Теория анализа хозяйственной деятельности

и распределения работ (услуг) как в целом по предприятию, так и для каждого структурного подразделения в отдельнос­ ти и предоставлять пользователю выходную информацию в требуемой форме.

4.8. Модели и методы управления запасами

Предприятия часто делают различные запасы: хранят сырье, заготовки, готовую продукцию, денежные средства, предназначенные для приобретения реальных и финансо­ вых активов.

На производстве запасов не должно быть ни слишком много, ни слишком мало. В первом случае возникает необхо­ димость неоправданных затрат на хранение, на амортизацию товара. Во втором случае может оказаться так, что на складе не будет нужного товара. Кроме того, малое количество запа­ сов подразумевает их частое пополнение, что также требует затрат.

Задача управления запасами состоит в том, чтобы избе­ жать обеих крайностей и сделать общие затраты по возмож­ ности меньше. Отметим, что в целом эта область науки управления развита довольно хорошо, разработаны много­ численные модели с применением различных математиче­ ских методов. Рассмотрим две простейшие модели управле­ ния запасами в хозяйственной деятельности предприятия.

Основная модель управления запасами ( модель Бау- моля).

Важнейшую роль в наших расчетах будет играть функ­ ция изменения запаса. Эта связь между количеством единиц товара на складе Q и временем t. Будем считать, что имеется один вид товара.

Если на товар имеется спрос, то функция изменения запа­ са Q = Q(t) убывает. Если товар, наоборот, завозят на склад, то эта функция возрастает. Для упрощения модели будем считать, что запас пополняется мгновенно.

Затраты, связанные с запасами, можно разделить на три части:

•стоимость товара;

• организационные издержки — расходы, связанные с оформлением товара, его доставкой, разгрузкой и т.д.;

Параметры с, d, s, h считаются заданными. Задача управ­ ления запасами состоит в выборе параметра g таким образом, чтобы минимизировать годовые затраты.

Для решения сформулированной задачи надо прежде все­ го выразить затраты через параметры с, d, s, ft, g. В соответ­ ствии с условием задачи общие издержки С вычисляются по формуле

* sd qh

C(g) —cd н-------1----- . g 2

Требуется найти такое число д*, чтобы функция С = С(д) принимала наименьшее значение на множестве д > 0 именно в точке д*.

График функции С(д) показан на рис. 4.4. В соответствии с необходимым условием экстремума берем первую произ­ водную функции С(д) по д, приравниваем ее к нулю и разре­ шаем относительно д. Имеем

Полученная формула и есть модель Баумоля.

Модель производственных поставок. В основе вышеопи­ санной модели лежало предположение, что товары поступают на склад мгновенно. Это предположение достаточно хорошо отражает ситуацию, когда товар поставляется в течение одно­ го дня (или ночи). Если товары поставляются с работающей производственной линии, необходимо модифицировать основ­ ную модель. В этом случае к параметрам с, d, $, ft добавляется еще один параметр — производительность производственной линии р (единиц товара в год). Будем считать ее заданной и постоянной величиной.

Эта новая модель называется моделью производственных поставок. Величина g по-прежнему обозначает размер пар­ тии. В начале каждого цикла происходит «подключение» к производственной линии, которое продолжается до накоп­ ления g единиц товара. После этого пополнения запасов не происходит до тех пор, пока не возник дефицит.

График функции изменения запаса в этом случае имеет следующий вид (рис. 4.5).

Рис. 4.5. График функции изменения запаса

Общие издержки С(д), как и в основной модели, состоят из трех частей: общей стоимости товара за год, годовых орга­ низационных издержек и издержек на хранение. Первые две части определяются аналогично, как и в основной модели. Издержки же на хранение будут иметь несколько иной вид. Опишем их расчетную формулу.

Пусть т — время поставки (рис. 4.5). В течение этого вре­ мени происходит как пополнение (с интенсивностью р ), так и расходование (с интенсивностью d) запаса. Увеличение запа­ са происходит со скоростью р — d. Поэтому достигнутый к концу периода пополнения запаса максимальный его уро­ вень М вычисляется по формуле

М = (р - d) т.

Заметим, что М < q.

Однако р т = д, так как за время т при интенсивности про­ изводства р произведено q единиц товара. Из последних двух равенств следует, что

М = (р - d)—.

