Поведение конструкций из композитных материалов

Только после этого можно перейти к определению максимальных

лена с величиной допускаемых напряжений или с пределом прочности для каждого слоя с учётом его ориентации.

Надо помнить, что *приведенные выше исследования существенным образом усложнятся,, если рассматривать балку, не обладающую средин­ ной плоскостью симметрии (5 П =£0) и при наличии гидротемпературных воздействий (т.е. е° + zkx - а хДГ - РХАт) , которые рассматривались в гл. 2 для общего случая.

В качестве второго примера решения задачи для балки из композитных материалов, рассмотрим балку, консольно закрепленную на конце (х = 0), как показано на рис. 4.3. Вновь воспользуемся выражением (4.27) и

d2w(L)/dx2 = 0 = - q 0L2l2bDn + CXL + С2,

d3w(L)/dx3 = 0 = - q 0L/bDn + Сх.

Отсюда С! =q0L/bDx t и С2 = - q0L2!2bDx!. Таким образом,

постоянной нагрузки

q0L 2

(4.36)

2

Если балка однослойная и изотропная, то

Когда балка выполнена из сложного композитного материала, то сог­ ласно выражению (4.21)

Можно было бы привести и другие примеры задач для композитных конструкций балка — стержень — стойка, но они были бы повторением уже изложенного.

4.3. ИЗГИБ СЛОИСТЫХ БАЛОК - УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ

Вводные замечания

Технологические процессы производства композитных конструкций типа пластин и оболочек наиболее характерны для композитных мате­ риалов. Поэтому методы исследования этих конструкций стали тради­ ционными. С другой стороны, методы отыскания приближенных решений для более простых конструкций, типа балок, получили меньшее развитие. Общие пути при поиске решений для балок основаны на: а) упрощении некоторых известных из механики решений; б) видоизменении теории для сложных полос в применении к балкам; в) учении анизотропии упругих свойств.

Основные допущения

В этом разделе будут рассмотрены основные уравнения механического поведения слоистой прямой балки с учетом гидротермических воздейст­ вий. Рассматриваемая балка изготовлена из некоторого количества упру­ гих слоев, которые отличаются друг от друга гидротермомеханическими свойствами, толщиной и ориентацией.

Теория изгиба базируется на следующих допущениях:

—Отдельные слои жестко соединены (без взаимного скольжения). —Толщина балки меньше ее длины.

—Теория изгиба Бернулли — Эйлера приближенно считается справед­ ливой. Плоские сечения до изгиба остаются плоскими и после него. Одна­ ко последнее не всегда верно в случаях анизотропных материалов, для которых являются существенными поперечные нормальные и сдвиговые деформации.

—Перемещения малы по сравнению с толщиной балки, малы также деформации и углы поворота.

—Принимается, что структура балки уравновешена, т.е. отсутствует взаимосвязь между растяжением, изгибом и кручением.

—Рассматривается только статическая нагрузка. Инерционные эффек­ ты не учитываются.

—Гидро- и термические воздействия таковы, что явлением ползучести можно пренебречь.

Основные (классические) уравнения

Напряжения в любой точке балки определяются согласно следующему соотношению между напряжениями и деформациями:

относится к определенному fc-тому слою. Если fc-тый слой является ортотропным и оси ортотропии не совпадают с геометрическими осями балки,

Поле перемещений с учетом поперечных нормальных и сдвиговых деформаций, а также эффектов более высокого порядка определяется равенствами

Необходимо отметить, что в классической теории члены, включающие

и, опускаются.

Вклассической постановке задачи, деформация может быть представ­

лена в виде

где первый член вызван механической нагрузкой, второй и третий — температурой и гидротермическим воздействием:

(4.47)

(4.48)

(4.49)

\ €*„ =“

Для записи соответствующих уравнений между напряжениями и дефор­ мациями обратимся к приведенному на рис. 4.4 элементу слоистой балки. Поскольку деформации сдвига не учитываются при первоначальном ана­ лизе, воспользуемся формулой для касательных напряжений, известной из курса сопротивления материалов:

Уравнения равновесия могут быть записаны также в перемещениях:

Эти уравнения должны быть дополнены соответствующими граничны­ ми условиями. Они рассмотрены на нескольких примерах.

Обратившись к основным уравнениям изгиба для балки, отметим, что два уравнения для перемещений и0 и w могут быть разделены на уравнения для и0 и w:

в матрице В , т.е. несимметрии структуры относительно средней поверх­ ности, определяются равенствами

-A rD - B 2

Рассмотрим теперь нагружение шарнирно опертой балки, как показано

на рис. 4.5.

При отсутствии сил, действующих в плоскости, гидротермических эффектов и момента от распределенной нагрузки уравнение для прогиба w для шарнирно опертой балки под действием распределенной попереч­ ной нагрузки примет, как это было показано в предыдущих разделах, следующий вид:

Это уравнение идентично тому, что получено в работе [1] для изгиба слоистой полосы. Обязательными допущениями, присущими этой форму­ лировке в отношении деформаций балки, являются следующие: v = 0; и и w не зависят от у (ширины); е* = u0t х - zw0t еу = 0; уху = 0.

Уравнение изгиба четвертого порядка может быть проинтегрировано непосредственно для определения прогиба:

W(JC) = Я (х) + Схх 3 + С2х? + С3х + С4.

И перемещение в плоскости будет иметь вид

и0 (*) = w, х - - + С5х 2 + С6х + С7

Введем следующие граничные условия (для случая шарнирно опер­ той балки): w(0) = 0; w(Z,) = 0; Мх (0) = 0; MX(L) = 0; Nx (0) = 0;

NX( L) = 0; и0(0) =0.

Решение для w(.x) и и0 (*) может быть записано в форме

(4.63)

М * > - £ { * Л * ) + ^ , , < о ) [ ± ( £ ) 2 - ( £ ) ]

(4.64)

Аналогично компоненты напряжения могут быть записаны в виде

а<*>=£<*>