Учебное пособие 800131

где u ф, u n, u д – подвижности, обусловленные различными механизмами рассеяния электронов. Из (4.54) видно, что основным в определении подвижности является механизм рассеяния, обусловливающий наиболее низкую подвижность.

Электропроводность металлов и сплавов

Концентрация электронов в металлах велика и практически не зависит от температуры (4.16). Поэтому зависимость удельной электропроводности от температуры металлов, как это следует из (4.33), определяется температурной зависимостью подвижности электронного газа, представляющего в данном случае вырожденную систему. Для чистых металлов во всем температурном диапазоне наблюдается один механизм рассеяния электронов – рассеяние на фононах.

В области высоких температур подвижность электронов пропорциональна Т-1 (см. 4.49). Поэтому

где α – температурный коэффициент сопротивления.

В области низких температур длина свободного пробега обратно пропорциональна концентрации фононов nф, которая равна ~Т3 (4.45). Однако при низких температурах энергия электрона теряется не за одно столкновение, а за столкновений, т.е. эффективная средняя длина свободного

Температурная зависимость удельного сопротивления беспримесного бездефектного металла достаточно точно описывается выражением (4.57) – кривая 1 (рис. 4.5).

Если в металле присутствуют примесные атомы или структура металла имеет дефекты (которые могут быть введены путём деформирования металла), то включаются дополнительные механизмы рассеяния (4.52), вследствие чего общее удельное сопротивление сплава может быть представлено в виде

где ρф, ρn, ρд – компоненты удельного сопротивления, обусловленные электрон – фононным, электрон – примесным, электрон – дефектным механизмами рассеяния электронов

(рис. 4.5, кривые 2,3).

Рис. 4.5

Соотношение (4.58) получило название правила аддитивности удельного сопротивления (правило Матиссена).

Для сплавов ρn обычно значительно превышает ρф поэтому температурный коэффициент удельного сопротивления (ТКС) сплава, как правило, ниже ТКС чистого металла. Это обстоятельство является основой получения константана и манганина – сплавов на основе меди с очень малым ТКС, которые используют для изготовления прецизионных проволочных резисторов.

4.2. Пример решения задач

Задача. Какова вероятность заполнения электронами в металле энергетического уровня, расположенного на 0,01эВ ниже уровня Ферми, при температуре +18˚С ?

Решение. Функция распределения Ферми-Дирака

f(W )

1

W- WF

e kT 1

43

1эВ 1,602 10 19 Дж

W- WF 0,01эВ 1,602 10 21 Дж

k 1,38 10 23 Дж / К

Т 273 18 291К

4.3. Задачи

4.3.1.Определить длину свободного пробега электрона

вметалле, если концентрация электронов n = 1023 м-3, скорость

движения электрона v = 104 м/c, удельная электропроводность

σ =5∙10 3 Ом-1∙см-1.

4.3.2.Удельное сопротивление серебра при комнатной

температуре равно 0,015 мкОм ∙ м, а температурный коэффициент удельного сопротивления составляет 4,1∙10 -3 К-1. Определить, как и во сколько раз изменится длина свободного пробега электронов при нагревании проводника от 300 до

1000 К.

4.3.3.В медном проводнике под действием

электрического поля проходит электрический ток плотностью 1 А/мм2. Определить скорость дрейфа и отношение её к средней суммарной скорости движения электронов при температуре 300 К.

4.3.4.Вычислить удельное сопротивление металлического проводника, имеющего плотность 970 кг/м3 и молярную массу 0,023 кг/моль, если известно, что средняя

скорость дрейфа электронов в электрическом поле напряжённостью 0,1 В/м составляет 5∙10 -4 м/c. Можно

44

9.Что происходит при достижении характеристической температуры Дебая ?

10.Дайте определение электропроводности.

11.Начертите графики распределения функций fм-б(vx)

иfф-д(vx).

12.Напишите формулу подвижности носителей и

поясните, что обозначает каждый из сомножителей.