Р

Средний уровень запаса, как и в основной модели, равен половине максимального, то есть М/2. Таким образом, из­ держки на хранение запаса равны

(p -d )q h

2Р

Итак, при оптимальном размере заказа 112 единиц число поставок в год составит 9 шт., при этом продолжительность одной поставки — 10 дней, продолжительность цикла попол­ нения запаса — 41 день.

4.9. Применение теории нечетких множеств в анализе финансово-хозяйственной деятельности предприятия

Математическая теория нечетких множеств, разработан­ ная в 60-е годы XX столетия, сегодня все шире применяется в финансовом анализе деятельности предприятия, включаю­ щем анализ и прогноз финансового положения предприятия, анализ изменений оборотного фонда, потоков свободных де­ нежных средств, экономического риска, оценки влияния за­ трат на прибыль, расчета стоимости капитала.

Воснове данной теории лежат понятия «нечеткое множе­ ство» и «функции принадлежности».

Вобщем случае решение задач такого типа довольно гро­ моздко, так как имеет место большой объем информации. Практическое использование теории нечетких множеств по­ зволяет развивать традиционные методы финансово-хозяйст­ венной деятельности, адаптировать их к новым потребностям учета неопределенности в будущем основных показателей деятельности предприятий.

Вкачестве примера рассмотрим одну из классических за­ дач о движении свободных денежных средств на предпри­ ятии, но в условиях, когда нижние и верхние границы оценки денежных средств баланса структурированы, а внут­ ри заданного интервала ведут себя неопределенно.

Предположим, что есть менеджер, задача которого состо­ ит в оценке прогноза движения денежных средств. Если

унего запросить прогноз относительно некой исчисляемой величины на последующий период, можно в уверенностью сказать, что ответ не будет точным числом. Например, если спросить менеджера, какова будет величина закупок для производственных целей за наличный расчет, в ответе не бу­ дет конкретного числа (например, 650 или 670). В лучшем случае менеджер даст три числа, из которых первое будет ве­ личиной, ниже которой не могут опускаться суммы, пред­

ставляющие закупки за наличный расчет. Второе число будет той суммой, выше которой, по мнению менеджера, не­ возможно произвести закупки за наличный расчет. Наконец, третьим менеджер укажет число, которое, по его мнению, с наибольшей вероятностью будет соответствовать размеру закупок за наличный расчет в последующий период.

Такие оценки менеджера можно перевести в область не­ четких расчетов, представив эти оценки, например, нечет­ кими треугольными числами (НТЧ).

Эти преобразования чрезвычайно просты. Минимальная оценка менеджера считается нижней границей в нечетком треугольном числе, а максимальная оценка — верхней. Про­ гноз менеджера о наиболее вероятном (в обыденном смысле) значении изучаемого показателя будет соответствовать в не­ четком треугольном числе значению с наибольшим уровнем предположительности, равным единице.

Например, менеджер считает, что закупки для производ­ ственных целей за наличный расчет составят не менее 650, не превысят 675, наиболее вероятным представляется, что они составят 670. Тогда нечеткое треугольное число имеет вид С = (650, 670, 675).

Если при составлении оценок о «продажах, связанных с производством, за наличный расчет» менеджер указывает, что они будут не менее 650, не более 700, но полагает, что со­ ставят 660, он тем самым определил нечеткое треугольное

число V = (650, 660, 700).

При таком подходе уровень предположительности о ниж­ ней и верхней границах, естественно, считается равным 0, а уровень предположительности наиболее вероятного значе­ ния считается равным 1. График уровня предположительно­ сти относительно значений нечеткого треугольного числа V будет иметь следующую форму (рис. 4.6).

Зная треугольное число, выраженное в одной из указан­ ных форм, можно получить его выражение в любой из дру­ гих форм.

Например, зная НТЧ как тройку чисел V = (650, 660, 700), путем несложных вычислений можно преобразовать

его в форму a-срезов. При рассмотрении графика (рис. 4.6) видно, что для уровня предположительности а = 0 уровень продаж составляет 650 в качестве первого данного, а для

уровня предположительности а = 1 уровень продаж соста­ вит 660. Тогда для нахождения нижней границы (для любо­ го уровня предположительности) НТЧ в форме а-срезов необходимо найти уравнение прямой, проходящей через две точки, упомянутые ранее:

при аг = 0 ух = 650; при а2 = 1 у2 = 660.

