Учебное пособие 800131

электрический заряд изменяется по линейному закону в зависимости от механических усилий

где Q – заряд, d – пьезомодуль, F – сила, S – площадь, q - заряд, приходящийся на единицу площади, р – поляризованность, -механическое напряжение в сечении.

3.2. Пример решения задач

Задача. Спонтанная поляризованность монокристаллов титаната бария при комнатной температуре равна 0,25 Кл/м2. Предполагая, что причиной возникновения спонтанной поляризации является только смещение иона титана из центра элементарной кубической ячейки, определить это смешение. Период идентичности «а» решётки принять равным 0,4 нм.

Решение Поляризованность есть электрический момент единицы

объёма:

где еi – заряд иона, δ – смещение, V0 – объём элементарной

ячейки.

Заряд иона титана Ti4+ еi =4e, V0 =а3.

Тогда PV0 2,5 10 11м 0,025нм . ei

3.3. Задачи

3.3.1 При напряжении 2 кВ плоский конденсатор, изготовленный из высокочастотного диэлектрика, имеет заряд 3,5∙10-8 Кл. При этом же напряжении и при повышении температуры на 100 К заряд возрастает на 1 %. Определить

диэлектрическую проницаемость материала и температурный коэффициент диэлектрической проницаемости, если толщина диэлектрика между пластинами конденсатора h = 2 мм, а площадь каждой пластины S = 5 см2.

3.3.2.Кубик из диэлектрика с ребром 0,06 м имеет удельное объёмное сопротивление 1012 Ом ∙ м. На противоположные грани куба нанесены электроды, к которым приложено напряжение частотой 1 МГц. Определить модуль комплексной проводимости, если его диэлектрическая проницаемость ε = 60.

3.3.3.В дисковом керамическом конденсаторе ёмкостью С=100 пФ, включённом на переменное напряжение

U=100 В частотой f=1 МГц, рассеивается мощность Ра= 10-3 Вт. Определить реактивную мощность, тангенс угла диэлектрических потерь и добротность конденсатора.

3.3.4.При измерении параметров керамического

конденсатора на частоте f = 1кГц получено: ёмкость С=1000 пФ, tgδ=8∙10-3. Определить эквивалентное последовательное (rs) и эквивалентное параллельное (Rp) сопротивления на этой частоте.

3.3.5.Рассчитайте активную мощность потерь при постоянном напряжении U0=100 В для конденсатора на основе плёнки полиэтилентерефталата ёмкостью С=1 мкФ. Постоянная времени этого конденсатора τc =10000 МОм мкФ. Какой ток будет протекать по выводам этого конденсатора, если его включить в сеть с напряжением 220 В и частотой

50 Гц?

3.3.6.При каком максимальном напряжении может

работать слюдяной конденсатор ёмкостью С=1000 пФ с площадью обкладок S=6∙10-4 м2, если он должен иметь четырёхкратный запас по электрической плотности. Диэлектрическая проницаемость слюды ε = 7, её электрическая прочность Епр.=100 МВ/м. Какова толщина h слюдяной пластинки?

3.3.7.Определить минимальную скорость электрона, чтобы он мог ионизировать атом неона, если потенциал

4. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛОВ

4.1. Теоретические сведения

В системе большого числа частиц наблюдаются определённые закономерности в отношении распределения этих частиц по энергиям, которые носят название статистических. Эти закономерности описываются статистической функцией распределения f(E,T), зависящей от вида частиц, находящихся в данном энергетическом состоянии E при температуре T.

Предположим, что на N одинаковых частиц приходится G различных состояний, в которых может находиться отдельная частица. Мерой нахождения частицы в данном состоянии служит отношение N/G. Если N/G<<1, то число вакантных состояний много больше числа частиц. Подобные коллективы называются невырожденными и описываются классической статистикой Максвелла - Больцмана.

Если N/G>>1, то свойства частиц определяют заселённость состояний. Такие коллективы частиц получили название вырожденных. Вырожденные коллективы могут образовываться только квантово-механическими частицами. Действительно, для выполнения последнего условия необходимо, чтобы число возможных состояний частиц (G) было бы во всяком случае конечным. Это может быть в том случае, если параметры состояний частицы изменяются дискретно, т.е. если частица является квантово-механическим объектом.