13.Напишите кинетические уравнения Больцмана.

14.Какой вид принимает подвижность и электропроводность электронов для невырожденного и вырожденного газа ?

15.Что является основной причиной низкой подвижности электронов ?

16.Как зависит концентрация электронов в металлах и сплавах от температуры ? Напишите правило Матиссена об аддитивности сопротивления.

5. ФИЗИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ

5.1. Теоретические сведения

5.1.1. Собственные полупроводники

При температурах, отличных от абсолютного нуля, в полупроводнике происходит тепловое возбуждение (генерация) свободных носителей заряда. Если бы этот процесс был единственным, то концентрация носителей непрерывно возрастала бы с течением времени. Однако вместе с процессом генерации возникает процесс рекомбинации: электроны, перешедшие в зону проводимости или на акцепторные уровни, вновь возвращаются в валентную зону или на донорные уровни, что приводит к уменьшению концентрации свободных носителей заряда. Динамическое равновесие между этими двумя процессами при любой температуре приводит к установлению равновесной концентрации носителей. Такие носители называются равновесными.

Концентрацию равновесных носителей заряда можно определить, интегрируя произведение плотности квантовых состояний g(E) на функцию распределения fф(E) по всем энергетическим уровням системы в соответствии с формулой

(4.3).

При этом интегрирование следует производить, как видно из (рис. 5.1), от уровня дна зоны проводимости Ec до верхнего уровня Emax:

Рис. 5.1

Так как функция распределения очень быстро уменьшается с ростом энергии, Emax можно положить равным бесконечности. В полупроводниковых кристаллах принято энергию в зоне проводимости отсчитывать от энергетического уровня, соответствующего минимуму зоны Ec. В этом случае формула (4.14а) имеет вид

.

Собственные и слаболегированные полупроводники являются невырожденными системами, т.е. для них выполняется условие (4.23) – f(E)<<1. В этом случае функция распределения Ферми – Дирака может быть заменена функцией распределения Максвелла – Больцмана. С учётом

отсюда

где величина

называется эффективной плотностью состояний в валентной зоне. В случае германия при T = 300 K Nv = 6·1025 м –3.

В состоянии равновесия уровень Ферми всех частей системы должен быть одинаковым, что определяет условие нейтральности. Это условие в случае собственного полупроводника определяется равенством концентраций электронов и дырок

откуда получаем выражение для значения уровня Ферми в собственном полупроводнике

Из выражения (5.12) следует, что в собственном полупроводнике уровень Ферми располагается приблизительно в середине запрещённой зоны, поскольку вторым слагаемым можно пренебречь из-за его малости.

Подставляя (5.12) в (5.6) и (5.9), получаем концентрацию

носителей заряда в собственном полупроводнике

Из формулы (5.13) видно, что равновесная концентрация носителей заряда в собственном полупроводнике определяется шириной запрещённой зоны и температурой. Причём зависимость ni и pi от этих параметров является очень резкой. Так, уменьшение ширины запрещенной зоны с 1,12 эВ (Si) до 0,08 эВ (серое олово) при комнатной температуре приводит к увеличению ni и pi на 9 порядков; увеличение температуры германия от 100 К до 600 К повышает ni и pi более чем на 10 порядков.

5.1.2. Примесные полупроводники

Для примесного полупроводника донорного типа для возбуждения и переброса в зону проводимости электронов с донорных уровней (рис. 5.2) требуется энергия (Eс-Eд) примерно в 100 раз меньше, чем (Eс-Ev).

Поэтому концентрация электронов в зоне проводимости nn будет равна концентрации дырок на донорных уровнях pд . Если концентрация примесных атомов равна Nд , то концентрация дырок на примесных уровнях равна

E

Зона проводимости

Eс

EФi

Ev

Валентная зона

0 T Ts Tί

Рис. 5.2

В области малых температур заселённость уровней невелика, поэтому функцию распределения Ферми – Дирака можно заменить на функцию Максвелла – Больцмана. Тогда

Приравнивая выражения (5.5) и (4.15), что выражает условие электронейтральности, получаем выражение для энергии уровня Ферми для электронного полупроводника

Из этого выражения следует, что при Т = 0 К уровень Ферми примесного электронного полупроводника располагается посередине между дном зоны проводимости и донорным уровнем.

