71
промежуток времени между двумя соседними вкладами в банк составит менее 4 часов.
279. Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение F1 (t) 1 e 0.02t , второго F2 (t) 1 e 0.05t . Найти вероятность того, что за время t = 6 часов: а) оба элемента откажут; б) оба элемента не откажут; в) только один элемент откажет; г) хотя бы один элемент откажет.
280. Вероятность безотказной работы телевизора распределена по показательному закону f(t) = 0,002 ∙ e-0,002t (t > 0). Найти вероятность того, что телевизор проработает 1 000 ч.
281*. Обычно папа ругает Петю за принесённую «двойку» около 6 мин. Время нотации подчиняется показательному закону распределения. На этот раз нотация длится больше шести минут. Найти математическое ожидание и дисперсию длительности нотации. Определить, с какой вероятностью папа закончит «читать нотацию» в течение ближайшей минуты?
282*. Показательным законом надёжности называют функцию надёжности, определяемую равенством R(t) = e –λt, где положительное число λ – интенсивность отказов. Доказать характеристическое свойство показательного закона надёжности: вероятность безотказной работы элемента в интервале времени, длительностью t, не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности интервала t (при заданной интенсивности отказов λ).
2.3.3. Нормальное распределение
283.Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами М(Х) = − 2 и (Х) = 4. Составить функцию плотности распределения вероятностей данной случайной величины и построить её график.
284.Известны математическое ожидание и дисперсия нормально распределённой случайной величиной Х, М(Х) = 9; D(Х) = 36. Требуется
найти: а) функцию плотности |
распределения f(x) |
и построить её |
график; |
|||||||
б) Р(5 < Х < 10); в)P( Х − 9 < 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
285. Случайная величина |
Х |
|
|
распределена по |
нормальному |
закону с |
||||
|
|
1 |
|
|
|
(x 8) 2 |
|
|
|
|
плотностью вероятностей f (x) |
|
|
|
e |
18 |
. Найти: М(Х), D(Х), Р(7<Х <11). |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
72
286. Заданы математическое ожидание и дисперсия нормально распределённой случайной величины Х: М(Х) = 20; Д(Х) = 0,25. Требуется найти: а) функцию плотности распределения f(x) и построить её график;
б) P (19 < x < 22); в) P ( x 20 0,2) .
287. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения
|
|
|
3 |
|
|
9( x |
8)2 |
|
|
вероятностей |
f (x) |
|
|
e |
32 |
|
. Найти: М(Х), D(Х), Р(− 7 < X < − 6). |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||||
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
||
288.Значения теста IQ (коэффициента интеллекта) Стэнфорда-Бине распределены приблизительно по нормальному закону с математическим ожиданием а = 100 и средним квадратическим отклонением σ = 16. Составить функцию распределения коэффициента интеллекта и плотности его распределения. Построить график нормальной кривой.
289.В условиях предыдущей задачи найти долю людей, у которых
коэффициент интеллекта окажется: а) меньше 60; б) меньше 75; в) меньше 95; г) меньше 100; д) меньше 120; е) в пределах от 80 до 120; ж) отклониться от 100 менее чем на 48.
290.Распределение рабочих на промышленных предприятиях города по проценту выполнения норм выработки есть случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону с математическим ожиданием, равным 140 и средним квадратическим отклонением, равным 30. Составить функцию плотности распределения вероятностей и построить её график.
291.Текущая цена акции может быть приближена нормальным распределением с математическим ожиданием 15,28 руб. и средним квадратическим отклонением 0,12 руб. Рассчитать вероятности того, что цена акции окажется: а) не ниже 15,50 руб.; б) не выше 15,00 руб.; в) между 15,10 руб. и 15,40 руб.
292.Средний процент выполнения плана группой предприятий составляет
106%, среднее квадратическое отклонение 
= 8%. Полагая, что процент выполнения плана этой группой предприятий подчиняется нормальному закону, определить, в каких границах следует ожидать процент выполнения плана этими предприятиями с вероятностью 0,95.
293. Волжский автомобильный завод запускает в производство новый двигатель. Конструкторы двигателя считают, что средняя длина пробега для автомобиля с новым двигателем составляет 160 тыс. км со стандартным отклонением σ = 30 тыс. км. Чему равна вероятность того, что до первого
73
ремонта пробег автомобиля с новым двигателем будет находиться в пределах от 100 тыс. км до 180 тыс. км (Считать расстояние пробега, нормально распределённой случайной величиной).
294. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение её контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением = 5 мм и математическим ожиданием а = 0. Сколько процентов годных деталей изготовит автомат?
