С учетом (1) и (2) систему уравнений (3) представим в виде

где

Из уравнений (4) определим частоты колебаний:

Задача 12. В задаче 11 исследовать устойчивость малых свободных колебаний шкивов Т и П передачи (рис. 10) относительно установившегося режима ее работы, если при колебаниях возникают два возмущающих момента: момент со стороны электродвигателя и момент сил резания ( и – скорости угловых колебаний шкивов, ₁ и ₂ – коэффициенты обратной связи).

Определить значения коэффициента ₁, при которых колебания системы устойчивы.

РЕШЕНИЕ-ИССЛЕДОВАНИЕ. С учетом полученных в задаче № 11 дифференциальных уравнений свободных колебаний шкивов запишем дифференциальные уравнения возмущенного движения:

Запишем характеристическое уравнение системы (1)

или

Необходимым условием устойчивости движения является условие положительности коэффициентов характеристического уравнения, откуда

(3)

т.е. должно быть меньше величины 3,1.

Достаточным условием устойчивости решения является выполнение критерия Гурвица [6]. Для уравнения третьей степени (2) должно выполняться условие ₂ > 0:

откуда

(4)

Сопоставляя (4) и (3), получаем интервал возможных значений ₁ в случае устойчивого возмущенного движения ₁(t) и ₂(t):

Вопросы для самоконтроля

1. Назовите основные понятия динамики, являются ли они конкретными или абстрактными – поясните.

2. В чем заключаются основные задачи динамики точки и механической системы?

3. На чем основан выбор рационального метода решения задач динамики механической системы?

4. От чего зависит необходимое и достаточное количество исходных уравнений динамики для решения конкретной задачи?

5. В каких случаях при решении задач динамики используется метод расчленения?

6. Приведите обоснование выбора метода решения или основного исходного уравнения в конкретной задаче динамики. Можно ли решить эту задачу другим способом? Каким?

7. Какой можно сделать вывод или какую поставить проблему на оснований ответа, полученного в конкретной задаче?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бать М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах: в 3 т. / М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон. М.: Наука, 1973. Т. 3. 146 с.

2. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний / В.Л. Бидерман. М.: Высш. шк., 1970. 300 с.

3. Борисенко А.И. Газовая динамика двигателей / А.И. Борисенко. М.: Оборонгиз, 1962. 793 с.

4. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнением / Э. Камке. М.: Наука, 1976. 576 с.

5. Осадчий В.А. Руководство к решению задач по теоретической механике / В.А. Осадчий, A.M. Файм. М.: Высш. шк., 1972. 186 с.

6. Светлицкий В.А. Сборник задач по теории колебаний / В.А. Светлицкий, И.В. Стасенко. М.: Высш. шк., 1973. 456 с.

7. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. М.: Наука, 2004. 798 с.

8. Файн A.M. Сборник задач по теоретической механике / A.M. Файн. М.: Высш. шк., 1987. 256 с.

9. Ансеров М.А. Приспособления для металлорежущих станков / М.А. Ансеров. Л.: Машиностроение, 1975. 656 с.

10. Сборник профессионально-ориентированных задач по теоретической механике с решениями для студентов специальностей 151001 «Технология машиностроения», 151002 «Металлообрабатывающие станки и комплексы», 150201 «Машины и технология обработки металлов давлением», 220402 «Роботы и робототехнические системы», 150202 «Оборудование и технология сварочного производства» очной и очно-заочной форм обучения. Ч.1: Статика, кинематика / Воронеж. гос. техн. ун-т; сост. Г.Н. Пачевская, М.А. Артемов, В.А. Баскаков. Воронеж, 2009. 40 с.