Учебное пособие 800131

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»

Ю.С. Балашов Т.Л. Тураева

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «РАДИОМАТЕРИАЛЫ И РАДИОКОМПОНЕНТЫ»

Часть 1 РАДИОМАТЕРИАЛЫ

Утверждено учебно-методическим советом университета в качестве учебного пособия

УДК 621.382

Балашов Ю.С. Сборник задач и упражнений по дисциплине «Радиоматериалы и радиокомпоненты». Ч. 1. Радиоматериалы: учеб. пособие [Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые и граф. данные (580 Кб) / Ю.С. Балашов, Т.Л. Тураева. Воронеж: ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2017. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM). – Систем. требования: ПК 500

и выше; 256 Мб ОЗУ; Windows XP; Adobe Acrobat; 1024х768; CD-ROM; мышь. – Загл. с экрана.

В учебном пособии приведены теоретические сведения и задачи по всем разделам дисциплины «Радиоматериалы и радиокомпоненты», а также представлены примеры решения задач и контрольные вопросы для самопроверки, что облегчает систематическую самостоятельную работу студентов.

Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по специальности 11.05.01 «Радиоэлектронные системы и комплексы», дисциплине «Радиоматериалы и радиокомпоненты».

Ил. 19. Библиогр.: 11 назв.

Рецензенты: кафедра физики полупроводников и микроэлектроники Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. Е.Н. Бормонтов); д-р техн. наук, проф. М.И. Горлов

Балашов Ю.С., Тураева Т.Л., 2017

Оформление. ФГБОУ ВО

«Воронежский государственный технический университет», 2017

ВВЕДЕНИЕ

Углубление взаимной связи фундаментальной науки и технического воплощения новых идей и открытий, ускорение и интенсификация процесса такого взаимного проникновения и обогащения являются объективной закономерностью развития отраслей, удовлетворяющих информационные потребности общества. Поэтому каждый инженерно–технический работник должен знать основные физические законы, составляющие теоретический фундамент функционирования приборов, устройств и систем, т.е. той техники, творцом которой он призван быть.

Данное учебное пособие призвано помочь студентам изучить физические процессы, которые широко проявляются и используются при производстве и эксплуатации микроэлектронной аппаратуры, а также призваны служить выработке навыков самостоятельной работы, необходимых для дальнейшей исследовательской работы.

Задачи и контрольные вопросы данного пособия сгруппированы по разделам, охватывающим теоретический материал дисциплин «Радиоматериалы и радиокомпоненты» для специальности «Радиоэлектронные системы и комплексы» и «Физические основы микроэлектроники» для направления подготовки «Радиотехника». К задачам основных разделов даны предварительные краткие теоретические сведения и указания. При этом предполагается, что студент знаком с соответствующим теоретическим материалом, а математическая подготовка, необходимая для решения задач, не выходит за пределы обычного курса интегрального и дифференциального исчисления.

1. МИКРОЭЛЕКТРОННЫЕ СТРУКТУРЫ И ИХ СТРОЕНИЕ

1.1. Краткие теоретические сведения

Под термином «кристаллическая решетка» понимают твердую фазу вещества, расположение атомов или молекул в которой проявляет определенную закономерность хотя бы на микроскопических участках. При этом наименьший объем, путем трансляции которого можно полностью воспроизвести структуру кристалла, называется элементарной ячейкой.

Элементарная ячейка имеет размеры a, b, c по направлению осей x, y, z. Любой узел кристаллической решетки может быть выбран в качестве начала координат для элементарной ячейки.

Кристаллографическое направление в решётке [mnp] определяется координатами атома m, n, p ближайшего к началу координат и лежащего на данном направлении. Если угол между направлениями [m1n1p1] и [m2n2p2] обозначить через , то

Для описания плоскости в кристалле необходимо знать отрезки, отсекаемые плоскостью по осям в выбранной системе координат – m, n, p по осям х, у и z соответственно, тогда уравнение плоскости в отрезках будет иметь вид

или после приведения к общему знаменателю

где h,k,l – целые числа, называемые индексами Миллера.