295.Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов – есть нормально распределённая случайная величина со средним квадратическим отклонением σ = 560 и неизвестным математическим ожиданием. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 12 439. Найти среднее число заказов, получаемых фирмой в месяц.
296.Цена некоторой акции распределена нормально. В течение последнего года в 20% рабочих дней цена была меньше 20 руб., а в 75% рабочих дней она была больше 25 руб. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение цены этой акции.
297.Фирма по продаже автомобилей рассматривает предложение специального договора, который охватывает общую цену работы по обслуживанию аренды транспортных средств. По прошлому опыту менеджер фирмы оценивает, что цена по годовому обслуживанию приближается к нормальному распределению со средним значением 150 долларов и стандартным отклонением 25 долларов: а) если компания предполагает договор по обслуживанию посетителей с годовыми расходами в размере 200 долларов, то какова вероятность, что цена обслуживания клиента компании превысит 200 долларов; б) какова ожидаемая выгода по договору обслуживания?
298. Упаковочный аппарат расфасовывает стиральный порошок в пакеты, средний вес которых – 930 г., а стандартное отклонение – 20 г. а) Какая доля пакетов будет иметь вес до 900 г.? б) Если требуется, чтобы не более чем 2,5% пакетов содержали меньше, чем 900 г., то как должна быть налажена машина, чтобы соответствовать этому требованию?
299*. Рост лиц призывного возраста предполагается нормально распределённым с параметрами а = 172 см. и σ = 6 см. Определить процент лиц, рост которых: а) ниже 165 см.; б) выше 175 см.
74
Часть 3. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.
Неравенства Маркова и Чебышева
Неравенство Маркова. Пусть случайная величина X принимает только неотрицательные значения и имеет конечное математическое ожидание M(X). Тогда для любого δ>0 имеют место неравенства Маркова:
P( X ) 1 |
M ( X ) |
, P( X ) |
M ( X ) |
. |
|
|
Пример 3.1. Вероятность того, что у отдельного вкладчика некоторого сберегательного банка сумма вклада не больше 3 млн руб., превышает 0,8. Банк обслуживает 1 000 вкладчиков. Какова общая сумма вкладов этого сберегательного банка?
Решение. P( X 3) 0,8 1 |
M ( X ) |
. Тогда |
M ( X ) |
0,2 M ( X ) 0,6 . |
|
3 |
3 |
||||
|
|
|
Общая сумма 600 000 000 руб.
Неравенство Чебышева. Для любого ε>0 и любой случайной величины X, дисперсия которой конечна, выполняются неравенства
|
|
D( X ) |
, P( |
|
|
D( X ) |
. |
||
P( |
X M ( X ) |
) |
X M ( X ) |
) 1 |
|||||
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 3.2. Вероятность того, что студент учебного заведения в период работы читального зала посетит его, равна 0,3. Оценить вероятность того, что среди 900 студентов читального зала посетят от 240 до 300 человек.
Решение. M(X) = np = 900 ∙ 0,3 = 270; D(X) = npq = 189.
Величина отклонения от M(X) равна |
240 |
270 |
|
300 |
270 |
|
30 . |
|||||||||
Тогда P( |
|
X |
270 |
|
30) 1 |
189 |
0,79 . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
900 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Закон больших чисел в форме Чебышева |
|
|
|
|||||||||||||
Теорема |
(непредельная |
форма). |
Пусть |
X1 , |
X 2 , …, X n |
|||||||||||
последовательность попарно независимых, однородных случайных величин, имеющих конечные дисперсии D( X1 ), D( X 2 ), …, D( X n ), ограниченные сверху
75
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
числом С ( D( X i ) C(i |
1, n) ). Тогда для любого сколь угодно малого числа ε>0, |
|||||||||||||||||||||||
имеют место неравенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
, P( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
. |
||
P( |
X M ( X ) |
) 1 |
X M ( X ) |
|
|
|
) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Теорема (предельная форма). Пусть |
X1 , X 2 , …, X n |
|
последовательность |
|||||||||||||||||||||
независимых, однородных случайных величин, имеющих конечные D(X), |
||||||||||||||||||||||||
которые ограничены сверху постоянной С. Тогда при n |
|
|
и любого сколь |
|||||||||||||||||||||
угодно малого числа |
|
0имеют место предельные равенства: |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1; |
|
|
|
|
|
|
0 . |
||||||||||||
lim |
P |
X M X |
|
lim P |
X M X |
|
||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||
Закон больших чисел в форме Бернулли
Теорема (непредельная форма). Если проводится n повторных независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления событий A постоянна и равна p, то при n 
, и для любого сколь угодно малого числа 
0, имеют место неравенства:
|
|
|
|
|
|
|
|
pq |
|
; P( |
|
|
|
|
|
pq |
, |
|
|
||||||
|
|
|
P( |
W p |
) 1 |
W p |
) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где W |
m |
относительная частота появления события А. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема (предельная форма). Если в условиях теоремы Бернулли n |
, то |
||||||||||||||||||||||||
для любого сколь угодно малого числа |
0, |
справедливы |
предельные |
||||||||||||||||||||||
соотношения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
|||||||
|
|
|
lim |
P |
W |
p |
|
|
lim |
P |
W |
p |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Центральная предельная теорема в форме Ляпунова |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Теорема. |
Пусть X1 , |
X 2 , |
…, |
X n |
независимые |
случайные |
величины, |
||||||||||||||||||
имеющие один и тот же закон распределения с M ( X i ) |
a и D( X i ) |
2 . Тогда |
|||||||||||||||||||||||
при n |
, |
закон распределения суммы |
X |
X1 |
X 2 |
... |
X n неограниченно |
||||||||||||||||||
приближается и нормальному. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
76
Задачи
300.Средняя заработная плата водителя автобуса городского маршрута составляет 10 тыс. руб. Определить вероятность того, что з/плата случайно выбранного водителя будет превышать 12,5 тыс. руб.
