66
в) Вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет меньше 36
определяется по формуле : F ( x) 0,5 Ф x a ;
P(x 36) F (36) |
0,5 |
Ф |
36 |
35 |
0,5 |
Ф(0,25) |
0,5 |
0,0987 |
0,5987. |
|||||||
|
4 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
г) Последнее задание решаем по формуле P |
X |
a |
|
2Ф |
|
. |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
P |
X |
35 |
2 |
2Ф |
2Ф 0,5 |
0,3829, |
|
|
||||||||
4 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Ф(x) – интегральная функция Лапласа (Приложение Б). |
|
|||||||||||||||
Задачи
Равномерное распределение
248. Функция плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х имеет вид:
|
0, при x |
a |
|
f (x) |
1 |
, при a |
x b |
|
|||
b a |
|||
|
0, при x |
b. |
|
Найти: а) функцию распределения F(x) и построить её график;
б) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
249.Непрерывная случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [0; 100]. Найти вероятности a) Р(Х > 10), б) Р(40 < Х <90), в) Р(Х = 50).
250.Непрерывная случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [1; 3]. Требуется: а) найти функцию плотности вероятности, функцию распределения случайной величины Х, построить их графики; б) найти математическое ожидание и дисперсию Х; в) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (1;2).
251.Все значения равномерно распределённой случайной величины Х расположены на отрезке [2; 8]. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, а также вероятности её попадания на отрезок [6; 9] и в интервал (3; 5).
67
252. Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей
|
0, |
x |
1, |
|||
f x |
|
с |
, |
1 x |
5, |
|
8 |
||||||
|
|
|
|
|||
|
0, |
x |
5. |
|||
Требуется найти: а) коэффициент C; б) функцию распределения F x ;
в) числовые характеристики случайной величины Х; г) построить графики функций F x
и f x .
253. Поезда метро идут с интервалом в 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в некоторый момент времени. Время Х, в течение которого ему придётся ждать поезд, представляет собой случайную величину, распределённую с равномерной плотностью на отрезке [0; 2] мин. Найти: f (x), F(x), М (х), D(x) , а также вероятность того что пассажиру придётся ожидать ближайшего поезда не более 0,5 мин.
254.Молоко разливают в пакеты по 1 литру. Фактически количество молока в пакете заключено в пределах от 0,95 до 1,05 литра и подчинено равномерному закону. Найти вероятность того, что пакет будет: а) вмещать более 1,03 литра; б) вмещать менее 0,91 литра; в) удовлетворять стандарту, если контроль качества допускает отклонение ( 
0,02) литра.
255.Время движения автомобиля от города А до города В равномерно
распределено на отрезке от 70 до 90 мин. Требуется: а) составить функцию плотности распределения вероятности; б) найти вероятность того, что автомобиль будет двигаться: 1) менее 75 мин; 2) более 82 мин; 3) ровно 80 мин.; в) найти среднее время движения автомобиля, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
256. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при измерении будет сделана ошибка: а) не более 0,04; б) более 0,05.
257*. На этикетке жидкого моющего средства указано, что содержание жидкости в бутылке должно составлять 12 унций. Операция по наполнению бутылки может быть описана следующей функцией плотности распределения
вероятностей: f(x)
8, 11,975 x 12,10 0, в других случаях.
Требуется определить: а) вероятность того, что бутылка будет заполнена:
68
1) от 12 до 12,5 унций; 2) больше 12,02 унций; б) вероятность того, что бутылка будет удовлетворять стандарту, если контролёр качества допускает при производстве отклонение ( 
0,2) унции по отношению к указанному на этикетке.
258*. При выяснении причин недостачи драгоценных металлов в ювелирном магазине установлено, что их взвешивание производится на весах, цена деления которых равна 0,1г., а показания весов округляются при взвешивании до ближайшего деления их шкалы, причём округления на любые значения от (– 0,05) до 0,05 равновероятны. Оценить возможность возникновения ошибки более, чем на 0,03г., вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение потерь.
2.3.2. Показательное распределение
259. Составить функцию распределения и функцию плотности вероятностей случайной величины, распределённой по показательному закону, если параметр
= 6.
