Поведение конструкций из композитных материалов
..pdf
|
|
^ . , , v + x (^ .. v v (0 ) - W, |
|
|
|
||
где W(x) |
= f / / / q (x) dxdxdxdx. |
|
|
|
|
||
В случае постоянной нагрузки: |
|
|
|
|
|||
, |
v |
|
\ ( х |
|
|
|
|
W^X) |
24{AXDX- B * ) |
H |
f |
) |
4 |
] |
|
|
|
Bxq0L3 |
Г / |
|
|
|
|
“° |
* |
24( AXDX - B ;) i ( z |
M |
z ) |
1 |
|
|
Соответствующие напряжения имеют вид |
|
|
|||||
о‘*» = |
£ b r [ ( z |
) 4 |
z ) |
k |
^ |
- * . ] |
|
|
|
2( AXDX- B ? ) |
|
|
|
|
|
z d A (4.66)
Dr
(4.67)
(4.68)
(4.69)
(4.70)
В табл. 4.1 |
приведены поперечные прогибы в точках (L/ |
4) и (L/2) |
при укладке |
слоев углепластика по схеме [0°/± 45°/90°]5 по |
сравнению |
с балкой, выполненной из стеклопластика, при разных видах нагружения. Отметим, что взятые в качестве примера стекло- и углепластик обладают примерно одинаковыми объемными содержаниями волокон.
4.4.ОСЕВОЕ НАГРУЖЕНИЕ ШАРНИРНО ОПЕРТЫХ БАЛОК
Вэтом случае рассматриваемая балка подвержена действию системы распределенных осевых нагрузок и сосредоточенных сил, действующих по торцам (рис. 4.6).
Для этого случая нагружения основные уравнения имеют вид
(4.71)
H’.xxxx=Px.AX) / B* and
«0.xxx=Px.AX) /A x |
(4.72) |
|
После интегрирования получим
+ Т В [ / / / P * ( L ) d x d x d x ~ f f f P x ( 0 ) ^ d x d x
- ^ N 2 - 2 N , + ^ ~ f f f Px(L ) d x d xd x + 2 |
^ f f j p x(0)dxdxdx J |
|||||
|
|
|
|
|
|
(4.77) |
uo(x ) = -f- ~ J x |
j j j p x ( x ) d x d x d x |
|
|
|||
2LAX N i ~ N \ + ~ i f |
j j p A |
L ) d x d x d x |
||||
_d_2 |
|
|
|
+-=- |
Nl + |
- ^ f f f Px(0)dxdxdx |
+ - ^ i f f j p*(0)d x d x d x |
||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
1 |
d |
|
|
|
|
(4.78) |
+ T x d l / f / P * ( 0 ) d x d x d x |
|
|||||
|
|
|||||
соответствующие напряжения: |
|
|
|
|||
<*)=£(*) |
|
|
|
|
|
|
1 A |
X |
B x |
N ' + ~ ! b f f { p * { 6 ) d x d x d x |
|||
|
|
|
|
|||
■f j f px(x )dxdx dx |
|
|
(4.79) |
|||
dx |
|
|
|
|
|
|
тх?)= 0 |
|
|
|
|
|
(4.80) |
В случае постоянной нагрузки, показанной на рис. 4.7, прогиб, осевое перемещение и напряжения определяются равенствами (4.81) —(4.84).
Табл. 4.1 |
иллюстрирует этот случай для балки из угле- и стеклопластика |
|
/ \ |
DxpoL2 f 1 / х \ 2 , х 1 |
(4.81) |
|
+lj |
|
|
|
|
Z,Wk
I P(x)=Po
Щ*Х>иО Рис. 4.7. Равномерно распределенное нагружение шарнирно опертой балки
|
6( A XDX- B 2) |
|
(4.82) |
||
|
|
|
|||
a<*>- |
PoL |
— i \ - j ) E ^ ( D x - z B x) |
(4.83) |
||
P° |
|
|
|||
|
A XD X - |
|
B x2 \ |
L I |
|
T^ , = 0 |
|
|
|
(4.84) |
|
|
|
|
|
||
|
|
4.5. |
ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ |
|
|
|
ДЛЯ КОМПОЗИТНЫХ БАЛОК: СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ |
|
|||
|
|
|
|
И УСТОЙЧИВОСТЬ |
|
Основной задачей предыдущих разделов данной главы являлось нахож дение максимального прогиба композитных балок, для которых опреде ляющими являются ограничения по жесткости, и определение максималь ных напряжений для оценки прочности конструкции. Вместе с тем, су ществуют и два других обстоятельства, которые могут привести к потере несущей способности конструкции. Первое, это поведение конструкции в условиях переменного нагружения, в результате которого могут возни кать значительные прогибы и напряжения. Второе - потеря устойчивости балки.