Если выражение (5.16) подставить в (5.6), получим концентрацию электронов в примесном электронном

полупроводнике (основные носители)

где ΔEд – энергетический зазор между примесным донорным

уровнем и дном зоны проводимости.

Если выражение (5.16) подставить в (5.9), получим концентрацию дырок в примесном электронном полупроводнике (не основные носители)

Перемножая (5.17) и (5.18) и сравнивая с (5.13), находим произведение концентраций основных и неосновных носителей в электронном полупроводнике

Выражение (5.19) обусловливает термодинамическое равновесие в полупроводнике и называется законом действующих масс. Из него следует, что с повышением концентрации донорной примеси и, следовательно, с ростом концентрации основных носителей наблюдается при постоянной температуре пропорциональное уменьшение концентрации неосновных носителей так, что их произведение остаётся постоянным и равным квадрату концентрации электронов в чистом полупроводнике. Закон действующих масс справедлив для любого невырожденного полупроводника в условиях термодинамического равновесия.

Подставляя в (5.16) значение Nc из (5.6), получаем

низких температур, уровень Ферми с повышением температуры поднимается вверх ко дну зоны проводимости (рис. 5.2). При дальнейшем повышении температуры второй член выражения (5.20) становится отрицательным, что соответствует снижению уровня Ферми. При температуре Ts он пересекает донорные уровни, что соответствует переходу всех электронов с примесных уровней в зону проводимости (истощение примесных уровней), т.е.

Подставляя это значение nn в выражение (5.17), получаем значение температуры истощения примеси

где ΔE – энергетический зазор между примесным уровнем и дном зоны проводимости. Оценка температуры истощения примесей для германия даёт значение Ts около 32 К.

Выше Ts уровень Ферми понижается примерно пропорционально температуре. В этой области температур начинается возбуждение электронов из валентной зоны. При этом увеличивается как концентрация электронов (ni), так и концентрация дырок в валентной зоне (pi), вследствие чего при ni >> nn значение уровня Ферми определяется выражением

(5.12) и располагается в середине запрещённой зоны, совпадая с уровнем Ферми беспримесного полупроводника.

Аналогичные зависимости наблюдаются и в дырочном полупроводнике, в котором имеются только акцепторные уровни (рис. 5.3). При низких температурах концентрация дырок в валентной зоне равна концентрации электронов на акцепторных уровнях. Концентрация электронов на акцепторных уровнях при низких температурах равна

Из условия na = pp получаем выражение для определения уровня Ферми

Подставляя (5.24) в (5.5), получаем концентрацию дырок в дырочном полупроводнике

где ΔEа – энергетический зазор между примесным акцепторным уровнем и потолком валентной зоны.

Подставляя (5.24) в (5.6), получаем концентрацию электронов – неосновных носителей заряда (np); сопоставляя np, pp (5.25) и ni (5.12), получаем выражение закона действующих масс для дырочного полупроводника

E Зона проводимости

Валентная зона

0 T Ts Tί

Рис. 5.3

При Т = 0 К уровень Ферми в дырочном полупроводнике расположен между акцепторным уровнем и потолком валентной зоны (выражение 5.24). В области низких температур Na>Nv и уровень Ферми при повышении температуры сначала опускается к потолку валентной зоны, затем (когда ln Nа Nv становится отрицательной величиной) он повышается, пресекает акцепторный уровень при температуре истощения примеси Ts и стремится при дальнейшем повышении температуры к уровню Ферми для собственного полупроводника, поскольку концентрация собственных носителей значительно превосходит концентрацию акцепторов (рис. 5.3).