Решетка содержит множество идентичных плоскостей, которые обозначаются фигурными скобками hkl . Скол, например, происходит по определенным плоскостям решетки, поверхностная плотность узлов в которых наибольшая.

Межплоскостное расстояние для кристаллов кубической сингонии определяется по формуле

где а - параметр решетки.

Чем выше индексы плоскостей, тем ближе эти плоскости расположены друг к другу. Угол между плоскостями (h1k1l1) и (h2k2l2) в кристаллах кубической сингонии определяется из соотношения:

Если известен химический состав кристалла и определена его кристаллическая структура, то можно вычислить период решётки этого кристалла:

NA ρ

где М – масса моля вещества; NА – число Авогадро;

ρ – плотность вещества.

Равновесная концентрация вакансий (дефектов Шоттки) при данной температуре (Т) определяется по формуле Больцмана

где n – число атомов в единице объёма;

е – основание натурального логарифма; k – постоянная Больцмана;

Eш – энергия образования вакансий.

Равновесная концентрация внедренных атомов (дефектов Френкеля) определяется по формуле

где nм – число возможных межузельных положений на единицу объёма;

Eф – энергия образования дефекта Френкеля.

Для большинства кристаллов энергия образования вакансий примерно равна 1 эВ, а энергия образования внедрений равна 3–5эВ.

1.2. Пример решения задач

Задача. Плоскость пересекается с осями координат в точках x = 1,5а; у = 3а; z = 2а, где а – параметр элементарного куба кристаллической решётки. Определить индексы Миллера этой плоскости.

Решение.

Уравнение плоскости в отрезках куба будет иметь вид:

x y z 1, 1,5 3 2

приводя к общему знаменателю, получим

4x 2y 3z 6,

следовательно, искомая плоскость в индексах Миллера запишется (4 2 3).

1.3. Задачи

1.3.1.В кубической кристаллической решётке постройте плоскости с индексами Миллера (1 2 1) и (1 2 1).

1.3.2.Определить расстояние между ближайшими параллельными плоскостями {1 1 1} в кубической кристаллической решётке с периодом «а» элементарной ячейки.

1.3.3.Сколько атомов располагается на 1 мм2 плоскости (1 0 0) и (1 1 1) ГЦК решётки с межатомными расстоянием а = 3,499Å?

1.3.4.Определить плотность упаковки объёмноцентрированной кубической решётки с радиусом атома R.

Покажите, что a 4R .

3

1.3.5.У каких плоскостей в структурах ОЦК и ГЦК наибольшая плотность упаковки атомов? В каких направлениях в этих плоскостях линейная плотность расположения атомов максимальна?

1.3.6.Вычислить постоянную решётки «а» для KCl по числу Авогадро и плотности, равной 1990 кг/м3.

1.3.7.Расстояние между ближайшими атомами в кристаллической решётке равно 0,2737 нм. Известно, что вольфрам имеет структуру объёмно-центрированного куба. Найти плотность материала.

1.3.8.Определить концентрацию свободных электронов в натрии, элементарная ячейка которого

представляет собой объёмно-центрированный куб с ребром

а= 0,428 нм.

1.3.9.При температуре, на 10К меньшей температуры плавления алюминия (Тпл = 933К) на долю вакансии приходиться 0,08 % мест в кристаллической решётке, а при 484 ºС – только 0,01 % мест. Чему равна энергия Е образования одной вакансии?

1.3.10.Образец алюминия быстро охлажден от температуры, близкой к температуре плавления (932К), и все

вакансии, имеющиеся в нём при высокой температуре. Будет повышаться или падать плотность Al в процессе отжига вакансий? Можно ли измерить это изменение с помощью существующей экспериментальной техники?

Контрольные вопросы

1.Что представляет собой кристаллическое состояние

вещества?

2.Какие вы знаете типы кристаллических решёток?

3.Чем отличается идеальный кристалл от реальных кристаллов?

4.Что представляют собой индексы Миллера?

