- •П.О. Гуков
- •Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
- •Теоретические основы электротехники: примеры решения типовых задач
- •Воронеж 2004
- •Предисловие
- •Глава 1. Основные теоретические сведения
- •1.1. Линейная электрическая цепь постоянного тока
- •1.2. Линейная электрическая цепь синусоидального тока
- •1.3. Трехфазные цепи
- •1.4. Цепи несинусоидального периодического тока
- •1.5. Переходные процессы в линейных электрических цепях
- •Расчет переходных процессов операторным методом
- •1.6. Нелинейные цепи синусоидального тока
- •1.7. Графо-аналитический метод расчета разветвленной магнитной цепи с постоянной намагничивающей силой
- •1.8. Цепь с распределенными параметрами
- •1.9. Электрическое поле
- •1.10. Магнитное поле
- •Вопросы для самопроверки
- •1.11. Электромагнитная индукция.
- •Глава 2. Примеры типовых расчетов
- •Мощность генераторов
- •Относительная погрешность составляет
- •Глава 3. Необходимые сведения о программе mathcad
- •3.1. Запуск и выход из программы
- •3 Строка меню Панель форматирования .2. Строка заголовка окна
- •3.3. Строка меню программы
- •3.4. Панель инструментов Standard
- •3.5. Панель инструментов Formatting
- •3.6. Панель инструментов Math
- •3.7. Панель инструментов Calculator
- •3.8. Вычисление математических выражений
- •3.9. Сохранение документа и завершение работы с программой
- •3.10. Решение уравнений
- •3.11. Системы уравнений
- •3.12. Построение графиков функций
- •Литература
- •Приложение Примеры решения задач с помощью программы mathcad
- •394087, Воронеж, ул. Мичурина, 1
1.2. Линейная электрическая цепь синусоидального тока
Синусоидальным называется ток, изменяющийся со временем по закону
i = Im sin(t + ψ),
где i – мгновенное значение тока;
Im – амплитуда (максимальное значение);
(t + ψ) - фаза тока (характеризует состояние колебательного процесса в данный момент);
ψ - начальная фаза тока ( фаза в момент t=0);
- циклическая (угловая ) частота, = 2 f ; [рад/с],
f [ Гц ].
Начальная фаза определяет сдвиг графика синусоиды относительно начала отсчета. Если ψ >0 , то график смещается влево (опережение); если ψ <0 , то график смещается вправо (отставание). На рисунке изображен график функции i = 10 sin( + /4). По горизонтальной оси откладывается угол =t в радианах, по вертикальной оси откладывается мгновенное значение i. Синусоида смещена влево от начала отсчета на угол /4 = 0,785.
Рис.1.2-1
Две синусоидальные величины, изменяющиеся с одинаковой частотой, в общем случае могут различаться по амплитуде и по фазе. Различие фаз характеризуется разностью фаз (сдвигом по фазе).
Цепи синусоидального тока, как правило, рассчитываются комплексным (символическим) методом. В основе этого метода лежит представление синусоидальных функций времени комплексными числами. Например,
i = Im sin(t + ψ) I = Im e j(t + ψ ) = Im e jt e j ψ ,
где - мнимая единица.
Если токи и напряжения в схеме изменяются с одинаковой частотой, то их комплексы будут содержать одинаковый множитель e jt, который в расчетах можно не учитывать. Таким образом, в символическом методе рассчитываются комплексы амплитуд или комплексы действующих значений:
Комплексное число можно представить в показательном или алгебраическом виде:
Переход от показательной к алгебраической форме:
где – соответственно действительная часть, мнимая часть и модуль числа.
Переход от алгебраической к показательной форме:
Арифметические операции с комплексными числами выполняются по формулам:
В цепи синусоидального тока, кроме активного сопротивления R , рассматриваются индуктивное и емкостное сопротивления:
ХL = L; XC =1/C.
В комплексном виде
Мгновенные значения напряжений на элементах R, L, C
Если ток синусоидальный i = Im sin(t) , то соответствующие напряжения
Таким образом, на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе, на индуктивности напряжение опережает ток на угол 900, на емкости напряжение отстает от тока на угол 900. Данные соотношения справедливы для идеальных элементов. Реальная катушка, кроме индуктивности, обладает активным сопротивлением, поэтому сдвиг фаз между током и напряжением будет меньше 900. Реальный конденсатор характеризуется не только емкостью, но и активной проводимостью, обусловленной токами утечки и токами смещения. В таком конденсаторе сдвиг фаз между током и напряжением также будет меньше 900.
Цепи синусоидального тока рассчитываются теми же методами, что и цепи постоянного тока. Рассмотрим схему
Рис. 1.2-2
Данную схему рассчитаем методом двух узлов.
.
Направим токи в ветвях от узла а к узлу b, тогда по закону Ома
Комплексные величины можно представить в виде векторов, отложенных на комплексной плоскости. Совокупность векторов, представляющих токи и напряжения в какой-либо схеме, называют векторной диаграммой. Например, пусть в некоторый узел втекают три тока:
Тогда векторная диаграмма токов имеет вид
Рис. 1.2-3
Вопросы для самоконтроля
Какой ток называется синусоидальным? Перечислите основные характеристики синусоидального тока.
Как представить синусоидальные токи и напряжения в виде комплексов?
Формы представления комплексных чисел.
Как рассчитать сопротивления в цепи синусоидального тока?
Напишите выражения для мгновенных значений напряжения на элементах R, L, C.
Каковы значения сдвига фаз между током и напряжением на элементах R, L, C?