Поведение конструкций из композитных материалов
..pdfтакже физическими соотношениями, должны быть внесены существенные изме нения, учитывающие анизотропию материала.
Анализ величин, характеризующих использование композитных материалов в конструкции, требует рассмотрения тензора упругих постоянных анизотропного тела, который обсуждается в разд. 2.2
2Л. ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦ ЖЕСТКОСТИ И ПОДАТЛИВОСТИ АНИЗОТРОПНОГО УПРУГОГО ТЕЛА
Рассмотрим упругое твердое тело произвольной формы и допустим, что оно образовано бесконечным количеством материальных точек. Для того, чтобы иметь дело со сплошной однородной средой —континиу- мом, допустим, что материальные точки бесконечно велики по сравнению с размерами молекулярной решетки, характерной для данного материа ла. Отнесем упругое тело к декартовой системе координат, показанной на рис. 2.1., и выделим материальный параллелепипед — бесконечно ма лый элемент со сторонами dx, dy и dz.
На поверхности элемента могут существовать как нормальные напря жения (перпендикулярные к плоскости площадки), так и касательные напряженния (параллельные плоскости площадки). На любой из площа док три взаимно перпендикулярных компонента напряжений образуют вектор, который называется полным напряжением.
Важно разобраться с условными обозначениями и смыслом символов этих поверхностных напряжений. Для напряжения, действующего на пло щадке, внешняя нормаль к которой совпадает с положительным направле нием оси, положительным является напряжение, направление которого совпадает с направлением оси. Аналогично, когда напряжение действует на площадке, внешняя нормаль к которой совпадает с отрицательным
х
Рис. 2.1. Положительное направление напряжений на площадках элементарного объе ма упругого тела
Рис. 2.2. Сдвиг элемента
направлением оси, напряжение положительно, если его направление совпа дает с отрицательным направлением оси. Это можно заключить из рас смотрения рис. 2.1. Первый индекс любого напряжения, на любой площад ке элементарного объема, обозначает ось, которой параллельна внеш няя нормаль к площадке; второй индекс обозначает ось, которой парал лельно напряжение.
Деформации, возникающие в упругом теле, имеют такие же индексы, что и напряжения, но бывают двух типов. Линейные деформации обозна чаются е,7, где / =% у., z, и являются мерой изме нения размера элементарного объема в определенном направлении под действием нормальных напряжений oiit действующих на этот элементар ный объем. Деформации сдвига €y(i Ф /) пропорциональны отклонению углов элементарного объема от 90° при изменении прямоугольного элементарного объема в некоторый косоугольный параллелепипед под
действием касательных |
напряжений а^-(/ Ф j) . В качестве примера рас |
смотрим плоскость X — Y элементарного объема (рис. 2.2:) .Касательные |
|
напряжения оху и оух |
деформируют прямоугольный элемент в паралле |
лограмм с углом при вершине <р. Изменение угла при вершине уху = = 7Г/2 - V?.
Сдвиговые деформации € являются тензорными величинами и опреде ляются выражениями еху = Уху/2, еХ2 = yxzl2 и eyz = yyz/2.
