Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5683.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

3.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

3. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице:

f x dx 1.

Теорема. Функция распределения непрерывной случайной величины связана x

с плотностью распределения следующим равенством: F x

f x dx .

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с


плотностью		вероятности	f x	называют	определённый	интеграл
M ( X )	xf x dx,
если возможные значения случайной величины					принадлежат отрезку	a, b , то

M ( X ) xf x dx.

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата её отклонения от среднего значения.

Если возможные значения случайной величины Х принадлежат всей оси Оx,

то

D( X )

x M ( X ) 2 f x dx .

Если возможные значения X принадлежат отрезку a, b , то

D( X ) x M ( X ) 2 f x dx . a

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины

определяется, как и для величины дискретной, равенством

( X ) D( X ) .

Пример					2.5.		Непрерывная														случайная							величина			задана		функцией
распределения
																					0,					x		0
															F x							x	2	,	0 x 2

																					4
																					4
																					1,					x		2
Требуется: а) найти функцию																				плотности								распределения				f x ;	б)	найти
математическое ожидание M (X ) , дисперсию D(X ) и среднее квадратическое
отклонение					(X ) ;	в)			построить										графики							функций			f x		и	F x ;	г)	найти
P 1 X 1 .
Решение: а) по определению функции плотности вероятности																																f x	F	x
																					0,					x		0,
															f		x					x	,		0	x		2,
															f		x				2		,		0	x		2,
																					2
																					0,					x		2.
б) для непрерывной случайной величины
			b		2	x					1						4
			b		2	x					1			3	2		4
M ( X )			xf		x dx		xdx					x								;
M ( X )			xf		x dx	2	xdx				6	x			0		3			;
			a		0	2					6				0		3
			a		0
			b			2				x				1				2
			b			2
M ( X	2	)	x	2	f x dx		x	2			dx					x	4				2;

									2					8				0
			a			0			2					8				0
			a			0							4 2

			M ( X 2 ) M ( X ) 2															2											2
D( X )											2							2			;		( X )				D( X )		2		0,47.
D( X )											2		3						9		;		( X )				D( X )			9	0,47.
													3						9											9

в)

F(x)	f(x)

1		1
1

2	X	2	X

Рисунок 2.2 − Графики функций F(x ) и f(x)

г) для вычисления вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал , можно применить одну из формул:

P	X	F	F	или		P		X	f x dx .
Применим первую формулу
P 1 X 1 F 1 F 1				12		0	1	.
P 1 X 1 F 1 F 1					4	0	4	.
					4		4

Пример 2.6. Случайная величина задана плотностью распределения:

	0,			x	1,
f x		с	,	1 x	5,
f x	8		,	1 x	5,
	8
	0,			x	5.

Требуется: а) найти коэффициент C; б)																											функцию распределения F x ; в)
построить графики функций F x																		и f			x .
Решение: а) Плотность распределения																									f x			должна удовлетворять условиям:
f x	0 ;		f x dx		1, тогда
			10dx		5													5dx
f x dx						c	dx		0dx							c						c	x		5		c		5 1	4c		1	C.
f x dx							dx		0dx														x		5				5 1				C.
					1 8				5						8 1					8					1		8			8	2
					1 8				5		1				8 1
Так как			f	x dx				1,	то		1		C				1			C 2.
Так как			f	x dx				1,	то				C				1			C 2.
									2
Таким образом,
									0,									x		1,
							f	x		1		,			1			x		5,
							f	x	4			,			1			x		5,
									4
									0,									x		5.
б) для нахождения функции распределения F x																													воспользуемся формулой
	x
F x		f	x dx .
															x
При	x	1,	f	x	0				F x							0dx				0 .
								1				x
При	1	x	5 ,					1				x		1					x		x			1
				F x					0dx						dx						1					x	1 .
				F x					0dx					4	dx				4					4		x	1 .
									1					4					4					4
									1

							51
При	x 1,			1		5 1	x
		F x			0dx		dx 0dx 1.
		F x			0dx	1 4	dx 0dx 1.
						1 4	5
		0,			x	1,
Итак,	F x		x 1	,	1	x	5,
Итак,	F x		4	,	1	x	5,
			4
		1,			x	5.