На рис. 5.4 представлены температурные зависимости концентрации основных и неосновных носителей, построенные по выражениям (5.18), (5.17) и (5.25). Из рисунка видно, что в области низких температур резко возрастает концентрация основных носителей (nn и pp).

Когда все примесные уровни будут ионизированы, концентрация носителей в полупроводнике будет постоянной и равной концентрации соответствующей примеси. При

определённой температуре начинается переход собственных электронов из валентной зоны в зону проводимости, что сопровождается увеличением концентрации неосновных носителей. Начиная с некоторой температуры количество междузонных переходов оказывается настолько велико, что концентрации основных и неосновных носителей сравниваются и совпадают с концентрацией носителей в собственном полупроводнике.

Рис. 5.4

Если в полупроводнике одновременно присутствуют донорные и акцепторные примеси, то в соответствии с принципом минимальной энергии электронов будет происходить их перераспределение между донорными и акцепторными уровнями. При Nд>Nа электроны с донорных уровней переходят на акцепторные уровни, которые в этом случае не могут уже принимать электроны из валентной зоны; оставшиеся на донорных уровнях электроны обеспечивают полупроводнику проводимость n–типа. При Nа>Nд на акцепторные уровни переходят не только все электроны с донорных уровней (при Т=0 К), но и электроны из валентной зоны (при Т>0 К), что обусловливает проводимость p–типа. Указанные эффекты получили название компенсации. При Nа=Nд имеет место полная компенсация, вследствие чего

концентрация электронов и дырок равна их концентрации в собственном полупроводнике.

5.2. Пример решения задач

Задача. Определите ширину запрещённой зоны Eg собственного полупроводника, если при температуре Т1 и Т2 (Т2>Т1) его сопротивление соответственно равно R1 и R2.

5.3. Задачи

5.3.1.При увеличении температуры от 300 до 400 К проводимость собственного полупроводника возросла в пять раз. Определить ширину запрещённой зоны полупроводника.

5.3.2.Германиевый образец нагревают от 0 до 17 ˚С. Принимая ширину запрещённой зоны германия Eg =0,72 эВ, определите во сколько раз возрастает его удельная проводимость.

5.3.3. Подвижность электронов μn в чистом германии при комнатной температуре (300 К) равна 0,38 м2/В∙с. Найти удельное сопротивление такого материала при Т = 300 К и Т = 30 К, считая, что подвижность изменяется с температурой

по закону μ aT 32 . Эффективные массы соответственно равны mn=0,37m0, mp=0,56m0. Ширина запрещённой зоны Eg=0,72 эВ,

аотношение подвижностей μn/μp =2.

5.3.4.Найти удельное сопротивление собственного полупроводника при комнатной температуре, если при

увеличении температуры от 100 до 200 К оно увеличивается в два раза, σ0= 2∙106 Ом-1∙м-1.

5.3.5.Сопротивление кристалла Pb S при температуре

20 ˚С равно 104 Ом. Определить его сопротивление при температуре 80 ˚С, если ширина запрещённой зоны для Pb S

Eg =0,39 эВ.

5.3.6. Образец кремния содержит 4,5∙1028 ат/м3. При температуре 300 К один атом из каждых 109 ионизирован. Определите сопротивление образца, полагая, что подвижности электронов и дырок при этой температуре равны 0,4 и 0,2 м2/В∙с соответственно.

5.3.7.Пусть градиент потенциала в образце кремния

собственной проводимости составляет 400 В/м, п подвижности электронов и дырок равны 0,12 и 0,025 м2/В∙с соответственно.

Определите полный дрейфовый ток, полагая, что концентрация собственных носителей составляет 2,5∙1016 м-3, а площадь поперечного сечения равна 0,003∙10-3 м2.

5.3.8.Образец прямоугольной формы из примесного полупроводника размером 0,002 х 0,002 х 0,005 м3 при Т=300 К

в1 м2 содержит 1021 носителей тока. К двум противоположенным узким границам образца приложено

напряжение 20 В. Определить величину силы тока, если подвижность носителей заряда μ =0,003м2∙В-1∙с-1.