Между невырожденностью коллектива и классичностью его членов нет однозначного соответствия. Невырожденные коллективы могут образовывать и квантово-механические объекты, если выполняется условие N/G<<1.

Статистическая физика, изучающая свойства вырожденных коллективов, называется квантовой статистикой. Различают квантовые статистики Ферми - Дирака и Бозе - Эйнштейна.

Распределение Максвелла – Больцмана

Классические частицы различимы, причём в данном энергетическом состоянии может находиться неограниченное число частиц. Такие частицы (например, молекулярный газ) описываются классической статистикой Максвелла-Больцмана

где м – термодинамический параметр, называемый химическим потенциалом.

Химический потенциал выражает изменение свободной энергии системы при изменении числа частиц на единицу при неизменной температуре и объёме системы, т.е. химический потенциал равен величине свободной энергии (F), приходящейся на одну частицу системы в состоянии равновесия, и выражается формулой

где n – число частиц в системе.

Рис. 4.1

Из графиков функции распределения МаксвеллаБольцмана и распределения частиц по энергиям (рис. 4.1) видно, что при уменьшении температуры число частиц с малыми значениями энергии неограниченно возрастает. При

температуре абсолютного нуля все частицы займут самое нижнее энергетическое состояние.

Используя (4.1), можно определить концентрацию частиц n(E)dE, находящихся в интервале энергии dE

n(E)dE g(E) f E,Т dE,

(4.3)

где g(E) – плотность энергетических состояний, приходящихся на единицу объёма системы частиц. С учётом (4.1), получаем

.

Интегрируя (4.4) по всем значениям энергии, получаем общее число частиц в системе

Распределение Бозе – Эйнштейна

Функция Бозе – Эйнштейна имеет вид

kT

Вусловиях равновесия бозоны имеют минимум свободной энергии, вследствие чего химический потенциал бозонов

E = h , то с учётом (4.9) получаем функцию распределения Бозе – Эйнштейна в виде

Из графиков функции распределения Бозе – Эйнштейна и распределения частиц по энергиям (рис. 4.2) следует, что с уменьшением температуры число бозонов с малыми значениями энергий уменьшается; уменьшается также и общее число бозонов.

Рис. 4.2

Распределение Ферми – Дирака

Функция распределения Ферми – Дирака определяет среднее число частиц, подчиняющихся принципу Паули, в данном энергетическом состоянии, т.е. она выражает вероятность заполнения данного состояния:

Рассмотрим основные свойства функции Ферми – Дирака применительно к электронам в металле. При T = 0 К электроны последовательно занимают все состояния, начиная с наинизшего, соответствующего дну зоны проводимости. Значение функции распределения для всех этих уровней равно единице, при этом последним будет заполнен энергетический уровень, высота которого, отсчитанная от дна зоны проводимости, равна химическому потенциалу EФ = Ф. Этот энергетический уровень получил название уровня Ферми. С учётом этого функцию распределения Ферми – Дирака можно представить в виде

29

Все энергетические уровни, лежащие выше уровня Ферми, свободны, и для них функция распределения равна нулю (fФ(E>EФ)=0). При повышении температуры часть электронов переходит на более высокие энергетические уровни (E>EФ), в результате чего вероятность заполнения этих уровней увеличивается, а вероятность заполнения энергетических уровней, лежащих ниже уровня Ферми (E<EФ), уменьшается. Графики функции распределения Ферми – Дирака для различных значений температуры представлены на

(рис. 4.3).

Используя выражение (4.13), а также понятие об уровне Ферми, определим концентрацию электронов n(E)dE, имеющих энергию в области от E до E+dE,

плотность числа состояний в пространстве энергий. Важнейшими свойствами уровня Ферми являются:

1.Вероятность заполнения электроном уровня Ферми при любой температуре равна ½.

2.Уровень Ферми представляет собой химический потенциал электронов данной системы (в расчёте на один электрон). Поэтому условием равновесия двух электронных проводников, которые приведены в контакт (безразлично, металлов или полупроводников), является равенство их уровней Ферми.