5.Как определить индексы Миллера узла кристаллической решётки, направления в кристалле и плоскости?

6.Как изменяется концентрация вакансий и внедрений

вкристалле с изменением температуры?

7.Как определить угол между двумя направлениями в решетке с кубической сингонией?

8.Как определить угол между двумя плоскостями в решетке с кубической сингонией?

9.Почему кристаллы раскалываются по определенным плоскостям?

10.Доказать, что в кубическом кристалле любое направление [mnp] перпендикулярно плоскости (hkl), если m=h, n=k, p=l.

2. ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА СТРУКТУР

2.1. Краткие теоретические сведения

Все твердые тела сопротивляются деформации растяжения и сжатия. Теория и опыт показывают, что силы притяжения и отталкивания возрастают с уменьшением расстояния между частицами, но силы притяжения возрастают значительно медленнее, чем силы отталкивания.

Силы притяжения и обусловленная ими потенциальная энергия записываются со знаком «минус», а силы отталкивания и соответствующая им потенциальная энергиясо знаком «плюс».

Приближенно верным для описания результирующей двух этих сил является уравнение

где a , b , m , n – константы данного кристалла, r – расстояние между частицами.

Частицы, находящиеся в узлах кристаллической решетки, участвуют в тепловом движении и колеблются около положения равновесия. Амплитуда этих колебаний зависит от температуры и для большинства кристаллов обычно не превышает 5 – 7 % равновесного расстояния между соседними частицами. Характер колебаний весьма сложен. Механизм тепловых упругих волн в кристаллах аналогичен механизму звуковых волн, поэтому их называют акустическими волнами. Границы спектра тепловых волн простых кристаллов можно определить, исходя из того, что самая длинная волна max= 2l, где l – наибольший линейный размер тела, а самая короткая волна min= 2d, где d – параметр атомной решетки.

Следовательно, диапазон частот тепловых волн очень широк - от звуковых частот (102 – 103) до 1013 Гц.

Подобно энергии электромагнитных волн, энергия тепловых акустических волн квантована, квант звуковой энергии назван фононом

где Е - энергия фонона, h - постоянная Планка, - частота колебания.

Дискретность (квантовый характер) дебаевских тепловых волн проявляется при температурах, ниже характеристической температуры Дебая

где k - постоянная Больцмана.

Дебаевская температура зависит от величины сил связи между узлами кристаллической решетки и является параметром твердого тела, который фигурирует в описании ряда свойств твердого тела (электропроводность, теплопроводность и др.). Для большинства веществ дебаевская температура лежит в пределах 300 - 800 С. Но есть такие вещества, для которых она значительно выше, например, у алмаза она около 2000 С.

С нагреванием тела средние расстояния между частицами увеличиваются, и тело расширяется. Причиной этого является ангармонический характер колебаний частиц твердого тела, обусловленный асимметрией кривой зависимости энергии взаимодействия частиц от расстояния между ними.

где - средний коэффициент линейного расширения; dT – разность температур Т для L и То для Lo.

Монокристаллы обладают анизотропией теплового расширения, т. е. коэффициент теплового расширения для различных направлений внутри кристалла будет иметь различные значения.

Теплоемкость Сv твердого тела при постоянном объеме выражает изменение тепловой энергии при изменении температуры тела на 1 С и находится дифференцированием тепловой энергии твердого тела U по T

В металлах помимо ионов, образующих решетку и колеблющихся около положений равновесия, имеются свободные электроны. Поэтому теплоемкость металлов должна складываться из теплоемкости решетки и теплоемкости электронного газа:

В действительности металлы, как и диэлектрики, в области высоких температур, в которой выполняется закон Дюлонга и Пти, обладают теплоемкостью Сv = 25 Дж/ (моль К), что говорит о том, что электронный газ не вносит заметного вклада в теплоемкость металлов.

Коэффициент линейного расширения пропорционален теплоемкости тела:

- коэффициент сжимаемости металла,

V - атомный объем, - постоянная Грюнайзена.