Определив все компоненты тензора напряжений и деформаций, вос пользуемся соотношениями между напряжениями и деформациями для построения матриц жесткости и податливости анизотропного упруго го тела. Вывод соотношений, связывающих напряжения с деформация ми для анизотропного материала, аналогичен выводам, приведенным в работах [5] и [6]. Несмотря на то, что для читателя, интересующегося главным образом конечным результатом, вывод может показаться фор мальным, мы все же адресуем его к этим работам, поскольку это поможет
лучше разобраться в применении результатов. |
|
|
Из курса сопротивления материалов [1] известно, |
что |
напряжения |
и деформации е,у являются тензорами второго ранга, которые в трех |
||
мерном пространстве имеют З2 = 9 компонент. Они |
связаны между |
|
собой тензорами четвертого ранга С ^/, который имеет З4 |
= 81 компо |
|
нент. Эта связь представляется уравнением |
|
|
°Ц - Cijk l€kl> |
|
(2 -1) |
где /, /, к и / принимают значения 1, 2, 3 или х, у, z в декартовой коорди натной системе. К счастью, не существует реальных материалов, которые имеют восемьдесят одну упругую постоянную. Тензоры напряжений и
деформаций являются симметричными, т.е. Оц — а;|-, |
= €jk, поэтому |
могут быть введены следующие сокращенные обозначения: |
|
а,, =о, |
*23 = |
*4 |
«11 “ «I |
2е23 =*4 |
|
|
*22 = |
°2 |
*31 = |
*5 |
*22 = *2 |
2*31 = «5 |
(2.2) |
азз = |
*3 |
*12 = *6 |
«33 = *3 |
2*12 = *6 |
|
|
Используя выражения (2.2) , можно записать равенства (2.1) следующим образом:
а1= ^ ll€l + С\2е2 "Р ^13€3 + ^14С4 + ^15С5 + ^16€6
(2.3)
°6 = Q l Cl + Q 2 C2 Q 3<3 Q 4 € 4 + Q 5 C5 + Q e C6
Необходимо отметить, что величины Су в соотношениях (2.3) не явля ются компонентами тензора, и, следовательно, не могут преобразовывать ся как тензорные величины. Благодаря свойству симметрии тензоров напряжений и деформаций количество компонент тензора упругих посто янных уменьшается до 36, которые и фигурируют в соотношениях (2 3 ). Кроме того, если существует упругий потенциал (см. [2—6]) W = = Оуеу12 так, что имеют место равенства
dW/dey — CijjtfCkl ~ °ij> |
(2*4) |
то число независимых компонент тензора упругих постоянных сокращает ся до 21, поскольку Ctjki = С щ . Таким образом, можно написать Су = = С)г-. Далее с целью математического упрощения описания анизотропии для наиболее часто встречающихся случаев будем рассматривать только декартову систему координат. Однако полученные результаты справед ливы для любой криволинейной ортогональной системы координат (су ществует двенадцать таких координатных систем, например сферическая, цилиндрическая, эллиптическая).
Вначале рассмотрим упругое тело, свойства которого симметричны
относительно плоскости х г |
- |
х 2. Результатом симметрии является тот |
|
факт, что обсуждавшиеся выше величины |
Су должны быть инвариантны |
||
ми при преобразовании: х г |
= |
x'lf х 2 = |
х'2 и х ъ = - х 3', показанном на |
рис. 23. Там же дана таблица значений направляющих косинусов ti характеризующих это преобразование. Напряжения и деформации в ис-
Рис. 2.3. Одна плоскость симмет рии
ходной и новой (со штрихами) системах координат связаны известными
соотношениями: о |
и |
е '0 = tait ^ е/у-. |
, |
, |
/ |
Поэтому для i |
= 1 , |
2,3, 6 величина az- |
= о. |
иб . = € j |
, т.е. ац = |
=^i 1 /i 1 а х х = Оц. Однако с учетом направляющих косинусов е2 з = - е 2 з или е4 = - е 4 и а4 = - а 4, а также е3! = - е 3 ь е5 = - е 5 и о5 = - о 5. Напри-
мер, а23 |
= ^4 |
= ^2 2 ^зз°2 з = ОХ” 1 ) ^2 3 = —ог2 з = —0Г4>с учетом уравне |
ний (2,3) |
о4 |
= C4 i €i +С4 2 е2 + С43 e3 +C4 4 64 +C45 6 s + С4 6 £б и о4 = |
= С4 1 €i |
+ С4 2е2 + С4зе3 + С44е4 + С4 5 е5 +С46е6. Из этих двух урав |
|
нений следует, что С4 j = С42 = С43 =F С4 6 = 0.