в)

F x

0 1

f x

0 1

5 x

Рисунок 2.3 − Графики функций F(x) и f(x)

Задачи

205.	Случайная величина	Х задана функцией распределения
F(x)=	x+4) на отрезке	. Найти вероятность того, что случайная

величина Х примет значения: а) меньше 4; б) меньше 6; в) не меньше 3; г) не меньше 6.

206. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения

	0,		при x	0,
F ( x)		x2	, при 0	x 3
F ( x)	9		, при 0	x 3
	9
	1,		при x	3.

Найти вероятность: а) Р(Х = 1); б) Р(Х в) Р (1 Х г) вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х); среднее квадратическое отклонение.

207. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения

	0,			при x	2,
F (x)		x3	8	, при 2	x 3,
F (x)	19			, при 2	x 3,
	19
	1,			при x	3.

Найти вероятность: а) Р(Х = 2,5); б) Р(Х < 7/3); в) Р(2,5 < Х < 3); г) вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х); среднее квадратическое отклонение.

В задачах 208 – 213 случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Требуется найти:

а) функцию плотности вероятности f(x);

б) математическое ожидание М(х), дисперсию D(x), среднее квадратическое отклонение

в) вычислить вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие интервалу (

г) построить графики функций f(x) и F(x);

208. F (x)

209. F (x)

210. F (x)

211. F (x)

212. F (x)

0,	при x	0,
x2 ,	при 0	x 1,	1	,	5	.
x2 ,	при 0	x 1,	2	,	4	.
			2		4
1,	при x	1.

0,			при x	2,
	x	1			.

4		2 , при		2 x 2,
4		2 , при		2 x 2,
1,			при x	2,

0,						при x	2,
	(x			2)2 , при 2			x	3,	.
1,						при x	3,
0,						при x	1,
1			(x		1), при 1		x	6,	.
									.
	5
1,						при x	6,
0,						при x	0,
		x2			2x	, при 0	x	1,	.
3				3		, при 0	x	1,
1,						при x	1,

										53
		0,					при		x	1,
213.	F (x)		1	(x			1)2 , при		1	x 4,	.
213.	F (x)	25		(x			1)2 , при		1	x 4,	.
		25
		1,					при		x	4,
214.	Дана функция:
				0,			при	x	0,
		f (x)			1	sin x, при		0	x	,
		f (x)		2		sin x, при		0	x	,
				2
				0,			при	x .

Показать, что f(x) может служить плотностью вероятности некоторой случайной величины Х.

215. Случайная величина задана плотностью распределения

	0,				при	x	0,
f (x)		x 2		,	при	0	x 3,
	9

	0,				при	x	3.
Найдите:			а)		интегральную функцию распределения F(x); б) вероятность
Р(1			, в) постройте графики f(x) и F(x).

В задачах 216 − 221 случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей f(x). Требуется найти:

а) коэффициент С;

б) функцию распределения F(x) ;

в) математическое ожидание М(х), дисперсию D(x), среднее квадратическое отклонение σ(х);

г) построить графики функций f(x) и F(x);

д) вычислить вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие интервалу (

		0,	при x	0,
216.	f (x)	c(4	2x), при 0	x	2,	α = -1 , β = 1.
		0,	при x	2.
		0,	при x	0,
217.	f (x)	c(3x	x2 ), при 0	x	3,	α = 1 , β = 2 .
		0,	при x	3.

при x

218.

f (x)

c sin x, при 0 x

, α =

, β = .

при x

219.

f (x)

c(4x

x3 ), при 0

2, α = 1 , β = 3 .

при x

220.

f (x)

при x

, α

= -2 , β = 2 .

при x

221.

f (x)

3x2

, при 1

4, α = 0 , β = 4 .

при x

2.3.Основные законы распределения случайных величин

2.3.1.Основные законы распределения дискретных случайных величин

1.Равномерный закон распределения.

Дискретная случайная величина X называется распределённой по равномерному закону, если она принимает свои возможные значения с постоянной вероятностью

P X x		1	,
	i	1		i 1, n
		n		i 1, n

Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределённой дискретной случайной величины вычисляются по формулам

		n		n		n	2
		n		n	2	n
		xi		xi	2	xi
M ( X )	i	1	; D( X )	i 1		i 1	.
M ( X )		n	; D( X )	n		n	.
		n		n		n

2. Биномиальный закон распределения.

Для этого закона дискретная случайная величина X есть число появлений события А при проведении испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли.