3.Уровень Ферми определяется из условия, что независимо от распределения по уровням, полное число электронов в кристалле должно оставаться неизменным. Это

30

требование связано с условием электронейтральности системы в целом.

Рис. 4.3

Интегрируя выражение (4.14), получаем общее число частиц в единице объёма системы

представляет собой значение уровня Ферми металлов при 0 К.

Значение EФ0 составляет обычно величину около 5 эВ;

поправка в (4.17) во всём температурном интервале не превышает сотых долей процента, поэтому в отличие от полупроводников в металлах уровень Ферми практически не зависит от температуры и определяется выражением (4.18).

Из условия EФ kTФ определяем значение ТФ

выше которой выполняется критерий невырожденности электронного газа. Расчёты показывают, что эта температура примерно на два порядка выше температуры плавления металлов, в связи с чем электронный газ в металлах всегда находится в вырожденном состоянии.

Одной из основных характеристик электронной проводимости является закон дисперсии, выражающий зависимость энергии электрона от импульса p, т.е. Е = Е(р). Для свободных электронов

При абсолютном нуле температуры энергия электронов в металле ограничивается энергией Ферми, которой соответствует импульс

Проведя в пространстве импульсов сферу радиусом pФ, получим энергетическую поверхность ЕФ , отделяющую заполненные состояния от незаполненных. Такая изоэнергетическая поверхность называется поверхностью Ферми. Характер этой поверхности определяется видом зависимости Е(р), который лишь в частном случае свободных электронов приводит к сферической поверхности Ферми. Для

электронов проводимости в кристалле закон дисперсии имеет более сложный вид, и поверхность Ферми не является сферической.

Поверхность Ферми является наиболее важной характеристикой металлов, позволяющей понять и объяснить его основные свойства: электрические, тепловые, магнитные, механические, оптические.

Анализируя различные функции распределения частиц по энергиям (4.1, 4.8, 4.12), получаем, что при условии

функции Бозе–Эйнштейна и Ферми – Дирака переходят в функцию Максвелла – Больцмана, которую можно рассматривать как предельный случай квантовых статистик.

Условие (4.22) эквивалентно условию

и оба условия определяют критерий вырождения системы частиц.

С учётом (4.7) условие (4.22) можно записать

Из (4.25) следует, что степень вырождения системы элементов определяется их концентрацией и температурой: чем больше концентрация элементов и чем ниже температура, тем сильнее вырождена система электронов. Из (4.25) получаем соотношение между концентрацией электронов и температурой системы

При комнатной температуре правая часть выражения (4.26) составляет величину 2,5 1025 м –3. В металлах концентрация свободных электронов практически постоянная и составляет величину порядка 1028м –3, т.е. при комнатной температуре система электронов в металле всегда находится в вырожденном состоянии и поведение электронов описывается только квантовой статистикой Ферми – Дирака.

Электропроводностью называют явление направленного переноса (движения) свободных носителей заряда под действием электрического поля. Необходимым условием существования электропроводности у кристаллов является наличие в их энергетической диаграмме частично заполненных электронами энергетических зон. Только в этом случае электрическое поле может привести к нарушению чисто беспорядочного движения носителей заряда – электронов и дырок, к наложению на него направленного переноса.

В отсутствии внешнего электрического поля электронный газ в проводнике находится в равновесном состоянии и описывается функциями распределения Максвелла - Больцмана (невырожденный газ) или Ферми – Дирака (вырожденный газ). На рис. 4.4 представлены графики распределения функции fМ(vx) и fФ(vx). Симметричность функции указывает на то, что количество электронов, движущихся в противоположных направлениях, одинаково, а средняя скорость их движения равна нулю, что обусловливает

отсутствие тока при нулевой напряжённости внешнего электрического поля.

Рис. 4.4

Установление равновесия в электронном газе происходит за счёт взаимодействия электронов с тепловыми колебаниями решётки (фононами) и примесными атомами, искажающими локальные электрические поля. Это взаимодействие приводит к рассеянию электронов и установлению беспорядочного движения их в проводнике.

При наложении внешнего электрического поля напряжённостью ε возникает электрический ток плотностью

где σ – коэффициент пропорциональности, называемый электропроводностью проводника.