Аналогичным образом можно показать, что С25 = С35 = С64 = С65 =
~ 0 , С5 1 |
= С52 — С5з = С5в ~ 0 и С14 = Cj5 = С16 = С24 = С34 —0. |
Итак, |
для материала, имеющего только одну плоскость симметрии, |
число упругих постоянных сокращается до 13. Заметим, что с практичес кой точки зрения, это обстоятельство потребует проведения тринадцати
независимых физических испытаний (для каждой температуры и конкрет ных условий влажности). Это является почти неразрешимой задачей, если принять во внимание материальные и трудовые затраты.
Применяемые на практике материалы, имеющие три взаимно ортого нальные плоскости симметрии упругих свойств, называются ортотропными (сокращенный термин от словосочетания ортогональная анизотропия).
В этом случае и другие составляющие матрицы упругих постоянных |
|
также принимают нулевые значения, а именно: С16 = С26 = С36 = С45 = |
|
= 0. С учетом |
того, что Сц = Сц, тензор упругих постоянных ортотроп- |
ного материала |
запишем следующим образом: |
С и |
С 12 |
^13 |
0 |
0 |
0 |
^ 2 1 |
С 22 С-23 |
0 |
0 |
0 |
|
С п |
С 32 |
Сзз |
0 |
0 |
0 |
С и - 0 |
|
|
С 44 |
|
(2.5) |
0 |
0 |
0 |
0 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
^55 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Q b |
Таким образом, ортотропные упругие тела и, в частности, композитные материалы в трехмерном пространстве имеют девять упругих постоян ных. Отсюда, с учетом (2,5) и (2 ,1 ), следуют соотношения между напря жениями и деформациями для ортотропного материала в трехмерном пространстве ст,- = С,уе;- (/, / = 1 ,2 ,..., 6) или в развернутой форме
а, = |
Сц*! + С 12с2 |
"*■С п ез |
о2 = |
j “Ь С?22с2 |
С2з^з |
а3 = ^31*1 + ^-32£2 |
0)3£Э |
|
|
|
( 2.6) |
а4 = а23 = С м £4 = 2С44«2з
°5 ~ а31 ” Q SC5 2С55€31
а6 ~ а12 = ^66€6 = ^^66€12
Если (2 .6) затем обратить с помощью стандартных матричных преоб разований, то
€] — |
а и охн- А12<*2 |
а13а3 |
|
€2= |
я 21°11"1”@22^2 |
А 23 А3 |
|
С3 = Д 31а1+ А 32 а2 |
4- А 33 а3 |
(2.7) |
|
«4 = |
2<2Э = А44<723 |
= А 4404 |
|
е5 =F |
2 с31 = °55а31 = °55а5 |
|
|
«6 = |
2«12 = °66а12 = а 66°6• |
|
|
Матрица коэффициентов аху называется матрицей податливости и является транспонированной матрицей алгебраических дополнений эле ментов матрицы Су, поделенной на определитель матрицы Су. При этом каждый член матрицы fly определяется как
аЦ = \СоСи] Т1 IQ/I, |
(2.8) |
Величины fly также не являются тензорными и не подлежат преобразо ваниям как тензоры.
Можно показать, что fly = fly и |
|
e/ = *//(w = 1,2, . . , 6 ). |
(2.9) |
В табл. 2.1 представлены количества упругих постоянных в двух- и трехмерных упругих телах.
