- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова основы численных методов Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •Введение
- •1. Действия над приближенными числами
- •1.1. Основные источники погрешностей
- •1.2. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности
- •1.3. Правила записи приближенных чисел
- •Решение. В нашем случае и . Следовательно,
- •Решение. Имеем .
- •2. Интерполирование функции
- •2.1. Постановка задачи интерполирования
- •2.2. Вычисление значений многочлена по схеме Горнера
- •2.3. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •Интерполяционный многочлен Ньютона
- •Сопоставление интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона. Погрешность интерполяции
- •2.6. Интерполирование функции кубическими сплайнами
- •Методы численного решения систем
- •3.1. Метод Гаусса
- •3.2. Метод итерации
- •3.3. Метод Зейделя
- •4. Методы численного решения
- •4.1. Отделение корней
- •Метод половинного деления
- •4.3. Метод хорд
- •4.4. Метод Ньютона
- •Комбинированный метод
- •4.6. Метод итерации
- •4.7. Метод Ньютона для системы двух уравнений
- •Метод итерации для системы двух уравнений
- •5. Численное дифференцирование
- •5.1. Постановка вопроса
- •5.2. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона
- •5.3. Конечно-разностные аппроксимации производных
- •6. Среднеквадратичное приближение функций
- •6.1. Метод наименьших квадратов
- •7. Численное интегрирование
- •Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •8.1. Понятие о численном решении задачи Коши
- •8.2. Метод Эйлера
- •8.3. Методы Рунге-Кутта
- •8.4. Численные решение систем дифференциальных уравнений первого порядка
- •9. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных
- •Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
- •Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
- •9.3. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности типа методом
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1. Действия над приближенными числами ..……………...4
- •2. Интерполирование функций ……………………….…... 9
- •3. Методы численного решения систем линейных
- •4. Методы численного решения нелинейных уравнений
- •10. Библиографический список …….…….……..……… 110
- •Составители: Бырдин Аркадий Петрович
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Метод половинного деления
Пусть дано уравнение (4.1), причем функция непрерывна на и (рис 11). Для вычисления корня уравнения (4.1), принадлежащего отрезку , найдем середину этого отрезка . Если , то для продолжения вычислений выберем ту из частей данного отрезка или , на концах которой функция имеет противоположные знаки. Концы нового отрезка обозначим через (рис 2).
Рис.2
Новый суженный промежуток снова делим пополам и проводим те же рассмотрения и т. д. В результате получаем на каком-то этапе или точный корень уравнения (4.1), или же бесконечную последовательность вложенных отрезков , , …, , таких, что
( ), (4.2)
. (4.3)
Число – общий предел последовательностей и – является корнем уравнения .
Оценку погрешности на -ом шаге вычислений можно получить из соотношения (4.3) в виде
. (4.4)
Здесь с точностью , не превышающей .
Метод деления пополам сходится для любых непрерывных функций, устойчив к ошибкам округления и легко реализуется на ПЭВМ.
Пример. Методом половинного деления с точностью найти корень уравнения ( ).
Решение. В предыдущем примере при отделении корней уравнения было установлено, что искомый корень принадлежит отрезку . На каждом шаге вычислений значение корня принимаем равным с погрешностью . Будем производить вычисления и выбирать последовательность вложенных отрезков , используя условие . Имеем Так как , то полагаем Тогда
Здесь , следовательно, Тогда
Производя вычисления далее, можно убедиться, что заданная точность достигается на 7-ом шаге: с погрешностью
4.3. Метод хорд
Пусть дано уравнение (4.1), где – непрерывная дважды дифференцируемая функция на отрезке . Пусть для определенности при . Тогда кривая будет выпукла вниз. Возможны два случая: 1) (рис.3)
Рис. 3
2) (рис. 4).
Рис. 4
Проведем хорду , соединяющую концы кривой . За приближенное значение искомого корня примем абсциссу точки пересечения этой хорды с осью . Для разыскания этого приближенного значения напишем уравнение прямой , проходящей через две заданные точки и : . Так как при , то, следовательно, , откуда .
Чтобы получить более точные значения корня, определяем . Если , тогда за новый промежуток изоляции корня можно принять . Соединив точки и , получим в точке пересечения хорды с осью второе приближение , которое вычислим по формуле . Если же , то применим эту формулу к отрезку . Повторяя этот прием несколько раз, будем получать все более точные значения корня и т.д.
В первом случае конец отрезка изоляции неподвижен и последовательные приближения корня находятся по формуле
. (4.5)
Во втором случае неподвижен конец , а последовательные приближения имеют вид
. (4.6)
Если - точный корень уравнения (4.1), изолированный на отрезке , а - приближенное значение корня, найденное методом хорд, то оценка погрешности этого приближенного значения такова:
. (4.7)
Пример. Методом хорд найти положительный корень уравнения с точностью до .
Решение. Найдем интервал изоляции корня. Так как и , то искомый корень лежит в интервале (1,2). Для того чтобы уменьшить количество вычислений разделим этот интервал пополам. Так как , . Последовательно применяя формулу (4.5), будем иметь
Так как и при имеем , то можно принять
.
Таким образом, , где .