38

минимальные издержки, равные 60, имеют варианты (А13, А22, А32, А42) и (А13, А22, А32, А44). Обычно поиск рациональных вариантов ведётся по максимальному отношению выгод к издержкам, при этом могут быть наложены дополнительные ограничения. Допустимыми решениями задачи

В/ И → max И ≤ 80; В ≥ 300 ,

будут варианты (А11, А21, А31, А41), (А11, А22, А31, А41) и (А12, А21, А31, А41), т.к. они удовлетворяют условиям, а поскольку отношения соответственно равны 1,40; 1,45 и 1,11, то максимальное значение достигается при втором варианте.

Аналогичные задачи можно решать и в том случае, когда точные значения выгод и издержек неизвестны частично или полностью, но при этом известны их экспертные оценки. В этом случае для учёта особенностей функциональной подсистемы строится иерархия выгод (и (или) издержек).

3.5. Методы количественного оценивания систем

Задача количественного оценивания систем первоначально ставилась как задача нахождения максимальных значений параметров. Однако наличие неоднородных связей между показателями приводит к необходимости корректировки критерия превосходства, то есть требуется учет приемлемых значений всех показателей. К методам количественной оценки относятся: методы теории полезности; методы векторной оптимизации; методы ситуационного управления и инженерии знаний. При использовании данных методов к реальным системам следует помнить, что:

-не существует системы, наилучшей в не зависящем от ЛПР смысле;

-не существует системы, оптимальной для всех целей и воздействий внешней среды;

-использование методов математического программирования обычно неэффективно в задачах оценивания сложных организационных систем.

При аксиоматическом подходе к оценке систем на основе теории полезности проверяются основные аксиомы: измеримости, сравнимости, транзитивности, коммутативности и независимости. Если все пять аксиом

39

выполняются, то, согласно теории полезности, существует однозначно определённая функция полезности. Функция полезности является универсальным и удобным средством математического выражения предпочтений ЛПР на множестве исходов операции. Поскольку точных методов определения полезности исхода операции не существует, то функцию полезности находят, используя экспертные оценки или методы аппроксимации или моделируя систему более высокого уровня иерархии, включающую систему с исследуемой операцией.

Методы векторной оптимизации используются для оценки систем в условиях определённости. Для исследуемой системы с помощью системного анализа определяют частные показатели и критерии эффективности, потом находят множество Парето и формулируют задачу многокритериальной оптимизации, заменяют векторный критерий скалярным на основе какой-либо функции свёртки и решают задачу оптимизации на множестве Парето с полученным скалярным критерием. Способ свёртки зависит от характера показателей и целей оценивания системы. Общим случаем функции свёртки (агрегирования, осреднения) является средняя степенная функция

где p – показатель, отражающий допустимую степень компенсации малых значений одних равноценных показателей большими значениями других показателей.

При р =1 эта функция совпадает с функцией аддитивной свертки, при р → 0 она превращается в функцию мультипликативной свертки, а

при р → - ∞ получается функция свертки, которая не допускает никакой компенсации и требует равномерное подтягивание всех показателей к наилучшему уровню. В критериях оценки экономических систем часто используют функцию агрегирования в виде отношения одних показателей , выражающих целевой эффект, к другим, связанным с затратами на достижение цели. К методам решения задач многокритериальной оптимизации относятся: метод выделения главного критерия, метод лексикографической оптимизации, метод последовательных уступок, человеко-машинные про-

40

цедуры векторной оптимизации. Главным недостатком этих методов является неопределенность условий их применимости, что вызвано эвристическим характером самих методов.

Вусловиях риска однозначность соответствия между системами и исходами операции нарушается, поэтому эффективность систем в вероятностных операциях находится через математическое ожидание функции полезности на множестве исходов. Кроме оптимизации «в среднем» используются критерии: максимум вероятности случайного события, минимум дисперсии результата, минимум среднего риска и т.д.

Вусловиях неопределённости для большого класса задач управления организационнотехническими системами часто отсутствуют объективные критерии оценивания, а несводимость операций, проводимых такими системами, к детерминированным или вероятностным не позволяет использовать для их оценки детерминированные и вероятностные критерии.

Взависимости от характера неопределённости операции могут быть игровые и статистически неопределённые. В игровых операциях неопределённость вызывается действиями противника, а в статистически неопределённых противником является природа. Для исследования первых используется теория игр, а для вторых – теория статистических решений. Для оценки уникальных операций используются субъективные предпочтения ЛПР. Обычно для оценки эффективности систем в условиях неопределённости используются таблицы, в которых указаны векторы управляемых параметров, определяющие свойства системы, векторы неуправляемых параметров, определяющие состояние обстановки, значения эффективности системы для всех состояний обстановки и значения эффективности всех систем при одном и том же состоянии обстановки. Поскольку единого критерия оценки эффективности не существует, то используются основные требования к процедурам оценки:

- оптимальное решение не зависит от перестановки строк и столбцов матрицы эффективности;

- оптимальное решение не меняется при добавлении тождественной строки (столбца) к матрице;

41

-оптимальное решение не меняется от увеличения каждого элемента матрицы на постоянное число;

-оптимальное решение не меняется при добавлении новых систем, если среди них нет более эффективных;

-если две системы являются оптимальными, то их вероятностная смесь также оптимальна.

В зависимости от предпочтений ЛПР в неопределённых операциях используются критерии среднего выигрыша, Лапласа, осторожного наблюдателя (Вальда), максимакса, пессимизмаоптимизма (Гурвица), минимального риска (Сэвиджа).