Т а б л и ц а 2.1. Суммарное количество коэффициентов упругости некоторых классов материалов
Класс материалов |
Число ненулевых |
Число независимых |
|
коэффициентов |
коэффициентов |
Общая анизотропия |
Трехмерное тело |
|
36 |
21 |
|
Одна плоскость симметрии |
20 |
13 |
Две плоскости симметрии |
12 |
9 |
Трансверсальная изотропия |
12 |
5 |
Изотропия |
12 |
2 |
|
Двумерное тело |
6 |
Общая анизотропия |
9 |
|
Одна плоскость симметрии |
9 |
6 |
Две плоскости симметрии |
5 |
4 |
Трансверсальная изотропия |
5 |
4 |
Изотропия |
3 |
2 |
2.3. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ СОСТАВЛЯЮЩИХ ТЕНЗОРА УПРУГИХ ПОСТОЯННЫХ ОРТОТРОПНОГО ТЕЛА
Выше компоненты матрицы жесткости Су и матрицы податливости ац рассматривались как математические символы, связывающие напря жения и деформации. Осуществив простые испытания на растяжение и сдвиг, все перечисленные компоненты можно связать с физическими или механическими свойствами материала.
Рассмотрим простое стандартное испытание на растяжение в направ лении оси X !. Тензоры напряжений и деформаций
|
а и |
0 |
о ' |
< п |
0 |
0 |
|
|
|
|
(2.10) |
||||
|
|
|
|
|
0 |
||
a ‘ J = |
0 |
0 |
0 • £ -У = |
0 |
- " 1 2 < 1 1 |
||
|
. 0 |
0 |
0 . |
0 |
0 |
- » '1 3 < 1 1 . |
|
где Vy— коэффициент Пуассона, определяемый как отрицательная вели чина отношения деформации в направлении Xj к деформации в направле нии Xz*. Другими словами, из уравнений, написанных выше, следует, что
£22 = - ^1 2 £ц или vl2 = ~е2гЫ\\-
Коэффициенты пропорциональности между напряжениями и деформа циями, обозначаемые Eiy являются модулем упругости материала в нап
равлении Ху Таким образом, 6i = |
ах10^ = oxIEXi е2 —а21 ol = ~vX2ei = |
|||
= ~ v\iO\IE\> £з = ^ 3 1 ^ 1 |
= - * 'i3£i = -^ 1 з° 1 /^.П оэтом у |
|
||
а \х = |
1 /^ь ^ 2 1 = |
Я3 1 = — V13IE1 . |
(2 .1 1 ) |
|
Для простого опыта на растяжение в направлении оси Х2 имеем |
|
|||
а \ 2 = |
^21 /Е2уа22 ” |
\/E2f Д32 = |
^23IE2 • |
(2.12) |
Аналогично при растяжении в направлении оси Х ъ |
|
|||
а1Ъ = —рЪ1!ЕЪу а2Ъ = —^32/^ 3» дзз = 1/^з- |
(2.13) |
|||
Из условия Су = ау следует |
|
|
||
VyiE{ = VjJEj (i, /= 1 ,2 ,3 ) . |
|
(2.14) |
||
Далее рассмотрим гипотетическое испытание на простой сдвиг, пока занный на рис. 2.4. В этом случае напряжения, деформации и перемеще ния являются компонентами тензоров
' о |
012 |
0 ' |
0 |
<12 |
о ' |
|
‘ о |
0 |
о ' |
% = 021 |
0 |
0 • |
( и = <21 |
0 |
0 |
- К г |
021/ С 21 |
0 |
0 |
|
|
|
|||||||
. 0 |
0 |
0 . |
. 0 |
0 |
0 . |
|
. 0 |
0 |
0 . |
Здесь величина Ut является перемещением = (dU^KdXj) . Из эле ментарного курса сопротивления материалов известно, что коэффициен том пропорциональности между касательным напряжением о21 и угло-
Рис. 2.4. Напряжения и деформации при сдвиге
вой деформацией в в плоскости Х х Х 2 является модуль сдвига G21 . Из курса теории упругости следует
С12 “ 2 (^1.2 + |
^2.1 ) ~ 2 Q |
tan в |
(2.15) |
|
2 |
||||
|
21 |