301.Дана случайная величина Х:
xi |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
pi |
0,1 |
0,3 |
0,25 |
0,15 |
0,15 |
0,05 |
Чему равна вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее 11? Оценить эту вероятность, пользуясь неравенством Маркова.
302. Количество попаданий в мишень стрелком задано следующим законом
распределения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хi |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рi |
0,1 |
0,4 |
|
0,3 |
|
0,15 |
|
0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценить вероятность того, что число попаданий в цель будет не больше 3.
303.Средний выпуск товара на предприятии составляет 5 000 единиц в месяц. Определить вероятность того, что в случайно выбранном месяце число выпущенного товара будет больше 7 500 единиц.
304.Средний срок службы мотора – 4 года. Оценить снизу вероятность того, что данный мотор прослужит более 20 лет.
305. Средний гарантийный срок на бытовую технику составляет 1 095 дней (в зависимости от вида). Определить вероятность того, что для случайно выбранного вида техники гарантийный срок будет меньше чем 1 912 дней.
306. Уровень безработицы в среднем по стране равен 4%. Определить вероятность того, что уровень безработицы в отдельно взятом регионе не превысит 20%.
307. Среднее количество пассажиров, перевозимых за сутки автобусом, составляет 489 человек. Определить вероятность того, что количество пассажиров будет превышать 560 человек.
308. Средняя сумма, выплачиваемая ОАО по акции, равна 1 100 руб. Определить вероятность того, что сумма, выплаченная случайно взятому акционеру не превысит 1 600 руб.
309. Бригада штукатуров в количестве 10 человек взялась выполнить некоторую работу по сдельной оплате. Вероятность того, что заработок наугад взятого штукатура не превысит 20 000 руб., больше чем 0,7. Определить сумму денег, которую вероятно, придётся уплатить всей бригаде за работу.
77
310. Масса упакованных на заводе в ящик деталей равна 36 кг. Вероятность того, что случайно выбранная деталь будет весить меньше 900 гр, не меньше 0,8. Определить количество деталей в ящике.
311. Сумма всех вкладов в некотором сберегательном банке составляет 30 млн руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превышает 100 000 рублей равна 0,8. Что можно сказать о числе вкладчиков данного сберегательного банка?
312. Вероятность того, что самолёт некоторой авиакомпании в день перевозит менее 150 пассажиров, превышает 0,5. Компания владеет 30 самолётами, которые совершают в день по одному рейсу. Оценить дневной пассажирооборот компании.
313. Сумма всех страховых взносов некоторой страховой компании равна 1 млн у.д.е. Вероятность того, что страховой взнос у случайно выбранного клиента не превысит 400 у.д.е., равна 0,2. Найти число клиентов этой страховой
компании. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
314. Неотрицательные случайные величины X |
и Y независимы, М(X) = 5; |
||||||||||||||
М(Y) = 4. Оценить снизу вероятность неравенств: 1) |
X + Y < 40 2) XY < 200. |
||||||||||||||
315. Распределение случайной величины Х задано следующей таблицей: |
|||||||||||||||
|
xi |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
5 |
|
6 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pi |
0,05 |
0,1 |
|
0,25 |
|
0,3 |
|
0,2 |
|
0,10 |
|
|||
Чему равна вероятность того, что |
|
|
Х М (Х ) |
|
2 ? |
Оценить эту вероятность, |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пользуясь неравенством Чебышева.
