описывают один экономический процесс, соответствующие характеристики этих производственных функций должны совпадать независимо от вида производственных функций.
Для сравнения характеристик статических производственных функций приведём разработанные автором методы преобразования производственных функций.
Параметры в традиционных линейной производственной функции (1.20)
|
Y=A*+a·K+b·L; |
|
|
||
и степенной производственной функции (1.21) |
|
|
|||
|
Y=A·K ·L |
|
< 1, < 1) |
|
|
предполагаются |
постоянными |
в |
течение |
исследуемого |
периода. |
Непосредственное сравнение параметров производственных функций (1.20) и (1.21) невозможно, поскольку предельные производительности факторов a и b линейной производственной функции являются величинами размерными, а эластичности и степенной производственной функции – относительными, то есть безразмерными.
Для соизмеримости оценок производственных функций (1.20) и (1.21) следует по известным оценкам a и b линейной производственной функции оценить коэффициенты эластичности и масштабности по формулам
n
|
|
|
Ki |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|||||||
* = a· |
i 1 |
= a· |
|
|
, |
. |
|||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Y |
|||||||||||||
|
|
|
Y i |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Li |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|||||
*=b· |
i |
1 |
|
= b· |
, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
n |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Y |
|
|
|||||||||
|
|
|
Y i |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
i |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 
37
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A* = (1 |
)·Y |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y i |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Y = |
|
i 1 |
|
, |
|
|
|||||
|
n |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ki |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
K = |
i 1 |
|
|
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Li |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
L = |
i 1 |
|
, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
где Y , K , L – средние значения |
показателей Y, K и L для исследуемого |
|||||||||||||||||
периода. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Соотношение для оценки параметра A* линейной производственной функции (1.20) следует из нормального уравнения метода наименьших квадратов (МНК):
n |
Y i = n ·A* + a· n |
Ki + b· n |
Li = n·A* + |
· n |
Y i = |
||
i |
1 |
i 1 |
i |
1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.49) |
|
|
|
= n·A* + · n |
Y i , |
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
|
или
Y =A*+ ·Y .
Если степень однородности производственной функции равна единице
= |
=1, |
(1.50) |
||
A*=(1 |
)· |
|
=0. |
1.51) |
Y |
||||
38
Следовательно, производственные функции (1.20) и (1.21) с учётом (1.50) и (1.51) преобразуются к виду:
Y=a·K+b·L; |
(1.52) |
|||||||
Y=A·K ·L |
|
(1.53) |
||||||
Y |
|
a |
K |
|
b ; |
(1.54) |
||
L |
L |
|||||||
|
|
|
|
|||||
Y |
|
A |
|
K |
. |
(1.55) |
||
|
|
|
|
|
||||
L |
|
|
L |
|||||
|
|
|
|
|
||||
Коэффициенты эластичности факторов линейных однородных производственных функций (1.52), (1.54) и (1.55) определяются по формулам
( *+ *)=1; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*= a· |
|
K |
|
; |
(1.56) |
|||
|
|
|
|
|
||||
Y |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
*= b· YL =1- *.
В действительности в результате влияния технического прогресса и неучтённых факторов параметры в производственных функциях являются переменными:
Y |
=A *+a |
·K |
+b |
·L , |
(1.57) |
||
t |
t |
t |
t |
|
t |
t |
|
Yt= At |
Kt |
t |
Lt |
t . |
(1.58) |
||
Степенную производственную функцию с переменными параметрами можно так же, как и степенную производственную функцию с постоянными
39
параметрами, преобразовать в линейную производственную функцию с переменными параметрами по формулам
at= t· |
Y t |
, |
(1.59) |
|
|||
|
K t |
|
|
bt= t· Y t , Lt
|
|
|
|
|
t=( t+ t), |
|
|
|
|
|
|
At*=(1– t)·Yt, |
|
где соотношение |
для |
A*t следует из теоремы Эйлера для производственной |
||||
функции с переменными параметрами |
|
|||||
|
Y |
Kt + |
|
Y |
Lt = at· Kt + bt·Lt= ( t+ t)·Yt= |
|
|
|
|
|
|
||
|
K |
|
L |
|
||
|
t |
|
t |
(1.60) |
||
|
|
|
|
|
|
|
= t·Yt = t – 1)·Yt + Yt.
Из этого соотношения следует, что
Y |
= |
t |
)·Y |
+ a |
· K |
+b ·L |
= A |
*+ a |
· K |
+b |
·L , |
t |
|
t |
t |
t |
t t |
t |
t |
t |
t |
t |
т.е. At*=(1– t)·Yt .
Для линейной и степенной производственных функций с переменными параметрами эластичности замещения совпадают и являются переменными:
40
d KL
K
(t) = |
|
L |
|
= |
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
dh |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
pt |
|||
h
где
pt = |
d |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
K |
|
K |
|
||||
|
d |
|
|
|
|
|
||
|
L |
|
L |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Для дискретного случая величина pt примет вид:
|
|
t |
|
t 1 |
|
|
ptd = |
|
t |
|
t 1 |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Kt |
|
Kt 1 |
||
|
|
Lt |
|
Lt 1 |
||
(1.61)
(1.62)
Поскольку величина pt в формуле (1.61) является переменной, переменной будет и эластичность замещения производственных факторов в производственных функциях с переменными параметрами.
Переменность эластичности замещения производственных факторов (t) для производственных функций с переменными параметрами следует из переменности предельной нормы замещения производственных факторов:
ht = - bt |
= - |
|
|
t |
· K t ; |
(1.63) |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
|
at |
|
|
|
|
|
t |
Lt |
|
|
|
||||
|
d |
|
|
K |
|
|
d |
|
K |
|
|
|
|
||
dht = |
|
|
L |
|
L |
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|||||
ht-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
L
41