3.3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Как уже отмечалось, в некоторых случаях величина криволинейного интеграла не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек А и В пути интегрирования. Выяс­ним, при каких условиях такая независимость имеет место. В иссле­довании этого вопроса важную роль играет формула Грина.

Уточним, какие области будут рассматриваться далее.

Определение. Плоская область G называется односвязной, если каков бы ни был замкнутый контур L, лежащий внутри этой об­ласти, ограниченная этим контуром часть плоскости целиком принадлежит области G.

Образно говоря, односвязность области означает, что область не имеет «дыр». Например, односвязными областями являются внутренность круга, эллипса, многоугольника и т. п. Простейшим примером неодносвязной области служит область, заключенная между окружностями и . В самом деле, окружность , лежащая в этой области, содержит вну­три себя точки, которые не при-надлежат данной области, напри­мер начало координат (0;0).

Теорема 2. Пусть функции и опреде­лены и непрерывны вместе со своими частными производными и в некоторой замкнутой односвязной области G. Тогда следую­щие четыре условия эквивалентны, т. е. выполнение любого из них влечет за собой выполнение остальных трех:

1) для любой замкнутой кусочно-гладкой кривой L, расположен­ной в G,

2) для любых двух точек А и В области G значение интеграла не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего в G;

3) выражение представляет собой полный дифферен­циал некоторой функции, определенной в области G. Иными сло­вами, существует такая функция , определенная в G, что

4) в области G всюду

З а м е ч а н и е. Из эквивалентности условий 1)  4) теоремы 2, в частности, следует, что условие 3) представляет собой необходимое и достаточное условие, при котором криволинейный интеграл не зависит от выбора пути интегрирования. Однако для приложений более удобным необходимым и достаточным условием является условие 4).

Теорема 2 позволяет легко решать вопрос о том, зависит или не зависит криволинейный интеграл от выбора пути интегри­рования. Так, например, в любой области зависит от выбора пути, так как Необходимо обратить внимание на то, что все условия теоремы существенны. Рассмот­рим, например, интеграл

где L  окружность радиуса R с центром в начале координат. Имеем:

Видим, что условие независимости интеграла от выбора пути формально выполнено, но, однако, интеграл по окружности L нулю не равен. Действительно, задав окружность уравнениями , , получим

На самом деле никакого противоречия с теоремой здесь нет. Про­сто не выполнено одно из условий теоремы: функции Р и Q и их частные производные и не определены в точке (0;0), а круг, ограниченный окружностью L, с выброшенной точкой (0;0) уже не является односвязной областью (начало координат играет роль “дырки”).

3.4. Интегрирование полных дифференциалов

Из рассмотрения условий независимости криволинейного ин­теграла от выбора пути интегрирования непосредственно вытекает решение вопроса об интегрировании полных дифференциалов и о нахождении функции по ее полному дифферен­циалу.

Было отмечено, что если функции и и их част­ные производные и непрерывны в замкнутой области G, то выражение

(3.14)

является полным дифференциалом некоторой функции в этой обла­сти в том и только в том случае, когда = . Далее мы показали, что если это равенство выполнено, то усло­вию удовлетворяет функция

(3.15)

Пусть теперь выражение (3.14) является полным дифференциалом некоторой функции Ф(х,у). Тогда и разность величина постоян­ная. Следовательно,

(3.16)

где С  некоторая постоянная. Полагая , из (3.15) получаем а из (3.16)  значение постоянной . Теперь (3.16) можно записать в виде а равенство (3.15)  в виде

Если, наконец, положить , то получим формулу

(3.17)

Формула (3.17) аналогична формуле Ньютона-Лейбница, но справед­лива только при условии независимости криволинейного интеграла от выбора пути интегрирования.

Используя полученные результаты, теперь можно указать спо­соб восстановления функции , полный дифференциал кото­рой есть заданное выражение (3.14).