Вероятности её возможных значений вычисляются по формуле

P X m C m		p m	q n m ; m		.
				0, n
n	n
Математическое ожидание и	дисперсия		дискретной случайной величины,

распределения по биноминальному закону вычисляется по формулам

M (X ) n p; D(X ) n p q.

3. Закон распределения Пуассона.

Для этого закона дискретная случайная величина X – число появлений события А при проведении испытаний, удовлетворяющих теореме Пуассона.

Тогда вероятность того, что в n испытаниях случайная величина X примет значение равное m вычисляется по формуле

	m
Pn X m		e ; m 0,1,2 , где	np.

	m!

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины, распределенной по закону Пуассона вычисляются по формуле

M (X ) D(X ) . 4. Геометрический закон распределения.

Для этого закона дискретная случайная величина X – число проведённых испытаний до первого появления события А, если испытания удовлетворяют схеме Бернулли.

Pn X m p q m 1, m 1,2,3 .

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины, распределенной по геометрическому закону, вычисляются по формулам

M ( X ) 1p ; D( X ) pq2 .

5. Гипергеометрический закон распределения.

Пусть имеется множество из n элементов, из которых s элементов обладают фиксированным свойством. Пусть из этого множества осуществляется выборка из r элементов. Тогда дискретная случайная величина X – число элементов с

фиксированным свойством, оказавшихся в выборке, а вероятности её возможных значений определяются по формуле

X m

Cnr

M ( X ) r

; D( X ) r

Пример 2.7. Предприятие выпускает 90 % изделий высшего сорта. Составить закон распределения случайной величины X – числа изделий высшего сорта из трёх, взятых наудачу изделий. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Решение. Случайная величина X – число изделий высшего сорта среди трёх отобранных изделий может принимать одно из значений: 0, 1, 2, 3. Вероятности этих значений вычисляются по формуле Бернулли:

									P X m C m						p m q n m ,
									n				n
n	3;	p	0,9; q	0,1;	m		0,1,2,3.
P3	X	0	0,1 3	0,001;			P3 X		1	C31 0,91			0,12			0,027.
P	X	2	C 2 0,92		0,1		0,243; P			X		3 0,93			0,729.
3			3						3
Случайная величина X подчиняется биномиальному закону:

						X			0			1			2		3

						P		0,001			0,027				0,243		0,729

Проверка: P P(X					0)		P(X		1)	P(X		2)		P(X		3) = 0,001 + 0,027 + 0,243 +
+ 0,729 = 1.
M (X )		n p; D(X )			n p q.				M (X ) 3			0,9	2,7 , D(X )				3 0,9 0,1 0,27 .

Пример 2.8. На сборку поступило 30 деталей, из них 25 стандартных. Сборщик берёт наудачу три детали. Составить закон распределения случайной величины X – числа стандартных деталей среди трёх взятых.

Решение. Случайная величина X – число стандартных деталей среди отобранных, подчиняется гипергеометрическому закону распределения.

0,1,2,3 . Воспользуемся формулой:

P x

C m

C r m

;

n 30; s 25; r 3; m

n s

C r

P30 X

C 0

C 3

; P30

X 1

C 2

;

C 3

406

C 3

406

					P30	X			2	C 2	C1			150		;		P30 X	3		C 3 C 0			230
					P30	X			2	C 3				406		;		P30 X	3			C 3	5	406 .
										25	5											25	5
											30											30
Закон распределения случайной величины X:

										X		0						1	2			3

										P			1				25		150			230

													406			406			406			406

Проверка: P				P(X		0)			P(X	1)		P(X				2)		P(X 3)		=		1	25		150	230	1.
Проверка: P				P(X		0)			P(X	1)		P(X				2)		P(X 3)		=							1.
																				406			406		406	406
		s							s		s				r			M ( X )	3	25		2,5;
M ( X ) r		s	; D( X ) r						s	1	s	1			r			M ( X )	3	30		2,5;
M ( X ) r		n	; D( X ) r					n	1	1	n	1			n ,


D( X ) 3	25			1	25		1		3		0,39 .
D( X ) 3				1			1				0,39 .
	29			30					30

Задачи

Биномиальный закон

222.Контрольная состоит из трёх вопросов. На каждый вопрос приведено 4 ответа, один из которых правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Найти математическое ожидание

идисперсию этой случайной величины. Составить функцию распределения и построить её график.

