2.3. Замена переменных в двойном интеграле
Пусть функция непрерывна в некоторой замкнутой ограниченной области G. Тогда для функции существует двойной интеграл
Предположим, далее, что с помощью формул
,
(2.4)
мы переходим к новым переменным и и v. Будем считать, что и и v определяются из (2.4) единственным образом:
,
.
(2.5)
С
помощью формул (2.5) каждой точке
из
области G
ставится
в соответствие некоторая точка
на
координатной
плоскости с прямоугольными координатами
и
и
v.
Пусть множество всех точек
образует
ограниченную
замкнутую область G*.
Формулы
(2.4) называют формулами
преобразования координат,
а
формулы (2.5) формулами
обратного преобразования.
При сделанных предположениях можно доказать, что если функции (2.4) имеют в области G* непрерывные частные производные первого порядка и если определитель
(2.6)
отличен в G* от нуля, то для интеграла (2.2) справедлива формула замены переменных
.
(2.7)
Определитель (2.6) называется функциональным определителем или якобианом (по имени немецкого математика Якоби) функций , по переменным и и v. Коротко изложенное можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 4. Если преобразование (2.5) переводит замкнутую ограниченную область G в замкнутую ограниченную область G* и является взаимно однозначным, и если функции (2.4) имеют в области G* непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля якобиан (2.6), а функция непрерывна в области G, то справедлива формула замены переменных (2.7).
Как в двойном, так и в определенном интеграле замена переменных - важнейший способ приведения интеграла к виду, более удобному для вычисления.
Пример
1.
Вычислить интеграл
,
где
G
- параллелограмм, отграниченный прямыми
,
,
,
(рис.11,а).
а) б)
Рис. 11
Решение. Непосредственное вычисление этого интеграла достаточно громоздкое, так как для сведения его к повторному (сначала по у, а затем по х) необходимо область G разбить на три области (штриховые линии на рис.11,а) и затем вычислить соответственно три интеграла. Однако простая замена переменных
,
(2.8)
позволяет
значительно упростить решение. Прямые
и
в системен координат Оху
переходят
в прямые
и
в
системе координат
(рис.
11, б), а прямые
и
- в
прямые
и
.
Параллелограмм G
взаимно
однозначно преобразуется в прямоугольник
G*,
которым является
более простой областью интегрирования.
Осталось вычислить
якобиан. Для этого выразим х
и
у через
и
и
v
из равенств
(2.8):
,
.
Следовательно,
.
По формуле (2.7) окончательно получаем
Замечание.
Если подынтегральная функция или
уравнение
границы области интегрирования
содержат
сумму
,
то во многих случаях упрощение
интеграла достигается
преобразованием его к полярным
координатам, так
как данная сумма в полярных координатах
(
,
)
принимает достаточно простой вид
.
Пример
2. Вычислить
интеграл
,
где G
- четверть
круга
,
расположенная
в первом квадранте (рис. 12).
Решение. Преобразуем интеграл к полярным координатам
по
формулам
,
.
Тогда
и
Наглядно
видно, что в области
изменяется
в пределах от 0 до 1, а
- от 0 до
.
Иначе говоря,
область G
преобразуется
в прямоугольник
(рис.
12).
Таким образом, по формуле
(2.5) получаем
На практике при замене переменных нет необходимости детально строить область G*. Обычно выясняют пределы изменения новых координат, используя вид области G на плоскости Оху, что и сделано вначале в данном примере.
Пример
3.
Вычислить двойной интеграл
по
области D,
ограниченной
линиями
,
,
,
и расположенной
в первом квадранте (рис. 13).
Решение.
Уравнение внутренней окружности
(
)
в полярных координатах примет вид
,
а внешней окружности (
)
-
.
Поэтому