По виду динамическое нагружение конструкции может быть цикличес ким, например, в конструкции, несущей несбалансированный двигатель, совершающий 100 оборотов в минуту, или импульсным, неповторяю щимся, действующим в течение короткого промежутка времени, напри мер при столкновении птицы с самолетом во время его полета. Между этими экспериментальными воздействиями, т.е. гармоническими колеба ниями и ударом, существует широкий спектр динамических нагрузок.
Много может быть написано по вопросам динамического поведения композитных элементов конструкций. Обширная литература посвящена, как известно, и вопросам динамического поведения конструкций из изотропных материалов. Пблное изложение проблемы динамики выходит за рамки настоящей книги, однако главная характеристика динамическо го поведения материалов - частота собственных колебаний, будет далее рассмотрена.
Любая конструкция имеет неограниченный спектр собственных частот и форм колебаний. Если частота колебаний конструкции совпадает с собственной частотой колебаний, то это приводит к быстрому нарастанию амплитуды. В результате возможно разрушение конструкции вследствие превышения допускаемых напряжений или появления нелинейных эф фектов, ограничивающих амплитуду колебаний, но приводящих к нако плению значительных усталостных повреждений.
Таким образом, при анализе любой конструкции необходимо опреде-
пение частоты собственных колебаний и сопоставление ее с частотой внешней нагрузки, чтобы исключить явление резонанса. Кроме того, необходимо гарантировать, что прогибы конструкции и напряжения не достигнут критических значений.
В предыдущих примерах, иллюстрирующих поведение балок из компо зитных материалов, полагалось, что они имеют срединную плоскость симметрии (Bjj = 0), а связь между изгибом и растяжением и поперечные деформации сдвига отсутствуют (ех2 = 0). В этом случае основное уравнение (3.35) можно записать в виде
^ и 7 1 = 9(^) |
(4.86) |
Очевидно, что действующие нагрузки в уравнении (4.86) выражены в виде усилия, приходящегося на единицу длины. При использовании прин ципа Даламбера в уравнение (4.86) следует ввести член, равный произве дению массы единицы длины на ускорение. Таким образом, оно примет вид
|
Э М , « ) - |
( |
(4.87) |
|
11 |
э х4 |
’ |
||
/ 2а |
где w и q — функции времени и координаты, введенные частными произ водными; р — плотность материала балки; А — площадь поперечного сечения. В записанном выше уравнении q (х, t) является функцией, зави сящей от времени и координаты х , она описывает любые динамические воздействия от гармонических до ударных.
Однако частоты собственных колебаний балки определяются свойст вами материала балки и ее геометрии и не зависят от нагрузки, поэтому при их рассмотрении можно приравнять q (х, t) к нулю.
Таким образом, выражение (4.87) примет вид
bD |
+ рА |
= 0 |
(4.88) |
Предположим, что композитная балка шарнирно оперта на концах и ее прогибы аналогичны формам колебаний изотропной балки:
"(*. 0= Е л „ |
. |
П7ГХ |
(4.89) |
|
L |
||
Л7= 1 |
S1I1 — ;— COS W„t |
|
|
|
|
|
|
где A —амплитуда, con —частота собственных колебаний (радиан в едини цу времени) для я-ной формы колебаний. Отметим, что для каждой формы колебаний, т.е. для каждого п = 1,2, 3 . . . существует только одна частота собственных колебаний.