223.Вероятность того, что в течение гарантийного срока прибор потребует ремонта, равна 0,15. Составить закон Х – числа приборов, которые потребуют ремонта, если случайно отобраны были три прибора. Найти числовые характеристики случайной величины.

224.Хорошим считается руководитель, принимающий 70% правильных решений. Управляющему банком предстоит принять решения по 4 важным вопросам банковской политики. Считая вероятность принятия правильного решения постоянной, составить закон распределения возможного числа правильных решений управляющего. Найти числовые характеристики. Записать функцию распределения и построить её график. Найти вероятность того, что управляющий примет менее 3 правильных решений.

225.При сдаче интернет-экзамена на каждый вопрос предлагается 5 ответов, один из которых верный. Студент не подготовился к экзамену и ответ выбирает наудачу. Составить закон распределения случайной величины Х – числа верных ответов на 7 вопросов, предложенных студенту. Найти функцию распределения F(х) и построить её график. . Найти числовые характеристики случайной величины Х.

226.В городе 6 коммерческих банков. У каждого риск банкротства в течение года составляет 12%. Составить закон распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года. Найти числовые характеристики. Составить функцию распределения и построить график. Найти вероятность того, что в течение года обанкротиться не больше одного банка.

227.Вероятность того, что случайно выбранная страница рукописи содержит грамматическую ошибку 0,02. Составить закон распределения случайной величины Х – числа страниц, содержащих ошибки, если проверены 5 страниц.

Найти М(Х), D(Х), (Х). Построить полигон распределения.

228.В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 7 счетов. Известно, что 3% счетов содержат ошибки. Составить закон распределения числа правильных счетов. Найти числовые характеристики. Составить функцию распределения, построить её график. Найти вероятность того, что хотя бы один счёт будет с ошибкой.

229.В среднем по 13% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа договоров, по которым будет выплачена страховая сумма, если за год было заключено 820 договоров.

230.По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое четвёртое малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти математическое ожидание и дисперсию числа малых предприятий, имеющих нарушение финансовой дисциплины из 900 зарегистрированных в регионе.

231.Два стрелка делают по 12 выстрелов в одну и ту же мишень. Вероятность попадания при выстреле для первого стрелка – 0,6; а для второго – 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию Х – числа попаданий в мишень.

232.Установлено, что из посетителей магазина до обеда 10% уходят с покупками, а после обеда 25% посетителей что-либо покупают. В среднем до

обеда в магазин заходят 220 покупателей, а после обеда – 475. Найти математическое ожидание числа посетителей магазина, купивших товар.

Гипергеометрическое распределение

233. На курсах повышения квалификации бухгалтеров преподаватель предлагает проверить 8 накладных, 3 из которых содержат ошибки. Наугад берутся 2 накладные. Составить закон распределения случайной величины Х –

числа накладных с ошибками среди отобранных. Найти М(Х), D(Х), (Х). Составить функцию распределения F(x) и построить её график.

234. В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Из урны извлекается три раза подряд шар, причём каждый раз вынутый шар возвращается в урну и шары перемешиваются. Составить закон распределения случайной величины Х – числа белых шаров среди трёх извлечённых.

235. Вузом рассматриваются 9 кандидатур студентов, претендующих на обучение за границей. Среди них трое в совершенстве владеют иностранным языком. Путём жеребьёвки отобраны четверо студентов. Составить закон распределения случайного числа студентов, владеющих языком, среди четырёх отобранных.

236.Среди 12 агрегатов 6 нуждаются в дополнительной смазке. Составить закон распределения числа агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке, среди пяти наудачу отобранных из общего числа. Составить функцию распределения и построить её график.

237.Среди 8 изготовленных приборов 3 неточных. Составить закон распределения числа неточных приборов среди взятых наудачу четырёх приборов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Геометрическое распределение

238.Экзаменатор задаёт студенту дополнительные вопросы. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный вопрос, равна 0,85. Преподаватель прекращает экзамен, как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса. Требуется: а) составить закон распределения случайной величины Х –

числа дополнительных вопросов, которые задаст преподаватель студенту; б) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

239. Вероятность попадания стрелком в цель при одном выстреле равна 0,7. Стрелок стреляет до первого попадания. Составить закон распределения случайной величины Х – числа произведённых выстрелов. Найти: а) числовые характеристики М(Х), D(Х), (Х); б) вероятность того, что будет произведено от 2 до 4 выстрелов.

