2.3.5. Контроль с разбраковыванием

Так называют статистический приемочный контроль, по результатам которого непринятую партию продукции возвращают для разбраковывания, т.е. разделения дефектных и годных единиц продукции в забракованной партии при помощи контроля каждой единицы. При этом обычно дефектные единицы заменяются годными.

Предположим, что на контроль поступила партия, содержащая N_D дефектных изделий. Партия принимается, если число дефектных единиц в выборке Х≤с. При Х>c в результате разбраковывания партии все единицы продукции в ней становятся годными. Поэтому случайная величина – число дефектных единиц продукции в принятой партии

_(2.23)

Математическое ожидание случайной величины N_D^вых

(2.24)

где вероятности Р{X=z} вычисляются по одной из формул (2.11) – (2.13) в зависимости от вида закона распределения числа дефектных единиц продукции в выборке.

В частности, при биномиальном распределении

. (2.25)

Разделив на объем партии N, получим средний выходной уровень дефектности - математическое ожидание уровня дефектности в принятых и забракованных партиях, в которых после сплошного контроля все обнаруженные дефектные единицы заменены годными. Из (2.24) имеем

. (2.26)

При с/N<<q

. (2.27)

Так как как при q=0, так и при q=1, то функция имеет максимум (рис. 14). На рисунке видно, что . Максимальное значение среднего выходного уровня дефектности характеризует эффективность приемочного контроля. Величина означает, что независимо от уровня дефектности в партиях до контроля с разбраковыванием выходной уровень дефектности будет в среднем не более . Если, например, предел среднего выходного уровня дефектности , то это означает, что в среднем уровень дефектности принятой продукции будет не более 2 %.

Рис. 14. Зависимость выходного уровня дефектности от доли дефектных единиц продукции в партии для N=10000, n=100, c=1

Значение среднего выходного уровня дефектности на практике обычно колеблется от 1/2 до2/3 .

В соответствии с (2.27) величину можно наглядно представить как площадь прямоугольника, сторонами которого являются значения доли брака q и вероятности приемки партии Р(q), т.е. площадь ограниченная линиями, которые параллельны осям координат, проведенными через соответствующую точку оперативной характеристики.

Значение q, при котором достигается , можно определить, если продифференцировать по q и приравнять нулю полученное выражение, получим:

. (2.28)

Последнее уравнение можно переписать в виде

, (2.29)

откуда следует, что для значения q, при котором достигается , касательная к оперативной характеристике параллельна диагонали указанного выше прямоугольника.

Отметим, что при отличном от нуля приемочном числе все оперативные характеристики имеют точку перегиба, абсцисса которой равна с/n – 1 при биномиальном и с/n при пуассоновском распределении числа дефектных изделий в выборке.

Каждому выборочному плану с определенными значениями n и с соответствует определенное значение . Рассмотрим простой способ вычисления этой величины для одноступенчатого плана контроля. Из (2.27) с учетом (2.13) имеем при распределении числа дефектных изделий в выборке по закону Пуассона:

_(2.30)

или

. (2.31)

Для практических вычислений можно использовать приближенные линейные зависимости. При этом параметры прямых: при с=1 … 7 n = 0,37 + 0,58 с; при с=7 … 20 величина n =4,47 + 0,72(с - 7).

Погрешность вычисления n по этим линейным зависимостям по сравнению с вычислением по графику на рис.4 не превышает +0,2.

Представляет интерес контроль с разбраковыванием при приемочном числе с=0. В этом случае средний выходной уровень дефектности при биномиальном распределении числа дефектных изделий в выборке

. (2.32)

Максимум функции, стоящей в правой части формулы (2.31), достигается при q'= l/(n+1). Поэтому в данном случае

. (2.33)

Формула (2.32) неудобна для вычислений. При больших n≥20 можно применить разложение в ряд:

. (2.34)

При распределении числа дефектных единиц продукции в выборке по закону Пуассона

; (2.35)

. (2.36)

Для контроля с разбраковыванием может вычисляться средний объем инспекции I(q) — математическое ожидание числа подвергнутых контролю единиц продукции. Поскольку объем инспекции равен объему выборки, если партия принимается [вероятность приемки Р(q)], или объему партии, если она бракуется [вероятность забракования l—Р(q)], то по формуле математического ожидания имеем

. (2.37)