Подставив выражение (4.89) в (4.88), получим уравнение
00 |
Л4эт4 |
пих |
2 |
Ап [-----bDx1 - |
ьтп рА] sin ------ cos со n t= О, |
п= 1 |
L A |
L |
которое будет удовлетворяться, если каждому значению п соответствует
„ |
(4.90) |
"1} V ра
Таким образом, определенному значению п соответствует свое значение частоты собственных колебаний, как показано на рис. 4.8. Определение частоты собственных колебаний при каждом п имеет большое значение (если на балку действуют колебания такой же частоты, то может возни кнуть резонанс, и произойти быстрое нарастание амплитуды, приводящее к разрушению конструкции).
Наименьшая частота собственных колебаний соответствует п = 1 и назы вается основной частотой. Необходимо отметить, что п может изменяться от 1 до бесконечности. Однако дифференциальные уравнения (4.88) спра ведливы только для части этого диапазона. Для изотропной однослойной балки уравнение оказывается несправедливым, если половина длины волны сопоставима с высотой балки, поскольку в этом случае приобре тают существенное значение поперечные деформации сдвига (еХ2 и еу2 Ф Ф 0). Для балок из композитных материалов влияние поперечных дефор маций сдвига имеет место даже при основной собственной частоте, одна ко их учет требует значительных аналитических дополнений, которые будут рассмотрены позже в этой главе. Уравнение (4.90) может быть полезным при предварительном конструировании.
Очевидно, что для каждой величины соп существует определенная
функция w(x, |
г), которую называют характеристической или собствен |
||||
ной функцией. |
Частота |
собственных |
Л=0 |
x=L |
|
колебаний |
является, следовательно, |
||||
собственным значением, соответству |
|
п-1 |
|||
ющим этой |
функции. |
Заметим, что |
ч |
||
амплитуду |
А п в задаче |
на собствен |
|
|
|
ные значения |
мы определить не мо |
|
п^г |
||
жем, а дифференциальное уравнение |
|
||||
|
|
||||
(4.88) является однородным. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
п=д |
Рис. 4.8. |
Формы колебаний шарнирно |
|
/7=4* |
||
опертой балки |
|
|
|
||
Помимо рассмотрения максимальных прогибов, максимальных напря жений и собственных частот при анализе конструкции необходимо иссле довать, при каких условиях нагружения может произойти потеря устой
чивости.
Рассматривая основные уравнения (4.13)-(4.17) для композитной балки со срединной плоскостью симметрии (В^ = 0), можно заметить, что два из них относятся к осевой силе Р и осевому перемещению и0 — это уравнения (4.13) и (4.15) , имеющие решение в форме (4.18) . Осталь ные три уравнения связаны только с поперечной нагрузкой q (х) и попе речным прогибом w, который определяется решением уравнения (4.27) для частного случая поперечной нагрузки q (х) = - q0. Таким образом, осевое нагружение является полностью независимым от поперечного нагружения.
Хорошо известно, и часто наблюдается на практике, что осевые нагруз ки вызывают поперечные прогибы, которые обычно являются критичес кими. Причина этого несоответствия заключается в том, что до сих пор мы пользовались линейной теорией упругости, в то время как потеря устойчивости должна описываться нелинейной теорией. Положения йелинейной теории здесь не приводятся, поскольку они изложены во многих других работах, например [2, 3].
В результате введения в уравнение нагрузок, вызывающих возмож
ность потери устойчивости балки, получим выражение |
|
||
bDx |
d4 w = q (x )+ P d2w |
(4.91) |
|
|
d x 4 |
~dS |
|
в котором очевидна связь между осевой нагрузкой и поперечным проги бом.
Сделаем некоторые замечания. Критические нагрузки, подобно собст венным частотам колебаний, не зависят от поперечных нагрузок, которые при этом анализе не рассматриваются. Однако при полном анализе конст рукции следует учитывать, что действие поперечных нагрузок наряду с нагрузками, действующими в плоскости балки, может привести к превышению допускаемых напряжений и разрушению прежде, чем оно наступит в результате потери устойчивости. При этом критические нагруз ки не зависят от поперечных сил, также как и собственные частоты. Очевидно, что при разработке конструкции, предназначенной для восприя тия сжимающих нагрузок, для которой возможна потеря устойчивости, следует стремиться ,к конструкции, обладающей срединной плоскостью симметрии (Вц = 0). Иначе, в результате предельного изгиба может про изойти разрушение до потери устойчивости и в соответствии с формулой (4.95) снижение самой критической нагрузки.
