6.1. Метод наименьших квадратов

Для решения этой задачи воспользуемся методом наименьших квадратов. В методе наименьших квадратов за меру отклонения многочлена от функции принимается их среднее квадратичное отклонение

.

Задача состоит в том, чтобы в аппроксимирующем многочлене подобрать коэффициенты так, чтобы минимизировать Так как коэффициенты выступают в роли независимых переменных функции , то условием минимума является равенство нулю всех частных производных , , …, . Приравнивая к нулю эти частные производные

получим систему уравнений

После преобразования система принимает вид

(5.1)

Определитель системы (5.1) отличен от нуля, поэтому эта система имеет единственное решение .

Метод наименьших квадратов состоит из двух частей: составление системы (5.1) и решение полученной системы.

Метод наименьших квадратов удобен с вычислительной точки зрения для не слишком высокой степени многочлена , а именно . На практике стараются подобрать многочлен как можно меньшей степени ( ). Если же , то система (5.1) может иметь определитель, хотя и отличный от нуля, но малый. Тогда система становится плохо обусловленной, то есть решение связано с большей потери точности.

Пример. Пусть на основании эксперимента получены значения функции , которые записаны в таблице 7.

Таблица 7

	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3.0
	0.31	0.82	1.29	1.85	2.51	3.02

С помощью метода наименьших квадратов функцию аппроксимировать линейной функцией .

Решение. Составим систему (5.1) для определения

Предварительно вычисляем , , , Следовательно,

Решая эту систему, находим и : , .

Искомый многочлен .

7. Численное интегрирование

Если функция непрерывна на отрезке и известна ее первообразная , то определенный интеграл от этой функции может быть вычислен по формуле Ньютона – Лейбница . Однако во многих случаях первообразная не может быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной. Кроме того, на практике функция часто задается таблично и тогда само понятие первообразной теряет смысл. В таких случаях используются методы численного интегрирования, состоящие в том, что данную функцию на отрезке заменяют интерполирующей или аппроксимирующей функцией простого вида.

Разобьем отрезок интегрирования на равных частей точками ( - шаг разбиения, ). Значения функции в точках разбиения обозначим через . Непрерывную подынтегральную функцию заменим интерполяционной формулой Ньютона, в которой . Тогда , пределы интегрирования равны , . Интегрируя многочлен Ньютона на отрезке , можно получить

В результате интегрирования будем иметь

(7.1)

Из (7.1) можно получить целый ряд формул численного интегрирования (формул квадратур), придавая различные значения, т.е. деля участок на различное число частей, и пользуясь интерполяционными многочленами различных степеней.

Положим в формуле (7.1) . В этом случае разности выше первого порядка пропадают, так как имеем только две точки и . Тогда

(7.2)

Геометрически этот результат совершенно очевиден. Действительно, положив , заменяем функцию интерполяционным многочленом первой степени, т.е. заменяем кривую хордой (рис.11). При этом интеграл заменяется площадью обычной прямолинейной трапеции. Очевидно, что формула будет точной, если - линейная функция.

Рис. 11

Для формулы (7.2) может быть получена следующая оценка погрешности

.

Так как ошибка вычислений возрастает с увеличением длины отрезка интегрирования, то для уменьшения этой ошибки поступают следующим образом. Разбив интервал на частей, можно применять формулу (7.2) для каждого из этих участков в отдельности, т.е. рассматривать не один интерполяционный многочлен степени на всем интервале , а интерполяционных многочленов первой степени, различных на каждом из отдельных участков. При этом кривая заменяется ломаной линией (рис.12).

Применяя формулу (7.2) к участкам ), получаем

Рис.12

(7.3)

Сложив все формулы (7.3) с формулой (7.2), придем к общей формуле, дающей приближенное выражение для интеграла

. (7.4)

Эта формула дает при достаточно малых , т.е. при большом числе точек деления, довольно хорошие результаты. Формула (7.4) носит название формулы трапеций, что вполне объясняется ее геометрическим смыслом.

Ошибка вычислений по формуле (7.4) складывается из ошибок вычислений на каждом из отрезков . Поэтому

. (7.5)

Ошибку по формуле (7.5) не всегда можно оценить, например, когда функция задана в виде таблицы и ее аналитическое выражение неизвестно. В этом случае производная оценивается с помощью табличных разностей . Поэтому вместо формулы (7.5) используется формула

. (7.6)

Для получения еще одной квадратурной формулы численного интегрирования положим в (7.1) , т.е. отбросим все разности выше второй. Тогда

(7.7)

Геометрический смысл полученной формулы заключается в том, что в интервале интегрирования функция заменяется обычной параболой второй степени , проходящей через три точки кривой с абсциссами (рис.13). При этом площадь криволинейной трапеции заменяется площадью параболической трапеции.

Из формулы (7.7) можно получить формулу для приближенного вычисления интеграла по всему интервалу .

Для этого разобьем интервал на четное число равных отрезков и для каждого из отрезков , ,...., применим формулу (7.7)

Рис.13

(7.8)

Просуммировав все формулы (7.8), получим

(7.9)

Формула (7.9) называется формулой Симпсона или формулой парабол.

Если подынтегральная функция имеет непрерывную производную четвертого порядка на , то справедлива такая оценка погрешности формулы Симпсона

(7.10)

или, пользуясь формулой ,

. (7.11)

При одном и том же числе участков разбиения формула Симпсона обычно дает более хорошие результаты, чем формула трапеций. Поэтому пользуются предпочтительно ею, хотя она и требует несколько большего количества вычислений. Особенно целесообразно предпочесть формулу Симпсона формуле трапеций в тех случаях, когда нет возможности получит значения функции в большом числе точек.

Пример. Вычислим способом трапеций и парабол, разбив участок на 10 частей.

Решение. По формуле определим . Найденные значения подынтегральной функции поместим в таблицу 8.

Таблица 8

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0	0.00 0.01 0.04 0.09 0.16 0.25 0.36 0.49 0.64 0.81 1.00	1.00 1.01 1.04 1.09 1.16 1.25 1.36 1.49 1.64 0.81 1.00	1.0000000 0.9900990 0.9615385 0.9174312 0.8620690 0.8000000 0.7352941 0.6711409 0.6097561 0.5524862 0.5000000

По формуле трапеций имеем

По формуле Симпсона -

Так как , то можно считать, что вычисляя этот интеграл, находим приближенное значение числа .

Так как истинное значение =0.78539816, то относительная погрешность при пользовании методом трапеций не превосходит , а при пользовании методом парабол - практически отсутствует.

Можно указать еще один удобный способ подсчета ошибки в формулах трапеций и Симпсона. Это так называемый метод двойного пересчета, который заключается в следующем. По этим формулам проводят вычисления интеграла с шагом и получают значение . Затем уменьшают шаг вдвое и получают новое приближенное значение интеграла . Чтобы определить, как сильно отличается значение от точного значения интеграла , используется правило Рунге

, (7.12)

где для формул трапеций и для формул Симпсона.

При заданной точности вычисления с уменьшающимся шагом проводят до окончания приближений при выполнении условия

.

При этом полагают с точностью .