240. Игрок поочерёдно покупает билеты мгновенной лотереи до первого выигрыша. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи составляет 0,2. Составить закон распределения и найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа купленных билетов, если игрок имеет возможность купить неограниченное число билетов.

241. Покупатель посещает магазины до момента приобретения нужного товара. Вероятность того, что товар имеется в определённом магазине 0,4. Составить закон распределения случайной величины Х – числа магазинов, которые посетит покупатель. Найти числовые характеристики случайной величины М(Х), D(Х).

242.Вероятность при прыжке взять высоту, которая является нормой для мастера спорта равна р. Спортсмен повторяет попытки пока не добьётся успеха. Какова вероятность, что будет выполнено не менее трёх прыжков, если по статистике среднее число попыток равно 5.

Распределение Пуассона

243.На данный поезд было продано 450 билетов. Вероятность опоздания пассажира к отправлению поезда равна 0,002. Составить закон распределения случайной величины Х − числа пассажиров, опоздавших к отправлению поезда. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Найти вероятность того, что к отправлению поезда опоздают от 2 до 6 пассажиров.

244.Завод отправил потребителю 10 000 изделий. Среднее число изделий, повреждённых при транспортировке, составляет 0,01%. Составить закон распределения случайной величины Х – числа повреждённых изделий при транспортировке. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено менее 3 изделий.

245.Учебник издан тиражом 12 000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0005. Составить закон распределения случайной величины Х – числа неправильно сброшюрованных учебников. Найти: а) математическое ожидание, дисперсию, среднее

квадратическое отклонение; б) вероятность того, что число неправильно сброшюрованных книг будет менее 5.

246. Устройство состоит из 200 0 элементов , работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна 0,0003. Составить закон распределения случайной величины Х – числа отказавших за время t элементов. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Найти вероятность того, что за время t не менее 4 элементов.

247. Поток покупателей в кассу супермаркета подчиняется распределению Пуассона, со средним значением 7 человек в час. Чему равна вероятность того, что за час число покупателей в кассу составит от 3 до 7 покупателей .

Основные законы распределения непрерывных случайных величин

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина X называется равномерно распределённой на отрезке a; b , если плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне этого отрезка

	0,			при	x	a,
f x			1	, при a		x	b,

		b	a
	0,			при	x	b.

Функция распределения примет вид:

	0,			при	x	a;
F x		x	a	, при a		x b;
F x		b	a	, при a		x b;
		b	a
	1,			при	x	b.

Изобразим графики обеих функций (рисунок 2.5).

f(x)

F(x)

1
1					1
b a					1
b a

				0	a	b	x
0	a	b	x

Рисунок 2.4 − Графики функций F(x) и f(x)

M(X) и D(X) равномерно	распределенной			случайной величины
рассчитываются по формулам M ( X )	a b		b	a 2
		; D( X )			.
	2		12

Показательное распределение
Показательным	(экспоненциальным)			называют		распределение
вероятностей случайной величины X, которое описывается плотностью
	0	при	x	0;
	f x	x при
	e	x при	x	0,
где − постоянная положительная величина.
			0,	при	x	0;
Функция распределения примет вид:		F x		x , при
			1 e	x , при	x	0.

Графики плотности и функции распределения показательного закона

F(x)

f (x)

Рис. 2.5 − Графики функций F(x) и f(x)

Для M(X) и D(X) показательного распределения справедливы равенства

M ( X ) 1 ; D( X ) 12 .

Вероятность попадания в интервал a; b показательно распределённой случайной величины вычисляется по формуле

P a X b ea eb .

Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону,

если ее плотность распределения вероятностей выражается формулой

	1		( x a)2
f(х) =	1	e	2	2	,
			2

	2
	2
где a − математическое ожидание,			− среднее квадратическое

отклонение.

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса, рисунок 2.6).

1.Функция ƒ(х) определена на всей оси Х.

2.При любых значениях Х функция принимает положительные значения, т.е. лежит выше оси ОХ.

						63
3.	Точка (а,	1	) – точка max.


		2
		2
4.	Точки перегиба (а-σ,			1			) и (а+σ,	1		).


