9. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных

1. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

Пусть в плоскости дана область , ограниченная контуром . Требуется найти непрерывную функцию , удовлетворяющую внутри области уравнению Лапласа

(9.1)

и граничному условию

, (9.2)

где - непрерывная функция, заданная в точках контура .

Решение этой задачи по методу сеток заключается в следующем. Выбрав шаги , проводятся прямые , , параллельные осям координат. Точки пересечения этих прямых будем называть узлами сетки. Из отрезков эти прямых строится контур максимально приближенный к контуру . В результате получим область , состоящую из узловых точек (рис.15). Приближенные значения искомой функции в точках ( ) обозначим через , т.е. .

Рис. 15

Аппроксимируем частные производные и в каждом внутреннем узле сетки центральными разностями второго порядка

,

и заменим уравнение Лапласа конечно-разностным уравнением

.

После преобразования эта система имеет вид

(9.3)

Для каждого узла сетки, лежащего внутри области (и не лежащего на границе составляем уравнение (9.3).

Значение функции в точках принимаются равным значениям функции в точках ( ) ближайших к точкам ( ). В результате получим систему линейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений функции в узлах сетки ( ).

При получении сеточных уравнений (9.3) была использована схема узлов, изображенная на рис.16. Набор узлов, используемых для аппроксимации уравнения в точке, называется шаблоном.

Таким образом, численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа состоит в нахождении приближенных значений искомой функции во внутренних узлах сетки. Для определения величин требуется решить

Рис. 16

систему линейных алгебраических уравнений (9.3). Такие системы обычно решаются одним из приближенных методов, например, методом итераций или методом Зейделя. Метод итераций состоит в построении последовательности вычислений вида

(9.4)

(верхним индексом обозначен номер итерации). Начальное приближение выбирается произвольно, можно во всех точках ( ) положить , где и - наименьшее и наибольшее значения функции в узловых точках контура . При последовательность сходится к точному решению системы (10.3). В качестве условия окончания итерационного процесса можно принять , где наперед заданная точность. Метод Зейделя отличается от метода итераций тем, что вместо , в формуле (9.4) используются уже вычисленные , , то есть

(9.5)

Погрешность приближенного решения, полученного методом сеток складывается из двух погрешностей: погрешности аппроксимации дифференциального разностными и погрешности, возникающей в результате приближенного решения системы разностных уравнений (9.3). Рассмотренная разностная схема обладает свойством устойчивости и сходимости. Устойчивость схемы означает, что малые изменения в начальных данных приводят к малым изменениям решения разностной задачи. Только такие схемы применяют в реальных вычислениях. Сходимость схемы означает, что при стремлении шага к нулю (т.е. при ) решение разностной задачи стремится к решению исходной задачи. Таким образом, выбрав достаточно малый шаг , можно как угодно точно решить исходную задачу.