260. Найти параметр показательного распределения, заданного:
а) функцией плотности вероятностей |
f (x) |
0, |
при x |
0 |
; |
||
2e 2x , при x |
0 |
||||||
|
|
0, |
|
при x |
0 |
|
|
б) функцией распределения |
F (x) |
1 e 0,4 x , при x |
0. |
|
|
||
261. Доказать, что если непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, то вероятность попадания Х в интервал (а, b)
вычисляется по формуле P a X b
e
a e
b .
262. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному функцией распределения:
|
0, |
при x 0 |
F (x) |
1 e 0,6x , при x 0. |
|
Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадёт в интервал (2, 5).
263.Найти числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию
исреднее квадратическое отклонение) случайной величины, заданной плотностью распределения вероятностей
f (x) |
0, |
при x |
0 |
|
4 e |
4 x , при x |
0. |
||
|
69
264. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного:
а) функцией плотности вероятности |
f (x) |
0, x |
0 |
; |
20e 20 x , x 0 |
||||
|
0, |
при x |
0 |
|
б) функцией распределения F (x) |
1 e 0,4 x , при x |
0 . |
|
|
265.Доказать, что если непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, то вероятность того, что Х примет значение, меньше математического ожидания М(Х), не зависит от величины параметра λ. Найти вероятность того, что Х > M(X).
266.Найдите числовые характеристики случайной величины и
Р(– 9,4 < X < – 8), если задана функция распределения
F(x) |
0, |
при x |
10 |
|
1 |
e 4( x 10) ,при x |
10. |
||
|
267.Среднее время обслуживания покупателя составляет 20 минут и подчиняется показательному закону. Найти плотность распределения, функцию распределения. Чему равна вероятность того, что обслуживание покупателя составит от 20 до 40 минут?
268.Плотность распределения случайной величины Х имеет вид
|
0, если x 0 |
. |
|
|
f (x) |
|
|
||
С e |
3 x, если x 0 |
|
|
|
|
|
|
||
Требуется: а) найти параметр С; |
б) |
составить функцию распределения; |
||
в) найти вероятность того, что случайная величина Х попадёт |
в интервал |
|||
(1/3; 1); |
|
|
|
|
г) вычислить числовые характеристики М(Х), D(X).
269. Время, необходимое |
для оформления договора, является случайной |
величиной, распределённой |
по показательному закону с параметром |
0,3 договора. Найти вероятность того, что оформление договора займёт менее
час
7 часов. Найти среднее время оформления договора.
270. На шоссе установлен контрольный пункт для проверки технического состояния автомобилей. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Т − времени ожидания очередной машины контролёром, если поток машин простейший и время
70
(в часах) между прохождениями машин через контрольный пункт распределено по показательному закону f(t) = 5e -5t.
271.Обычно брокер получает от своего клиента приказы об операциях на фондовой бирже раз в неделю. Время до поступления очередного приказа подчиняется показательному закону. Найти вероятность того, что очередной приказ поступит не более чем через два дня.
272.Срок службы жёсткого диска компьютера – случайная величина, подчиняющаяся экспоненциальному распределению со средней в 12 000 ч. Найти долю жёстких дисков, срок службы которых превысит 20 000 ч.
273.Служащий рекламного агентства утверждает, что время, в течение которого телезрители помнят содержание коммерческого рекламного ролика, подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром λ = 0,25 дня. Найти долю зрителей, способных вспомнить рекламу спустя семь дней.
274.Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина Х, распределённая по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется более 20 дней, если среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
275.Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение F(t) = 1 – e-0,001t (t > 0). Найти вероятность того,
что за время t = 50 часов: а) элемент откажет; б) элемент не откажет.
276. В страховой компании для анализа изменения с течением времени размера страхового фонда была использована информация о процессе поступления в компанию требований по выплатам, в связи с наступлением страхового случая. Было установлено , что Т – интервал времени между любыми двумя соседними требованиями подчиняется показательному закону со средней продолжительностью ½ недели. Найти вероятность того, что: а) интервал времени между двумя соседними требованиями будет меньше 4 дней; б) интервал времени между двумя соседними требованиями будет не менее трёх дней?
277. Время между последовательными поступлениями клиентов в налоговую инспекцию распределено по экспоненциальному закону со средним значением 3 мин. Служба начинает работу в 8:00 утра. Определите вероятность того, что до 8:15 утра в инспекции клиентов не будет.
278. Наблюдение за работой сберегательного банка показало, что интервал времени между двумя соседними вкладами подчиняется показательному закону с математическим ожиданием равным трём часам. Найти вероятность того, что