					2 e				2 e

Probability Density Function

			y=normal(x;0;1)
0,60
Y
0,45
0,30
0,15
0,00
-3,50	a	-1,75	0,00	a	1,75	X	3,50
	a		a	a		X
			Рисунок 2.6 − Кривая Гаусса

	1		x	2
Если функция Лапласа задаётся формулой Ф(х) =			e t		/ 2 dt , то для


	2
		0

нормально распределенной случайной величины:

1) вероятность того, что непрерывная случайная величина, распределённая по нормальному закону, примет значение на интервале , , равна

P X	Ф	a	Ф	a	;

2) вероятность того, что отклонение нормально распределённой случайной величины по абсолютной величине меньше положительного числа , находится из соотношения

			.
P	X a	2Ф

3) связь между функцией распределения F(x) случайной величины Х, распределённой по нормальному закону и функцией Лапласа выражается

формулой F (x) 0,5 Ф x a

Пример 2.9. Поезда метро идут строго по расписанию. Интервал движения – 5 минут. Составить f(x) и F(x) случайной величины X – времени ожидания очередного поезда и построить их графики. Найти M(X), D(X).

Решение. Случайная величина X – время ожидания очередного поезда. Величина X распределена равномерно на отрезке [0,5], поэтому воспользуемся формулами

	0,		x			a;		0,			x	a;
F (x)	x a	,	a x b; f (x)					1		,	a x b;
F (x)		,	a x b; f (x)							,	a x b;
	b a							b	a
	1,			x		b;		0,			x		b.
			0,			x	0;					0,			x	0;
Тогда имеем F (x)				x	,	0	x 5;				f (x)		1	,	0	x 5;
Тогда имеем F (x)			5		,	0	x 5;				f (x)	5		,	0	x 5;
			5									5
			1,			x	5.					0,			x	5.
f(x)									F(x)

0,2

5	X	5 X

Рис. 2.7 − Графики функций F(x) и f(x)

Математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам:

	M ( X )			b a	; D( X )		b	a	2	.

				2				12
				2				12
Тогда
M ( X )		5	0	2,5; D( X )		5		0 2			25	2,08.
M ( X )			2	2,5; D( X )		12			12			2,08.
			2			12			12

Пример 2.10. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с параметром 2. Составить функцию распределения, функцию плотности этой случайной величины. Найти числовые характеристики и вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (0,3;1).

Решение. Очевидно, искомая плотность распределения

0,	при	x	0;
f (x)	2x , при
2e	2x , при	x	0.

Искомая функция распределения

0,	при	x	0;
F (x)	2x , при
1 e	2x , при	x	0.

По условию

2. Следовательно,

M ( X )

0,5; D( X )

0,25.

Для

нахождения

вероятности

P(0,3<X<1)

воспользуемся формулой

P a X

b .

Тогда,

P 0,3

2 0,3 e 2 1

e 0,6 e 2

0,549 0,135 0,414.

Пример 2.11. Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали равна а=35, среднее квадратическое отклонение 4. Требуется:

а) составить функцию плотности вероятностей; б) найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше

34 и меньше 40;

в) найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет меньше 36 г) найти вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины

не больше чем на

Решение. а) Так как непрерывная случайная величина X распределена по нормальному закону, есть ее плотность распределения вероятностей выражается формулой

									x		a 2
				f (x)	1		e			2	2 .

					2
					2
Следовательно,
					1			x			35 2
				f (x)	1		e			32 .



				4	2
б) Для нормально распределенной случайной величины
		P		X	Ф		a				Ф	a	.
Тогда		P		X	Ф						Ф		.
Тогда
P 34 X 40 Ф	40 35		Ф	34 35		Ф 1,25				Ф 0,25		0,394 4 0,098 7 0,4931.
P 34 X 40 Ф	4		Ф	4		Ф 1,25				Ф 0,25		0,394 4 0,098 7 0,4931.
	4			4

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20223.28 Mб35678.pdf
#
13.11.20223.35 Mб35679.pdf
#
13.11.20223.35 Mб25680.pdf
#
13.11.20223.39 Mб85681.pdf
#
13.11.20223.39 Mб65682.pdf
#
13.11.20223.4 Mб85683.pdf
#
13.11.20223.43 Mб25684.pdf
#
13.11.20223.43 Mб25685.pdf
#
13.11.20223.44 Mб45686.pdf
#
13.11.20223.44 Mб15687.pdf
#
13.11.20223.44 Mб45688.pdf