Направленное движение электронов называют дрейфом. Так как заряд электрона отрицателен, дрейф происходит в направлении, противоположном ε.

Рассмотрим в потоке электронов параллелепипед с единичным основанием и высотой равной vд, где vд – средняя скорость дрейфа. Тогда объём параллелепипеда равен vд, число электронов в нём n · vд, где n – концентрация электронов. Пройдя через основание параллелепипеда, эти электроны образуют ток плотностью

где «-» означает, что ток направлен противоположно направлению дрейфа электронов. Сравнивая (4.27) и (4.29), имеем

Коэффициент пропорциональности между скоростью дрейфа и напряжённостью электрического поля получил название подвижности носителей

Из (4.32) получаем общее выражение для удельной электропроводности проводника

которое для случая полупроводника, содержащего электроны и дырки, имеет вид

где n и p – концентрация электронов и дырок, un и up – их подвижность.

Если предположить, что в результате соударения за время τ полностью теряется приобретенная до этого дрейфовая скорость, то среднюю скорость дрейфа электрона можно выразить как

где e представляет собой ускорение электрона во внешнем

mn

электрическом поле ε. Из (4.35) получаем другое выражение для подвижности электронного газа

При расчётах обычно вводится средняя длина свободного пробега электрона λ, связанная с τ соотношением

где v – средняя скорость движения электронов.

Численная оценка выражений (4.36) и (4.37) показывает,

скорости хаотического движения электронов (v 1,6 106 м/с). В то же время λ 2 10 8 м, что примерно в 100 раз превышает величину межатомного расстояния в меди.

Подставляя (4.36) и (4.37) в (4.33), получаем уравнение

которое выражает удельную электропроводность проводника через микроскопические параметры, характеризующие электронный газ. В связи с этим состояние электронного газа будет определенным образом влиять на его электропроводность.

Для невырожденного газа электроны практически не взаимодействуют друг с другом, вследствие чего при наложении внешнего поля каждый электрон принимает участие в электропроводности. Поэтому в выражения (4.36) и (4.38) должны входить усредненные по всему коллективу характеристики, т.е.

Для вырожденного газа возбуждение испытывают только электроны, расположенные вблизи уровня Ферми (фермиевские электроны), поэтому выражения (4.36) и (4.38) приобретают следующий вид

где n – полная концентрация электронов.

Рассмотрим температурные зависимости подвижности носителей, для чего оценим зависимость от температуры средней длины свободного пробега λ и скорости электрона v (выражения (4.39) и (4.41)).

Подвижность носителей заряда определяется их рассеянием. В монокристалле с бездефектной структурой наблюдается рассеяние электронов за счёт взаимодействия с ионами кристаллической решетки, которое тем больше, чем интенсивнее тепловые колебания ионов. Систему колеблющихся ионов кристаллической решетки представляют в виде фононного газа, концентрация фононов в котором определяется выражением

где Eкр – энергия кристаллической решетки; Eср.ф – средняя энергия фонона

Из курса физики известно, что Eкр и Eср.ф зависят от температуры. В области низких температур (T<<θ)

Во всех этих выражениях θ – характеристическая температура Дебая, при которой тепловые колебания ионов достигают максимальной частоты, а следовательно, и максимальной энергии.

В области высоких температур λ ~ 1/nф (nф – концентрация фононов); так как из (4.46) следует, что nф ~Т, то λ~Т-1. Если для невырожденного газа v~T0,5, то

Для вырожденного газа энергия, а, следовательно, и скорость фермиевских электронов практически не зависят от температуры, поэтому

В области низких температур основное значение имеет рассеяние на ионизированных примесных атомах. Расчёты показывают, что длина свободного пробега электронов пропорциональна v 4, поэтому подвижность электронов для невырожденного газа

v

идля вырожденного газа

Если одновременно действуют несколько механизмов рассеяния, то вводят величину ŵ =1/τ, представляющую собой среднее число столкновений электрона за единицу времени. Полное число столкновений определяется суммой столкновений, обусловленных различными механизмами рассеяния: электрон – фононным ŵ ф , электрон –примесным ŵn , электрон– дефектным ŵд и т.д.