В твердых телах в отличие от газов и жидкостей невозможна конвекция, поэтому перенос тепла осуществляется только теплопроводностью.

По теории Дебая, возбужденное состояние решетки можно представить как идеальный газ фононов, свободно движущийся в объеме кристалла.

Коэффициент теплопроводности твердого тела можно выразить такой же формулой, как коэффициент теплопроводности идеального газа.

Основные соотношения для расчёта термодинамических параметров:

1) Молярная внутренняя энергия химически простых (из одинаковых атомов) твёрдых тел в классической теории теплоёмкости

где R – молярная газовая постоянная; Т – термодинамическая температура.

2) Теплоёмкость С системы (тела) при постоянном объёме

3)Закон Дюлонга и Пти (для простых тел)

4) Закон Неймана-Коппа. Молярная теплоёмкость химически сложных тел

где n – общее число частиц в химической формуле соединения. 5) Молярная теплоёмкость кристалла в квантовой

теории теплоёмкости Эйнштейна

где E h - характеристическая температура Эйнштейна. k

При низких температурах (Т<<θE)

6)Молярная теплоёмкость кристалла по Дебаю

Предельный закон Дебая: в области низких температур

(Т<< θD)

где Сv – теплоёмкость электронного газа;

l – средняя длина свободного пробега электронов; uT - средняя скорость теплового движения.

8) Отношение коэффициента теплопроводности металла λ к его удельной электропроводности одинаково для всех металлов при одинаковой температуре (закон Видемана – Франца)

Т.к. удельное сопротивление примерно пропорционально абсолютной температуре, то справедливо приближенное соотношение

9) Скорости продольных (vl) и поперечных (vt) волн в кристалле определяются по формулам

где β – коэффициент гармоничности; r0E , r0 – расстояние между атомами, Е – модуль упругости (модуль Юнга);

2r0

11)Закон Гука

N

где E сr0 S xr0 - модуль Юнга

x L - относительное изменение параметра. r0 L

2.2. Пример решения задач

Задача. Оценить термический коэффициент расширения α твёрдого тела, считая, что коэффициент ангармоничности

2r0 . При оценке принять: модуль Юнга Е = 100 ГПа,

межатомные расстояние r0=0,3 нм,

где β – коэффициент гармоничности, связанный с равновесным расстоянием r0 между атомами кристалла;

γ – коэффициент ангармоничности, характеризующий асимметрию колебаний атомов в твёрдом теле.

Решение

Коэффициент гармоничности связан с расстоянием r0 и модулем Юнга

r0E.

Коэффициент линейного расширения

2.3. Задачи

2.3.1. Вычислить максимальную силу Fmax возвращающую атом твёрдого тела в положение равновесия если коэффициент гармоничности β = 50 Н/м, а коэффициент ангармоничности γ = 500 ГПа.

2.3.2.Определить коэффициент гармоничности β в уравнении колебаний частиц твёрдого тела, если равновесное расстояние r0 между частицами равно 0,3 нм, модуль Юнга Е= 200 ГПа.

2.3.3.Вычислить коэффициент ангармоничности γ для железа, если температурный коэффициент линейного

расширения α = 1,2 ∙ 10-5 К-1, межатомные расстояния r0 = 0,25 нм, модуль Юнга Е = 200 ГПа.

2.3.4.Вычислить удельные теплоёмкости С кристаллов алюминия и меди по классической теории теплоёмкости.

2.3.5.Вычислить по классической теории

теплоёмкости С кристалла бромида алюминия AlBr3 объёмом V = 1 м3. Плотность ρ кристалла бромида алюминия равна

3,01∙103 кг/м3.

2.3.6.Определить изменение U внутренней энергии кристалла никеля при нагревании его от t1 = 0 ºC до t2= 200 ºC. Масса m кристалла равна 20 г. Вычислить теплоёмкость С.

2.3.7.Вычислить относительный вклад электронного газа в общую теплоёмкость серебра при комнатной температуре. Считать, что на каждый атом приходится один свободный электрон и что теплоёмкость серебра при данной температуре определяется законом Дюлонга и Пти.