Обратившись к анализу потери устойчивости балки, можно записать
ЬО„ d4w = Р d2w> |
(4.92), |
|
d x 4 |
d x 2 |
|
зованы на стадии предварительного конструирования ввиду их относи тельной простоты. Если учитывать поперечную деформацию сдвига (см. следующий раздел), то и собственные частоты, и критические нагрузки будут меньше, чем найденные выше, т.е. растет без учета деформации сдвига не идет в запас устойчивости.
Было показано, что в формулах для собственных частот и критических нагрузок (собственных значений) , когда структура балки не симметрич на по отношению к срединной поверхности (В ц Ф 0) жесткости Dn могут быть заменены на
^ li^ n ~ &\\ |
(4 95) |
А и |
|
Выражение (4.95) |
определяет ’’приведенную” или ’’эффективную” |
изгибную жесткость. |
|
Также было показано, что выражения для собственных частот и крити ческих нагрузок, полученные без учета влияния поперечной деформации сдвига, могут быть модифицированы с целью ее учета следующим обра
зом: |
|
|
|
Ч |
|
|
предварительно определенные |
|
|
Л. |
(4.96) |
|
|
|
модиф |
1 + |
„/ * \ 2» п |
|
|
I 2 L ) Д* |
4.6.ТЕРМОУПРУГОСТЬ БАЛОК ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
ВПРЕДПОЛОЖЕНИИ, ЧТО МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОСТАЮТСЯ НЕИЗМЕННЫМИ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ТЕМПЕРАТУРЫ
Впредыдущем разделе были рассмотрены различные виды механи ческого нагружения слоистых балок. При этом использовалась класси ческая теория изгиба балок. В данном разделе рассматриваются тем
пературные напряжения и деформации. Поскольку эти задачи решают ся в рамках линейной теории упругости, то при вычислениях соответ ствующих искомых величин можно использовать принцип суперпозиции решений.
Основные уравнения для прогиба и осевого перемещения при постоян ном температурном поле имеют вид
= - M , T . . X X / D X + NxTxx/B x |
(4.97) |
И
^ О . х х х ~ |
^ х Т , х х / ^ х 4 * N х Т . х х / А х |
(4.98) |
где МхТ и NxT —температурные моменты и усилия. Записанные выше уравнения могут быть непосредственно проинтегрированы. В результате получим
w (x)= - MT/D X + NT/B X+ С,*3 + С2х 2 + С3х + С4 |
(4.99) |
uo(*) = - M TJ B X+ NT Х/ А Х+ Сьх 2 + Сьх + С7 |
(4.100) |
|
|
В этих выражениях |
|
Мт{х ) = j j МхТ(х) dxdx |
(4.101) |
N A x ) = f j K A x )dx<ix |
(4.102) |
Постоянные интегрирования Сх-С 7 определяются из граничных усло вий. Для шарнирно опертой балки, показанной на рис. 4.5, граничные условия следующие: w(0) =w(L) = ^ ( 0 ) =MX(L) =0; Nx (0) =NX(L) =
= u0 (0) = 0.
Таким образом, постоянные могут быть определены и записаны в форме
Сх = С2 = С5 = С6 = 0,
Съ = [Мт(0) - |
MT (L)]/LBX + [mT (L) - mT (0)]/LDx , |
С4 = - M T(0)/Bx + mT (0)/DXi |
|
Cn = ~ м т, |
+ |
Подставив их в решение, получим следующие зависимости для проги бов и перемещений:
w(x) = ± - [ м г (*) - MT( L ) ( j ) - JM 0 )(l - j ) \
- ^ [ " » T - ( ^ ) - w r ( L ) ( |- ) - m r (0)(l - | - ) ] |
(4.103) |
wo(X) = X [ M l-x( X) ~~MT• * ~ ^ \ . т т.Лх ) ~ т г..х(°)1 (4.104)
Некоторые результаты вычислений для композитных балок из угле- и стеклопластика, находящихся под действием температурного поля, приве дены в табл. 4.1. Необходимо отметить отличие этих значений от значений,