Используя известную формулу для уравнения прямой, проходящей через две точки, будем иметь

а - 0 _ у - 650

1 - 0 ~ 660 - 650*

Отсюда у = 650 + 10а — нижняя граница НТЧ в форме а-срезов

Аналогично для нахождения верхней границы достаточно найти уравнение прямой, соединяющей точку максимальной продолжительности и точку, представляющую максимальное значение, относящуюся к НТЧ.

Тогда имеем

при аг = 0 ух = 660; при а2 = 1 у2 = 700.

Уравнение прямой будет иметь вид

а - 1 _ у - 660

0 - 1 " 700 - 660’

Отсюда у = 700-40а — верхняя граница НТЧ в форме а-срезов.

Таким образом можно перейти от выражения НТЧ как тройки чисел (650, 660, 700) к другому выражению того же НТЧ, но в форме a-срезов, то есть в виде интервала

Va = [650 + 10а, 700 - 40а] для 0 < а < 1.

Для осуществления обратного перехода от НТЧ в форме a-срезов к НТЧ в виде тройки чисел достаточно задать а = 0 для получения соответственно нижней и верхней границ НТЧ трехкомпонентной формы и а = 1 для получения макси­ мально вероятного значения. Вычисление этого значения можно провести на любой из двух границ доверительного ин­ тервала, потому что обе они совпадают при а = 1.

НТЧ можно также выразить с помощью системы четырех уравнений. Для этого нужно определить значения а через значения у на четырех интервалах изменения у: до нижней границы, от нижней границы до наиболее вероятного значе­ ния, от наиболее вероятного значения до верхней границы и, наконец, после верхней границы.

Например, рассматривая найденное ранее НТЧ

Va = [650 + 10а, 700 - 40а],

получим

а= 0, если у < 650,

а= - — если 650 < у < 660, 10

700 - Y

а = Ч если 660 < у < 700, 10

а = 0, если у > 700.

Для перехода к НТЧ в форме a-срезов достаточно выра­

зить у через а.

Таким же образом, как была найдена оценка показателя «продажа за наличный расчет», от менеджера можно полу­ чить суждения о показателе «покупки за наличный расчет»:

например, С = (650, 670, 675). В форме a-срезов оно имеет вид

Са = [650 + 20а, 675-5а].

Чистое изменение денежных средств также может быть найдено в виде НТЧ с помощью операции ( - ) 1:

Т = V (-) С = (650, 660, 700) И (650, 670, 675) =

=(650-675, 660-670, 700-650) = (-25, -10, 50).

Вформе a-срезов будем иметь

Та = Va (-) Са = [650 + 10а, 700-40а] (-) [650 + + 20а, 675-5а] = [650 + 10а - 675 + 5а, 70~0-40а -

- 650-20а] = [-25 + 15а, 50-60а].

Как легко заметить, результат, полученный при использо­ вании НТЧ, совпадает с полученным при использовании дове­ рительных интервалов. Действительно, при а = 0 в !Гаполучаем TQ= [-25, 50]. Это означает, что неопределенность охватывает 50 - (-25) = 75 единиц. Уровень предположительности в этом случае равен 0.

Но по мере того, как уровень предположительности рас­ тет, неопределенность уменьшается. Так, при а = 0,4

Та = [-25 + 15 0,4, 50-60 0,4] = [-19, 26].

При максимальном уровне предположительности а = 1 интервал сокращается до точного числа; в этом случае

Тг = [-10, -10] = -10.

Таким образом, применение нечетких чисел позволило менеджеру сделать прогноз движения денежных средств предприятия в условиях неопределенности.

В нашем случае оказывается, что за рассматриваемый пе­ риод величина изменения денежных средств колеблется между сокращением на 25 и ростом на 50 единиц. При этом прогно­ зируется, что наиболее вероятно сокращение на 10 единиц.

1 Данная операция означает, что от начала первого среза отнимается конец второго среза; от наиболее вероятного значения первого среза отнимается наиболее вероятное значение второго среза; от конца первого среза отнимается начало второго среза.