316. Вероятность того, что ячейка камеры хранения будет свободна в течение суток, равна 0,2. Оценить вероятность того, что в течение 24 часов число свободных ячеек будет заключено в пределах от 140 до 180, если всего на вокзале 800 ячеек.
317. Средний вес детали в партии равен 400 граммам, а дисперсия принимается равной 1 грамму. Определить вероятность того, что наугад взятая деталь окажется по весу не менее 350 и не более 450 граммов.
318. Для определения средней продолжительности рабочего дня служащих фирмы были протестированы по одному служащему из 20 отделов. Оценить вероятность того, что отклонение средней продолжительности работы служащих из числа выбранных для проверки от средней продолжительности всех служащих превзойдёт 15 минут, если среднее квадратическое отклонение равно 5 минут.
78
319. За день магазин посетили 150 человек и была выручена сумма в размере 12 500 руб. Найти величину отклонения стоимости покупки отдельно взятого покупателя от средней суммы всех покупок, если вероятность такого отклонения равна 0,6.
320. Электростанция обслуживает сеть из 18 000 ламп, вероятность включения каждой из которых в зимний вечер равна 0,9. Оценить вероятность того, что число ламп, включённых в сеть зимним вечером, отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине не менее чем на 200.
Найдите точное значение этой вероятности по формуле p |
x a |
2 |
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
321. Вероятность того, что предприниматель отправится в Москву на самолёте, равна 0,7. Оценить вероятность того, что среди 300 предпринимателей, число человек, выбравших самолёт, будет находиться от 175 до 245.
322. Вероятность того, что заработная плата выплачивается без задержек, равна 0,84. Оценить вероятность того, что из 500 служащих различных предприятий заработную плату получат вовремя от 367 до 473 человек.
323. Вероятность того, что безработный найдёт работу, обратившись в службу занятости, равна 0,6. Оценить вероятность того, что среди 700 человек, обратившихся в службу занятости, работу получат от 340 до 500 человек.
324. В банке обслуживается 3 000 вкладчиков. Средняя процентная ставка по различным видам вкладов равна 5%. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между средней процентной ставкой и средним арифметическим их математических ожиданий не превысит 1%, если среднее квадратическое отклонение равно 2%
325. Дисперсия каждой из 380 независимых случайных величин не превышает 5. Какой должна быть нижняя граница абсолютной величины отклонения средней арифметической случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий, чтобы вероятность такого отклонения не превышала 0,6.
326. Оценить вероятность того, что отклонение любой случайной величины от её математического ожидания по модулю будет меньше трёх средних квадратичных отклонений этой величины. Какое значение принимает эта вероятность в случае нормального распределения?
327. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,12. Оценить вероятность того, что в партии из 5 500 изделий число повреждённых в пути будет составлять от 500 до 820 штук.
79
328.Вероятность положительного исхода отдельного испытания р = 0,8. Оценить вероятность того, что в 1 000 независимых повторных испытаниях отклонение частости положительных исходов от вероятности при отдельном испытании по абсолютной величине будет меньше 0,05.
329.Пусть вероятность того, что покупателю обувного магазина необходимы туфли 41-го размера, равна 0,15. Оценить границы процента покупателей среди 2 000 побывавших в магазине, которым нужны такие туфли, если эти границы надо гарантировать с вероятностью 0,98.
330.Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью, не меньшей чем 0,997, можно было утверждать, что частость выпадения герба будет между
0,499 и 0,501
331.Для определения средней продолжительности горения электролампы в партии из 200 одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампе из каждого ящика. Оценить снизу вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных 200 электроламп отличается от средней продолжительности горения во всей партии по абсолютной величине меньше, чем на 5 часов, если известно, что среднее квадратичное отклонение продолжительности горения любой лампы в каждом ящике меньше 7 часов.
332Дисперсия каждой из 1 200 независимых случайных величин не превышает 3. Определить вероятность отклонения среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математического ожидания не более чем на 0,45.
333.Дисперсия каждой из 2 500 независимых случайных величин не превосходит 9. Найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превзойдёт 0,5.
334.Дисперсия каждой из 1 650 независимых случайных величин не превышает 8. Оценить вероятность того, что абсолютная величина отклонения среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического из математических ожиданий превысит 0,3.
335.Сколько раз нужно измерять данную величину, истинное значение
которой равно а, чтобы с вероятностью, не меньшей, чем 0,95, можно было утверждать, что среднее арифметическое значение этих измерений отличается от а по абсолютной величине меньше, чем на 2, если среднее квадратичное отклонение каждого из измерений меньше 10?