|
||
Из выражения (2.7), е6 |
= а66о6у или е12 = a66o2lll = o2il2G2 l . |
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
*66 = 1/C i2.= |
1 / ^ 1 2 . |
|
(2.16) |
|
Аналогично |
|
|
|
|
Д44 = 1/^2 3»^55= 1/Сг! з . |
|
(2.17) |
||
Таким образом, все компоненты ау соотнесены с механическими свойствами материала и можно заключить, что для описания трехмер. ного ортотропного тела необходимо определить девять физических ве личин, т.е. необходимо провести девять независимых испытаний. С уче
том уравнения |
(2.14) будут найдены Elt E2t E3f G12, G23i G31, v12t |
v \3y ^21» v2 3> v3\ |
И v32 . |
Существует несколько соотношений, позволяющих выразить упругие свойства композитов через свойства материалов волокон и матриц. Этим вопросам посвящены работы [7 —9]. В недавней публикации [10] приведены результаты, относящиеся к волокнам круглого поперечного сечения случайно расположенным в плоскости перпендикулярной направ лению волокон. В этом случае композит является макроскопически
трансверсально |
изотропным, т.е. ( ) 12 = ( ) i 3 >( ) 2 2 = ( )зз и |
( ) 44 — ( |
) 5 5 , где круглые скобки соответствуют Е, G или v и упру, |
гие свойства характеризуются только пятью независимыми постоянна,
ми, а именно |
( |
) ц , ( ) 2 2 , ( ) l 2 , ( )44 И ( )66 . |
|
В работе |
[10] установлено, что для некоторых упругих постоянны* |
||
существует функциональная зависимость |
|
||
Р = ( PfVf+ пРт vm)l(Vf + v V m) y |
(2 .1 8) |
||
где Vj и Vm - |
объемные доли волокон и матрицы; Р, Рр Рт, т? - |
упру, |
|
гие постоянные; |
|
|
|
Упругие |
р |
|
|
т? |
постоянные |
Ч f |
Ч 1 |
||
*.1 |
|
1 |
||
"и |
1W |
vm |
1 |
|
"и |
". 1/ |
|||
С. а |
I/O, а |
1/С„/ |
1IGm |
'Пб |
С 2 3 |
1 1 к т |
llGm |
*4 |
|
Кг |
MKf |
UKm |
|
опредения |
Е ц и |
vx2 называются |
|
||
Приведенная выше величина |
Kj является объемным модулем при плос |
||||
кой деформации, Kf = [Ef/2(1 — v/) J |
и Km = [£m/2(l - |
)]. Величина |
|||
т? определяется следующим образом: |
|
|
|
||
l + GmIG l2f |
Ъ- A v m + G m lG ^ f |
1 + GmIKf |
|
||
щ = — z-------- ; v 4 |
= ~~тгл— —:---------- ; ПК “ |
2d -»W |
|
||
|
4d - *т) |
|
|
||
Модуль сдвига изотропной матрицы определяется выражением Gm — = Ет/2(1 + рт ). Трансверсальные модули упругости композита имеют вид
Е 22 |
— ^зз — |
4 А тС 2 з/ (КТ + TTIG 2з), |
(2.19) |
где |
1 + 4 £ т |
i . |
|
Вышеприведенные соотношения могут быть применены к компози там, армированным анизотропными волокнами, такими как углеродные и арамидные (кевлар). В случае изотропных волокон эти соотношения упрощаются. При этом
П* = [ 1 + (1 - 2vf)Gm/Gf ]l2(l - vm).
Отмечено, что для большинства конструкционных композитов, отно
шение Gm!Gf < 0,05. |
Таким образом, приближенно параметры т? опреде |
|
ляются по формулам: |
т?6 « 0,5; т?4 = (3 - 4i>m)/4(l - vm); |
= 1/2(1 - |
-«'и)-
Взаключение отметим, что для большинства эпоксидных композитов
vm = 0,35, т.е. т?4 = 0,662 и г\к = 0,77.
