.

Эффект Баушингера М. Выше мы рассмотрели только такой процесс разгрузки, который заканчивался уменьшением действующего напряжения до нуля (точка О'). Представляет интерес продолжить этот процесс путём приложения напряжений обратного знака, пере­ ходом от растяжения к сжатию. Практически это требует нового опыта, поскольку длинные образцы, применяемые при растяжении, теряют устойчивость при сжатии. Обычно из растянутого образца вырезают короткий цилиндрический образец, который и подвергают сжатию. Однако результаты его испытаний можно нанести на преж­ нюю диаграмму (рис. 1) и вести все рассуждения так, как если бы образец оставался одним и тем же.

Приложение к образцу напряжения обратного знака, т. е. в на­ шем случае сжимающего, прежде всего вызывает упругую деформа­ цию сжатия* причём связь между напряжением и деформацией устанавливается в виде прямой линии 0 'А \ которая является про­ должением прямой АО'. После того, как в образце будет дости­ гнуто сжимающее напряжение оА>, он станет получать вторичную пластическую деформацию, и процесс будет итти, согласно кривой А!В\ примерно параллельной АВУ причём точке Л ', являющейся новым пределом упругости, будет соответствовать напряжение o j/, по модулю меньшее величины о^, а зачастую меньшее предела текучести растяжения os , найденного при первом нагружении. Итак, приложе­ ние к наклёпанному образцу напряжений обратного знака с перехо­ дом при этом за предел упругости, влечёт за собой разупрочнение материала; новый предел упругости падает. Это явление подробно исследовано Баушингером и носит его имя.

Релаксация, последействие, ползучесть. Повторим опыт растя­ жения образца с постоянной скоростью и, достигнув точки М на диа­ грамме о-*, быстро прекратим нагружение, оставляя в дальнейшем деформацию постоянной (рис. 2, а). Напряжение ом начнёт убывать сна­

зависимость:

где t — время, e — деформация, отсчитываемая от точки О', и Т — постоянная, зависящая от температуры и называемая временем релак- сации. При е = const.

-В имеем закон измене­ ния напряжения с те­ чением времени:

о = ам ехр (■4 )-

который для металлов, таких, как сталь, не подтверждается опы­ том. При нормальных температурах пониже­ ние напряжения вслед­

ствие релаксации является очень незначительным. Если в любой момент

граммы о-*, описывающей растяжение с постоянной скоростью, быстро прекратим изменение нагрузки и оставим напряжение по­ стоянным (рис. 3, а). Окажется, что деформация ем не будет по­