2.3.8.Вычислить относительный вклад электронного газа в общую теплоёмкость серебра при комнатной температуре. Считать, что на каждый атом приходится один свободный электрон и что теплоёмкость серебра при данной температуре определяется законом Дюлонга и Пти.

2.3.9.Определить температуру, при которой теплоёмкость электронного газа будет равна теплоёмкости кристаллической решётки лития. Характеристическая

температура лития θ = 404 К, концентрация свободных электронов в нём n = 4,66∙1028 м-3.

2.3.10.Оценить теплопроводность магния при 400 С,

если удельное сопротивление его при 0 С составляет

0,044 10-6 Ом м.

Контрольные вопросы

1.Объяснить причину расширения твёрдых тел с ростом температуры.

2.Какие твердые тела обладают анизотропией теплового расширения ?

3.Что называется характеристической температурой Эйнштейна ?

4.Каков физический смысл температуры Дебая ?

5.Как теплоёмкость твёрдых тел зависит от температуры

вобласти низких и высоких температур ?

6.Какая зависимость существует между тепловым расширением и теплоемкостью ?

7.Каковы механизмы теплопроводности твёрдых тел ?

8.Как теплопроводность твёрдых тел зависит от температуры при высоких и низких температурах ?

17

3. ИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

3.1. Краткие теоретические сведения

Для большинства диэлектриков поляризуемость пропорциональна напряжённости поля

Кроме поляризуемости вводят ещё такие макроскопические характеристики, как напряжённость E электрического поля в диэлектрике и электрическая индукция

D

где ε0 – электрическая постоянная

В изотропных диэлектриках векторы D,E и P имеют одно и то же направление.

При электронной и ионной упругих поляризациях коэффициенты пропорциональности между P и E обычно обозначают αe и αi и называют электронный и ионной поляризуемостями соответственно

где r – радиус атома, ra – радиус аниона, rk– радиус катиона, а при дипольной упругой поляризации

где U0 – энергия диполя в поле Евн, β – угол между E и Eвн .

18

При тепловой поляризации различают также дипольную тепловую, ионную тепловую и электронную тепловую

где τ – время, в течение которого поляризация уменьшается в е раз, е – заряд иона, δ – расстояние, на которое перескакивает ион, а выражение для αeT аналогично выражению для αiT.

Уравнение Клаузиуса-Мосотти устанавливает связь между диэлектрической проницаемостью и поляризуемостью

где αm – поляризуемость m вида поляризации, nm – концентрация частиц, участвующих в m виде поляризации.

Электронная проводимость диэлектрика имеет собственный характер, что возможно при повышенных температурах

где n и р концентрация электронов и дырок, μn и μp – подвижность.

Температурная зависимость электронной проводимости диэлектриков достаточно хорошо описывается выражением

где Е – энергия активации.

Ионная проводимость диэлектрика

Потери, связанные со смещением связанных зарядов, получили название диэлектрических потерь. На практике, как правило, определяют не сами потери, а тангенс угла диэлектрических потерь.

Полный ток

Введение tg позволяет разделить диэлектрическую проницаемость на две составляющие: совпадающую по фазе с электрическим полем - , и отстающую на четверть периода от этого поля - . Отстающая по фазе составляющая позволяет найти зависимость потерь мощности от частоты

где N – число атомов в единице объема, p – поляризованность,- угловая частота, - постоянная времени диэлектрической релаксации, 0 - абсолютная диэлектрическая проницаемость.

Потеря мощности P 1 E2 0 tg , где Е-напряженность

2

поля.

В несимметричных диэлектриках (кварц, титанат бария) каждая элементарная ячейка представляет собой диполь. В таких диэлектриках под действием механических напряжений возникает дипольный момент, а при наложении внешнего электрического поля кристалл несколько сжимается или расширяется. Это прямой и обратный пьезоэффекты. Возникающий на каждой из поверхностей диэлектрика

20