Эти уравнения с учетом (2.14) обеспечивают инженера необходимыми сведениями для определения упругих постоянных композитного мате риала, если известны исходные свойства и объемные доли его компонен тов.
2.4. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ И ГИДРОТЕРМИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
Приведенные в предыдущих двух разделах соотношения соответст вовали температуре, при которой анизотропное тело свободно от напря
жений, если на него не действуют статические или динамические нагрузки.
Однако для металлических и композитных конструкций температур-
Рис. 2.5. Зависимость изменения длины стержня от температуры
ные воздействия имеют место как при изготовлении, так и в ходе эксплу атации. Влияние температурного воздействия проявляется в двух важных аспектах. Во-первых, большинство материалов расширяется при нагреве и сжимается при охлаждении, причем в подавляющем большинстве слу
чаев это расширение пропорционально изменению температуры. Например, для длинного тонкого стержня из данного материала при измене нии температуры отношение удлинения стержня к первоначальной его длине будет зависеть от температуры 71, как показано на рис. 2.5. Мате матически это выражается следующим образом:
ет= AL/L = aATf |
(2.20) |
где а - коэффициент термического расширения, т.е. коэффициент пропор циональности между температурной деформацией (AL/L) и изменением температуры АТ по сравнению с некоторым исходным значением темпе ратуры, при которой отсутствуют температурные напряжения и дефор мации.
Второй важный аспект температурного воздействия связан с его вли янием на жесткость и прочность материала. Большинство материалов при нагреве становятся более мягкими, пластичными и менее прочными.
Типовые графики зависимостей предела прочности, предела текучес ти и модуля упругости от температуры показаны на рис. 2.6. Анализи руя напряженное состояние, определяя частоту собственных колебаний или критическую нагрузку нагретой или охлажденной конструкции необходимо использовать значения пределов прочности и моделуй упру-
Рис. 2.6. Зависимости модуля упругости, предела прочности и предела текучести от температуры
гости, взятые при той температуре, при которой конструкция будет эксплуатироваться.
Для ортотропного композитного материала может быть три различ ных коэффициента термического расширения, а также три температур ных деформации в трех ортогональных направлениях. В уравнении (2.20) в этом случае появляются индексы 7, 2 и 3 у деформаций и у коэффициентов термического расширения.
В середине семидесятых годов было отмечено еще одно физическое явление, относящееся к композитам с полимерной матрицей. Было уста новлено, что сочетание высокой температуры и высокой влажности оказы вает двойное вредное влияние на поведение этих композитов. Инженерыматериаловеды были крайне обеспокоены этим обстоятельством и прило жили значительные усилия с целью изучения этого нового явления. Были проведены конференции [11], на которых обсуждалась эта проблема, и предложены кратковременные и длительные программы ее исследова ния. Упомянутое воздействие сочетания высокой температуры и высо кой влажности приводит, во-первых, к насыщению влагой полимерной матрицы, что сопровождается увеличением массы до 2 %. Во-вторых, что более существенно, оно приводит к разбуханию матрицы. В работе
[12]показано, что разбухание матрицы пропорционально насыщению
еевлагой, так, что
ен = AL/L = (ЗЛт, |
(2.21) |
где Ат — процентное увеличение массы образца при изменении влаж ности от нуля до некоторого значения; (3 — коэффициент гидротерми ческого расширения, аналогичный коэффициенту термического расши рения, приведенному в уравнении (2.20).
Эта аналогия очень важна, поскольку она позволяет видеть, что гидро термические эффекты полностью аналогичные термическим эффектам по своему математическому описанию. Однако читатель должен быть осведомлен, что в литературе есть различные толкования в связи с упо мянутым коэффициентом гидротермического расширения.
Влияние влажности на свойства также подобно термическому воздей ствию. Качественная картина показана на рис. 2.7. Сухие полимеры
Рис. 2.7. Зависимость механических |
|
свойств от температуры и влаго- |
Температура |
насыщения (цифры у кривых, %) |