3.6.Метод анализа иерархий

Метод анализа иерархий используется для оценки последствий принимаемых решений в иерархических системах планирования. Сами системы состоят из специфических элементов: фокус иерархии, акторы, цели, политики, исходы и общий исход. В фокусе иерархии отражается общая цель; акторы – это действующие силы, влияющие на исходы; цели – желаемые пределы или величины в планируемом решении; политики – разрешённые средства достижения целей; исходы – потенциальные состояния системы (после применения политик). Обобщённый исход интегрирует значения отдельных исходов и определяет оценки.

Общая структура метода анализа иерархий может включать несколько иерархических уровней, для каждого из которых определены свои критерии. Сложность метода заключается в определении весовых коэффициентов для оценки альтернатив. Если на данном уровне иерархии имеется к критериев, то требуется матрица парных сравнений к-ого порядка. В ней отражаются суждения ЛПР относительно важности каждого из этих критериев. Для сравнения используются числа от 1 до 9. Если критерии одинаково важны, то соответствующий элемент матрицы равен 1 (т.е. все диагональные элементы в матрице равны 1). Оценка 5 ставится, если критерий значительно важнее другого критерия, а оценка 9 – для чрезвычайно важного по сравнению с другим. Остальные числа используются как промежуточные оценки важности. Согласованность этих оценок обеспечивается

42

требованием, чтобы симметричный элемент матрицы равнялся обратному числу, т.е. если

А мк = 3, то А км = 13 .

Для того чтобы полученную матрицу можно было использовать в методе, её следует нормализовать и проверить на согласованность. Если в нормализованной матрице получились одинаковые столбцы, то результирующие относительные веса не зависят от того, как выполнялось сравнение (матрицы 2х2 всегда согласованы).

Поскольку матрицы получаются на основе человеческих суждений, то столбцы в них обычно различные и требуется проверка на допустимый уровень рассогласованности. Условие согласованности матрицы

Ах = nх,

где х – собственный вектор матрицы А, n – собственное число матрицы А.

В методе анализа иерархий значения х и n находят приближённо, поэтому используется коэффициент согласованности

СR = CI /(RI) , CI = (n max – n)/ (n-1) , RI = 1,98 (n-2)/n.

Если CR≤ 0,1 , то уровень согласованности приемлемый и матрицу можно использовать для дальнейших расчётов; если CR> 0,1, то матрицу рекомендуется пересмотреть.

Пример метода анализа иерархий. Отделу кадров требуется выбрать сотрудника из трёх кандидатур К, Л, М, используя три критерия: собеседование С, опыт работы О и рекомендации Р. Известны матрицы парных сравнений. В матрице А сравниваются критерии С, О и Р. В матрице Ас сравниваются кандидатуры К, Л, М по критерию собеседования С, в матрице Ао сравниваются кандидатуры по критерию опыта работы О и в матрице Ар сравниваются кандидатуры по критерию рекомендации P.

43

Требуется выполнить выбор кандидатуры, используя метод анализа иерархий. Структура задачи изображена на рисунке 3.

на согласованность. Рассмотрим подробно нормализацию и проверку на согласованность матрицы А. Для каждого столбца матрицы А посчитаем

сумму его элементов и в нормализованной матрице N A в качестве элемен-

тов запишем отношение каждого элемента к сумме элементов столбца, в котором он находится. Для первого столбца сумма равна 5,5 (1+ ½ +4) и, переходя к десятичным дробям, получаем элементы первого столбца:

0,181; 0,09; 0,729.

45

0,181 0,25 0,17

0,729 0,625 0,69

цы. Поскольку полученные столбцы матрицы N A существенно отличают-

ся друг от друга, то требуется проверка матрицы на согласованность. Для этого вычисляем w (среднее значение в строчке).

wс = (0,181 + 0,25 +0,17)/3 = 0,2; wо = 0,12 и wр = 0,68.

Далее находим произведение матрицы А и вектора w. Координаты по-

лученного вектора (0,58; 0,35; 2,08) определяют

n max = 3,01 (0,58 + 0,35 + 2,08), CI = (3,01 – 3)/2 = 0,005, RI = 1,98/3 = 0,66 и CR = 0,005/ 0,66 = 0,0076.

Полученное значение 0,0076 меньше 0,1, значит, матрица А согласо-

ванная. Для матриц Ас, Ао и Ар необходима аналогичная проверка, поскольку их нормализованные матрицы имеют разные столбцы.

Для матрицы Ас имеем n max = 3,13 и вектор (0,66; 0,08; 0,26); для матрицы Ао имеем n max =3,15 и вектор (0,16; 0,53; 0,31); для матрицы Ар имеем n max = 3,12 и вектор (0,2; 0,33; 0,47). На основании этих значений матрица Ао имеет CR = 0,113 и, так как CR больше 0,1, то матрицу Ао требуется откорректировать. В данном примере вычисления продолжаются с исходной матрицей. Чтобы определить лучшую по данным критериям кандидатуру следует выбрать кандидата, набравшего максимальную оценку, зависящую от рассчитанных весовых коэффициентов.

К: 0,2*0,66+0,68*0,2+0,12*0,16 = 0,27

Л: 0,2* 0,08+ 0,68*0.33+0,12*0,53 = 0,29

М: 0,2* 0,26+ 0,68*0,47+ 0,12*0,31 = 0,43.